2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性必備學(xué)問·素養(yǎng)奠基1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)兩個(gè)變量的關(guān)系分類函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系特征兩變量有確定的關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒有準(zhǔn)確到可由其中一個(gè)去精確地確定另一個(gè)的程度(2)散點(diǎn)圖:將樣本中的每一個(gè)序號(hào)下的成對(duì)數(shù)據(jù)用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來得到的統(tǒng)計(jì)圖.(3)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)正相關(guān)負(fù)相關(guān)當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)削減的趨勢(shì)(4)線性相關(guān):假如兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點(diǎn)落在一條直線旁邊,則稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).正相關(guān)與負(fù)相關(guān)是對(duì)全部具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量而言的,對(duì)嗎?提示:不對(duì),正相關(guān)與負(fù)相關(guān)是針對(duì)線性相關(guān)關(guān)系而言的.2.樣本的相關(guān)系數(shù)(1)相關(guān)系數(shù):統(tǒng)計(jì)學(xué)里一般用r=QUOTE=QUOTE來衡量y與x的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱,這里的r稱為樣本相關(guān)系數(shù)(簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)).(2)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1r>0時(shí),成對(duì)數(shù)據(jù)正相關(guān);r<0時(shí),成對(duì)數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān),-1≤r≤1.2|r|越小,兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越弱,|r|越大,兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng).3|r|=1時(shí),成對(duì)數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在一條確定的直線上.|r|的大小有何實(shí)際意義?提示:|r|越小,兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)性越弱;|r|越大,兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)性越強(qiáng).1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系是一種確定的關(guān)系.()(2)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)越大,它們的相關(guān)程度越強(qiáng).()(3)當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的值隨之削減,則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).()(4)一般地,樣本容量越大,用樣本相關(guān)系數(shù)估計(jì)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的效果越好.()提示:(1)×.兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系不是一種確定的關(guān)系,是一種隨機(jī)關(guān)系.(2)×.相關(guān)系數(shù)|r|越接近1,線性相關(guān)程度越強(qiáng);|r|越接近0,線性相關(guān)程度越弱.(3)×.存在相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量,當(dāng)一個(gè)變量增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈削減的趨勢(shì),則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).(4)√.2.依據(jù)一組數(shù)據(jù)推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)時(shí),應(yīng)選()A.莖葉圖 B.頻率分布直方圖C.散點(diǎn)圖 D.頻率分布折線圖【解析】選C.推斷兩個(gè)變量是否有線性相關(guān)關(guān)系時(shí),應(yīng)先畫出散點(diǎn)圖.若這些點(diǎn)大體分布在一條直線旁邊則具有線性相關(guān)關(guān)系.3.已知兩個(gè)變量負(fù)相關(guān),且相關(guān)程度很強(qiáng),則它們的相關(guān)系數(shù)的大小可能是()A.-0.95 B.-0.13 C.0.15 D.0.96【解析】選A.相關(guān)系數(shù)r<0時(shí),成對(duì)數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān),且|r|越大,兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng).關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一相關(guān)關(guān)系與線性相關(guān)關(guān)系角度1相關(guān)關(guān)系【典例】(多選題)下列關(guān)系中,屬于相關(guān)關(guān)系的是()A.正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系B.