2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章算法初步1.1.1算法的概念學(xué)案含解析新人教A版必修3

1.1算法與程序框圖1.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．通過回顧解二元一次方程組的方法，了解算法的思想．(重點(diǎn))2．了解算法的含義和特征．(重點(diǎn))3．讀懂算法并能用自然語言表述簡潔的算法．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1．通過算法概念的理解，培育邏輯推理素養(yǎng)．2．借助算法的設(shè)計(jì)，養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).1．算法的概念12世紀(jì)的算法指的是用阿拉伯?dāng)?shù)字進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算的過程數(shù)學(xué)中的算法通常是指根據(jù)肯定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟現(xiàn)代算法通?？梢跃幊捎?jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問題思索：解決一個(gè)問題的算法是唯一的嗎？[提示]不唯一．如解二元一次方程組的算法有加減消元法和代入消元法兩種，但不同的算法有優(yōu)劣之分．2．算法的特征(1)有限性：一個(gè)算法的步驟是有限的，它應(yīng)在有限步驟操作之后停止．(2)確定性：算法中的每一步應(yīng)當(dāng)是確定的，并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不是模棱兩可的．(3)邏輯性：算法從初始步驟起先，分為若干個(gè)明確的步驟，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能進(jìn)行下一步，而且每一步都是正確無誤的，從而組成具有很強(qiáng)邏輯性的步驟序列．(4)普遍性：一個(gè)確定的算法，應(yīng)當(dāng)能夠解決一類問題．(5)不唯一性：求解某一個(gè)問題的算法不肯定只有唯一的一個(gè)，也可以有不同的算法．3．算法的設(shè)計(jì)目的計(jì)算機(jī)解決任何問題都要依靠于算法，只有將解決問題的過程分解為若干個(gè)明確的步驟，即算法，并用計(jì)算機(jī)能夠接受的“語言”精確地描述出來，計(jì)算機(jī)才能夠解決問題．1．下列可以看成算法的是()A．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，課前預(yù)習(xí)，課上仔細(xì)聽講并記好筆記，課下先復(fù)習(xí)再做作業(yè)，之后做適當(dāng)?shù)木毩?xí)題B．今日餐廳的飯真好吃C．這道數(shù)學(xué)題難做D．方程2x2－x＋1＝0無實(shí)數(shù)根A[A是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)步驟，所以是算法．]2．下列對算法的理解不正確的是()A．算法可以無止境地運(yùn)行下去B．算法的步驟是不行逆的C．同一個(gè)問題可以有不同的算法D．算法中的每一步都應(yīng)當(dāng)有效地執(zhí)行，并得到確定的結(jié)果A[A項(xiàng)中，由于算法具有有限性，因此不行能無止境地運(yùn)行下去，不正確；B項(xiàng)中，算法中的步驟是根據(jù)依次一步步進(jìn)行下去的，因此是不行逆的，正確；C、D項(xiàng)符合算法的特征，正確．]3．下列問題中，不行以設(shè)計(jì)一個(gè)算法求解的是()A．二分法求方程x2－3＝0的近似解B．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋5＝0,x－y＋3＝0))C．求半徑為3的圓的面積D．推斷函數(shù)y＝x2在R上的單調(diào)性D[A、B、C選項(xiàng)中的問題都可以設(shè)計(jì)算法解決，D選項(xiàng)中的問題由于x在R上取值無窮盡，所以不能設(shè)計(jì)一個(gè)算法求解．]4．下面是某人出家門先打車去火車站，再坐火車去北京的一個(gè)算法，請補(bǔ)充完整．第一步，出家門．其次步，______________.第三步，坐火車去北京．[答案]打車去火車站算法的概念理解【例1】下列各式中S的值不行以用算法求解的是()A．S＝1＋2＋3＋4B．S＝1＋2＋3＋4＋…C．S＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,100)D．S＝12＋22＋32＋…＋1002B[由算法的概念可知：求解某一類問題的算法必需是有限步的，B項(xiàng)不知其多少步完成，A，C，D可在有限步內(nèi)完成．所以S值不行以用算法求解的是選項(xiàng)B.]解答這類問題的方法為特征推斷法主要從以下三個(gè)方面推斷：1看是否滿意可執(zhí)行性；2看是否滿意確定性；3看是否滿意有限性.此外，算法的不唯一性也要考慮到.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．下列描述不能看作算法的是()A．做米飯須要刷鍋，淘米，添水，加熱這些步驟B．洗衣機(jī)的運(yùn)用說明書C．解方程2x2＋x－1＝0D．利用公式S＝πr2計(jì)算半徑為4的圓的面積，就是計(jì)算π×42C[A、B、D項(xiàng)都描述了解決問題的過程，可以看作算法，而C項(xiàng)只描述了一個(gè)事實(shí)，沒說明怎么解決問題，不是算法．]算法的閱讀及應(yīng)用【例2】下面給出了一個(gè)問題的算法：第一步，輸入三個(gè)數(shù)，并分別用a，b，c表示．其次步，比較a與b的大小，假如a<b，則交換a與b的值．第三步，比較a與c的大小，假如a<c，則交換a與c的值．第四步，比較b與c的大小，假如b<c，則交換b與c的值．第五步，輸出a，b，c.以上算法要解決的問題是________，假如輸入的三個(gè)數(shù)分別是6,28,14，則輸出三數(shù)的依次為________．