江蘇省“蘇南十校聯(lián)考”2025屆高三10月聯(lián)考數(shù)學試題

高三10月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復數(shù)的除法計算化簡即可；【詳解】，復數(shù)的虛部是故選：D2.已知集合?，則?（）A.? B.? C.? D.?【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式求集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合B，進而求交集.【詳解】因為集合?，?，所以?．故選：D．3.設(shè)公差的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列求出首項與公差的關(guān)系，然后利用等差中項化簡所求表達式即可．【詳解】解：因為公差的等差數(shù)列an中，，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，故選：C．4.已知平面向量，滿足：，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量得到，求出，得到【詳解】由在上的投影向量為，得，所以，所以，所以，又，所以故選：C.5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用得到，求出，又，故，聯(lián)立求出，利用余弦差角公式進行求解.【詳解】因為，

，所以，所以，①，又因為，所以②，①②聯(lián)立解得

，所以.故選：B6.為迎接國慶假期，某公司開展抽獎活動，規(guī)則如下：在不透明的容器中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，每位員工從中摸出2個小球.若摸到一紅球一白球，可獲得價值a百元代金券；摸到兩紅球，可獲得價值b百元代金券;摸到兩白球，可獲得價值ab百元代金券（均為整數(shù)）.已知每位員工平均可得百元代金券，則運氣最好者獲得至多（）百元代金券A. B.9 C.8 D.18【答案】C【解析】【分析】先由古典概率計算摸到不同顏色球的概率，再由離散型隨機變量的數(shù)學期望公式求得，然后討論為1、2、3、4、5時的值即可.【詳解】由題意得摸到一紅球一白球的概率為，摸到兩紅球的概率為，摸到兩白球的概率為，所以，即，又a，b均為正整數(shù)，所以當時，有，即舍去當a=2時，有，即，此時運氣最好者獲得至多百元代金券;當時，有，即舍去當時，有，即舍去當時，有，即舍去綜上，運氣最好者獲得至多8百元代金券.故選：C.7.已知雙曲線，點M在C上，過點M作C兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，B，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)點，利用點到直線的距離公式，結(jié)合點M在C上即可求解.【詳解】設(shè)點，則，即，又兩條漸近線方程為，即，故有，所以故選：B.8.已知函數(shù)的定義域為R，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.方程有解C.是偶函數(shù) D.是偶函數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知得到，應(yīng)用遞推式及累加法求解析式，進而判斷各項正誤.【詳解】因為函數(shù)的定義域為R，由，，取，得，取，得，故A錯誤．取，得，所以，，?，，以上各式相加得，所以，不是偶函數(shù)，故C錯誤；令，得，解得x=1或2，故B正確；因為，所以不是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)正實數(shù)滿足，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BD【解析】【分析】利用基本不等式判斷A，利用基本不等式“1”的妙用判斷B，利用平方法，結(jié)合基本不等式判斷C，利用完全平方公式，結(jié)合基本不等式判斷D，從而得解.【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，此時取最大值，故A不正確；對于B，因為正實數(shù)滿足，所以，當且僅當且，即時取等號，所以的最小值為，故B正確；對于C，，當且僅當時取等號，所以，即最大值為2，故C錯誤；對于D，由，因此，當且僅當時取等號，則的最小值為，故D正確.故選：BD10.已知函數(shù)的圖象過點和，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.當時，函數(shù)值域為D.函數(shù)有三個零點【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)和的范圍即可得，進而根據(jù)可得即可判斷AB，根據(jù)整體法即可求解C，利用函數(shù)圖象即可求解D.【詳解】解：點代入解析式得，，即，又