農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系C.人的身高與年齡之間的關(guān)系D.降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系【思維·引】緊扣相關(guān)關(guān)系的概念加以推斷.【解析】選BD.在A中正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系;在B中,農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系,但具有相關(guān)關(guān)系;在C中,人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系,也不是相關(guān)關(guān)系,因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到肯定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯改變了,因而它們不具有相關(guān)關(guān)系;在D中,降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系.角度2線性相關(guān)關(guān)系的推斷【典例】5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成果(單位:分)如下:ABCDE數(shù)學(xué)成果8075706560物理成果7066686462推斷數(shù)學(xué)成果與物理成果是否具有線性相關(guān)關(guān)系.【思維·引】依據(jù)散點(diǎn)圖推斷.【解析】以x軸表示數(shù)學(xué)成果,y軸表示物理成果,得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示.由散點(diǎn)圖可知,各點(diǎn)分布在一條直線旁邊,故兩者之間具有線性相關(guān)關(guān)系.【素養(yǎng)·探】本例考查利用散點(diǎn)圖推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān),同時(shí)考查了數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).本例條件若改為:某公司2014～2024年的年利潤(rùn)x(單位:百萬元)與年廣告支出y(單位:百萬元)的統(tǒng)計(jì)資料如表所示:年份201420152024202420242024利潤(rùn)x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11推斷x與y是否線性相關(guān),是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)?【解析】作出散點(diǎn)圖(圖略),由散點(diǎn)圖可知,各點(diǎn)分布在一條直線旁邊,故x與y之間線性相關(guān),且y隨x的增大而增大,是正相關(guān).【類題·通】1.函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系不肯定是因果關(guān)系,也可能是伴隨關(guān)系.2.兩個(gè)變量是否相關(guān)的兩種推斷方法(1)實(shí)際閱歷法:借助積累的閱歷進(jìn)行分析推斷;(2)散點(diǎn)圖法:繪制散點(diǎn)圖,假如發(fā)覺點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線旁邊,那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的,留意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響.【習(xí)練·破】1.對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散點(diǎn)圖①;對(duì)變量u,v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散點(diǎn)圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以推斷()A.變量x與y正相關(guān),u與v正相關(guān)B.變量x與y正相關(guān),u與v負(fù)相關(guān)C.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v正相關(guān)D.變量x與y負(fù)相關(guān),u與v負(fù)相關(guān)【解析】選C.由題圖象知,變量x與y呈負(fù)相關(guān)關(guān)系;u與v呈正相關(guān)關(guān)系.2.下列兩個(gè)變量間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是()A.圓的半徑與周長(zhǎng)B.角的度數(shù)與它的正切值C.單產(chǎn)為常數(shù)時(shí),土地面積與糧食總產(chǎn)量D.日照時(shí)間與水稻的單位產(chǎn)量【解析】選D.函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系都是指兩個(gè)變量之間的關(guān)系,但是這兩種關(guān)系是不同的,函數(shù)關(guān)系是指當(dāng)自變量肯定時(shí),函數(shù)值是確定的,是一種確定性的關(guān)系.因?yàn)锳項(xiàng)C=2πr,B項(xiàng)y=tanα,C項(xiàng)y=ax(a>0,且a為常數(shù)),所以這三項(xiàng)均是函數(shù)關(guān)系.D項(xiàng)是相關(guān)關(guān)系.【加練·固】某個(gè)男孩的年齡與身高的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示.年齡x(歲)123456身高y(cm)788798108115120(1)畫出散點(diǎn)圖;(2)推斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系.【解析】(1)散點(diǎn)圖如圖所示.(2)由散點(diǎn)圖知,全部數(shù)據(jù)點(diǎn)分布在一條直線旁邊,因此,認(rèn)為y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.類型二相關(guān)系數(shù)與相關(guān)程度的推斷角度1相關(guān)系數(shù)的概念【典例】下面的各圖中,散點(diǎn)圖與相關(guān)系數(shù)r不符合的是()【思維·引】依據(jù)相關(guān)系數(shù)與散點(diǎn)圖的關(guān)系解答.