思路點(diǎn)撥：可嘗試先賦a，b，c的值為6,28,14，用詳細(xì)數(shù)值去執(zhí)行算法步驟，從而得到啟示．輸入三個(gè)數(shù)a，b，c，并按從大到小的依次輸出28,14,6[法一：特別值法：第一步，輸入a＝6，b＝28，c＝14.其次步，因?yàn)閍<b，則令a＝28，b＝6.第三步，因?yàn)閍>c，不做改變．第四步，因?yàn)閎<c，故令b＝14，c＝6.第五步，輸出28,14,6.通過上述過程可知，此算法解決的問題是：對隨意輸入的三個(gè)數(shù)a，b，c，按從大到小的依次輸出．法二：一般方法：第一步是給a，b，c賦值．其次步運(yùn)行后a>b.第三步運(yùn)行后a>c.第四步運(yùn)行后b>c，所以a>b>c.第五步運(yùn)行后，顯示a，b，c的值，且從大到小排列．]算法作用的理解方法一個(gè)算法的作用往往并不自不待言，這時(shí)我們可以結(jié)合詳細(xì)數(shù)值去執(zhí)行一下并從中得出規(guī)律.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．給出下面一個(gè)算法：第一步，給出三個(gè)數(shù)x，y，z.其次步，計(jì)算M＝x＋y＋z.第三步，計(jì)算N＝eq\f(1,3)M.第四步，輸出M，N.則上述算法是()A．求和 B．求余數(shù)C．求平均數(shù) D．先求和再求平均數(shù)D[由算法過程可知，M為給出三個(gè)數(shù)之和，N為這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)．]算法的設(shè)計(jì)[探究問題]假設(shè)家中生火燒水泡茶有以下幾個(gè)步驟：a．生火；b.將涼水倒入鍋中；c.找茶葉；d.洗茶壺、茶碗；e.用開水沖茶．1．你能說出在家中泡茶的步驟嗎？[提示]b→a→c→d→e2．從上述例子分析，你能說出設(shè)計(jì)算法步驟的要求嗎？[提示](1)算法必須要解決一類問題．(2)要保證算法步驟合理有效．(3)要使算法步驟盡量簡潔好用．【例3】已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－1x≤－1，,x3x>－1，))試設(shè)計(jì)一個(gè)算法輸入x的值，求對應(yīng)的函數(shù)值．思路點(diǎn)撥：[解]算法如下：第一步，輸入x的值．其次步，當(dāng)x≤－1時(shí)，計(jì)算y＝－x2－1；否則執(zhí)行第三步．第三步，計(jì)算y＝x3.第四步，輸出y.1．(變條件)該例條件若改為“已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x>0,0，x＝0,x＋1，x<0))”試設(shè)計(jì)一個(gè)算法輸入x的值，求對應(yīng)的函數(shù)值．[解]算法如下：第一步，輸入x的值．其次步，若x>0，則y＝－x＋1，然后執(zhí)行第四步；否則執(zhí)行第三步．第三步，若x＝0，則y＝0，然后執(zhí)行第四步，否則y＝x＋1.第四步；輸出y的值．2．(變結(jié)論)已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－1x≤－1,x3x>－1))，下面是輸入x的值，求對應(yīng)的函數(shù)值的一個(gè)算法，請?zhí)羁眨旱谝徊?，輸入x.其次步，若x>－1，輸出________；否則執(zhí)行第三步．第三步，輸出________．當(dāng)輸入x的值為1時(shí)，輸出的結(jié)果為________．[答案]x3－x2－11分段函數(shù)求值問題的算法設(shè)計(jì)分段函數(shù)求值的算法要運(yùn)用分類探討思想進(jìn)行設(shè)計(jì)必需先推斷x的范圍，對算法中可能遇到的狀況肯定要考慮周全，滿意與不滿意都要有相應(yīng)的步驟.1．算法的特點(diǎn)：有限性、確定性、邏輯性、普遍性、不唯一性．2．算法設(shè)計(jì)的要求(1)寫出的算法必需能夠解決一類問題(如推斷一個(gè)整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，求隨意一個(gè)方程的近似解等)，并且能夠重復(fù)運(yùn)用．(2)要使算法盡量簡潔，步驟盡量少．(3)要保證算法正確，且算法步驟能夠一步一步執(zhí)行，每步執(zhí)行的操作必需準(zhǔn)確，不能含混不清，而且在有限步后能得到結(jié)果．1．推斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)求解一類問題的算法是唯一的． ()(2)算法必需在有限步驟操作之后解決問題． ()(3)算法執(zhí)行后肯定產(chǎn)生確定的結(jié)果． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．下列敘述中，①植樹須要運(yùn)苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟；②按依次進(jìn)行下列運(yùn)算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…99＋1＝100；③從青島乘火車到濟(jì)南，再從濟(jì)南乘飛機(jī)到廣州；④3x>x＋1；⑤求全部能被3整除的正數(shù)，即3,6,9,12，….能稱為算法的個(gè)數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5B[由算法的含義與特征知：①②③都是算法；④中，3x>x＋1不是明確的步驟，不滿意確定性；⑤中步驟是無窮的，與有限性沖突．]3．已知一個(gè)學(xué)生的語文成果為89分，數(shù)學(xué)成果為96分，外語成果為99分．求他的總分和平均分的一個(gè)算法為：第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.其次步，_____________________________________________.第三步，_____________________________________________.第四步，輸出計(jì)算的結(jié)果．[答案]計(jì)算總分D＝A＋B＋C計(jì)算平均分E＝eq\f(D,3)4．設(shè)計(jì)一個(gè)算法