【解析】選B.A、B選項(xiàng)中散點(diǎn)全部集中在一條直線上,且分別呈負(fù)、正相關(guān),故相關(guān)系數(shù)r的值應(yīng)分別為-1,1;C選項(xiàng)變量呈負(fù)相關(guān),故-1<r<0,D選項(xiàng)變量沒有相關(guān)性,相關(guān)系數(shù)近似看為0.角度2相關(guān)程度的推斷【典例】一般來說,一個(gè)人的身高越高,他的手就越大,為調(diào)查這一問題,對(duì)某校10名高一男生的身高與右手長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)(單位:cm):身高168170171172174176178178180181右手長(zhǎng)度19.020.021.021.521.022.024.023.022.523.0(1)推斷兩者有無線性相關(guān)關(guān)系;(2)假如具有線性相關(guān)關(guān)系,推斷相關(guān)性的強(qiáng)弱.【思維·引】畫散點(diǎn)圖推斷是否線性相關(guān),求相關(guān)系數(shù)刻畫相關(guān)程度.【解析】(1)散點(diǎn)圖如圖所示.可見,身高與右手長(zhǎng)度之間的總體趨勢(shì)為一條直線,即它們線性相關(guān).(2)依據(jù)以上數(shù)據(jù)可由計(jì)算器計(jì)算得QUOTE=174.8,QUOTE=21.7,QUOTE=305730,QUOTE=4729.5,QUOTExiyi=37986.r=QUOTE=QUOTE=QUOTE≈0.9.故兩者有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.【類題·通】相關(guān)系數(shù)的關(guān)注點(diǎn)1.相關(guān)系數(shù)可以反映兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度,即散點(diǎn)集中于一條直線的程度,其符號(hào)反映了相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性.2.變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,可通過散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)作出推斷,散點(diǎn)圖只是粗略作出推斷,用相關(guān)系數(shù)能夠較精確的推斷相關(guān)的程度.【習(xí)練·破】關(guān)于兩個(gè)變量x和y的7組數(shù)據(jù)如表所示:x21232527293235y711212466115325試推斷y與x是否線性相關(guān),并刻畫它們的相關(guān)程度.【解析】畫散點(diǎn)圖(圖略),視察散點(diǎn)圖,可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線旁邊,由此推斷y與x線性相關(guān).QUOTE=QUOTE(21+23+25+27+29+32+35)≈27.4,QUOTE=QUOTE(7+11+21+24+66+115+325)≈81.3,QUOTE=212+232+252+272+292+322+352=5414,QUOTExiyi=21×7+23×11+25×21+27×24+29×66+32×115+35×325=18542.QUOTE=72+112+212+242+662+1152+3252=124393,所以r=QUOTE=QUOTE≈QUOTE≈0.8375.所以x與y具有線性相關(guān)關(guān)系.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.對(duì)于給定的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),下列說法正確的是()A.都可以分析出兩個(gè)變量的關(guān)系B.都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系C.都可以作出散點(diǎn)圖D.都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系【解析】選C.給出一組樣本數(shù)據(jù),總可以作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖,故C正確,但不肯定能分析出兩個(gè)變量的關(guān)系,故A不正確,更不肯定符合線性相關(guān),故B不正確,兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不肯定有函數(shù)關(guān)系,故D不正確.2.對(duì)兩個(gè)變量x,y的幾組觀測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表,則這兩個(gè)相關(guān)變量的關(guān)系是()x1098765y233.544.85A.負(fù)相關(guān) B.正相關(guān)C.先正后負(fù)相關(guān) D.先負(fù)后正相關(guān)【解析】選A.依據(jù)兩個(gè)變量x,y的幾組觀測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表知,y隨x的增大而減小,所以這兩個(gè)相關(guān)變量負(fù)相關(guān).3.變量x,y的散點(diǎn)圖如圖所示,那么x,y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r最接近的值為()A.1 B.-0.5 C.0 D.0.5【解析】選C.依據(jù)變量x,y的散點(diǎn)圖,得x,y之間的樣本相關(guān)關(guān)系特別不明顯,所以相關(guān)系數(shù)r最接近的值應(yīng)為0.4.現(xiàn)隨機(jī)抽取了某校10名學(xué)生在入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成果(x)與入學(xué)后的第一次考試數(shù)學(xué)成果(y),數(shù)據(jù)如表:學(xué)生號(hào)12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請(qǐng)問:這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成果是否具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系?【解析】QUOTE=QUOTE(120+108+…+99+108)=107.8,QUOTE=QUOTE(84+64+…+57+71)=68,QUOTE=1202+1082+…+992+1082