故A項正確.由，解得，

又，，由A項可知，則有，

因此，

又因為和和，可知，，解得故B項正確.由AB選項可知，，

則時，，此時函數(shù)值域為故C項錯誤.由五點作圖法作出的圖象及的圖象，如下圖所示。通過圖象可知與的圖像有3個不同交點，因此函數(shù)有三個零點.因此D項正確。故選：ABD11.已知是數(shù)列的前n項和，且，則下列選項中正確的是（）A.B.C.若，則D.若數(shù)列單調(diào)遞增，則的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】由推出，兩式相減即可判斷A；由推出，兩式相減即可判斷B；由分析知，an中奇數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，再由等差數(shù)列得前項和公式求和可判斷C；根據(jù)數(shù)列an單調(diào)遞增可判斷D.【詳解】對于A，①，②.由①②式可得；，A選項正確；對于B，因為，所以，兩式相減得：，所以B正確；對于C，因為，令，得，因為，所以，令，得，因為，，可得，因為，而，所以，所以an奇數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以C選項正確；對于D，，令，則，所以，則，又因為，令，則，所以，同理：，，因為數(shù)列an單調(diào)遞增，所以，解得：，解得：，解得：，解得：，解得：，所以的取值范圍是，所以D不正確.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是利用得出an的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等差數(shù)列.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中，的系數(shù)為15，則a=________.(用數(shù)字填寫答案)【答案】【解析】【詳解】因為，所以令，解得，所以=15，解得.考點：本小題主要考查二項式定理的通項公式，求特定項的系數(shù)，題目難度不大，屬于中低檔.13.若正四棱錐的高為8，且所有頂點都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側(cè)面積為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)正四棱錐的頂點在底面的投影為，由題意結(jié)合勾股定理計算可得該正四棱柱底面邊長與側(cè)棱長，再計算出側(cè)面的高后，結(jié)合側(cè)面積公式計算即可得解.【詳解】如圖所示，設(shè)P在底面的投影為，易知正四棱錐的外接球球心在PG上，由題意球的半徑為，，所以，，則，故中，邊的高為，所以該正四棱錐的側(cè)面積為故答案為：14.函數(shù)的導函數(shù)為，若在的定義域內(nèi)存在一個區(qū)間在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個“漸緩增區(qū)間”．若對于函數(shù)，區(qū)間是其一個漸緩增區(qū)間，那么實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先通過f′x在區(qū)間上單調(diào)遞減，得到其導函數(shù)不大于零恒成立，通過參變分離求最值得的范圍，再通過在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到其導函數(shù)不小于零恒成立，通過單調(diào)性求得的范圍，綜合可得答案.【詳解】對于函數(shù)，，令，則，因為f′x在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以恒成立，即恒成立，又，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以恒成立，所以，解得，綜合得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）證明：（2）若，，求的周長.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用正弦函數(shù)的和差公式，結(jié)合正弦定理與余弦定理的邊角變換，化簡整理即可得證；（2）利用（1）中結(jié)論與余弦定理分別求得，從而求得，由此得解.【小問1詳解】已知，可化為，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，整理得.【小問2詳解】當，時，，，所以，解得，所以的周長為16.如圖，在三棱柱中，，四邊形菱形，，.（1）證明：.（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過線面、面面的位置關(guān)系證平行四邊形為菱形即可；（2）先證平面，根據(jù)題意建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法即可求解.【小問1詳解】設(shè)為的中點，連接，，，，因為，所以，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，則，又平面，平面，，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，平面，，所以平面，因為平面，所以，所以四邊形為菱形，即.【小問2詳解】因為平面平面，且平面平面，，平面，所以平面；以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè).則O0,0,0，，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則令，則，，可得設(shè)平面的法向量為n=a,b,c，則令，則，，可得.，故二面角的正弦值為.17.已知橢圓的短軸長為，點在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程;（2）過P作兩條相互垂直的直線PA，PB分別交橢圓C于另一點A，B，求證：直線AB過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）分直線的斜率是否存在兩種情況討論，當直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出【小問1詳解】由題意，得，解得，，所以橢圓C的方程為；小問2詳解】當直線AB斜率不存在時：Ax0,由知：，有，代入，知，可得或，但時與P重合舍去，此時；當直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為，代入橢圓方程，整理得，由，得，設(shè)Ax1,則，，因為，所以，所以，即，其中，，代入整理得，即，當時，直線AB過點P，不合題意，所以，此時，直線AB的方程為，直線過定點，綜上所述，直線AB恒過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.18.設(shè)數(shù)列的前n項和為若對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，則稱是“H數(shù)列”.（1）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列是“H數(shù)列”;（2）若數(shù)列的前n項和，證明：數(shù)列不是“H數(shù)列”;（3）設(shè)是等差數(shù)列，其首項，公差若是“H數(shù)列”，求d的值.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列前n項和與通項公式，結(jié)合“H數(shù)列”的定義證明即可；（2）由證等比數(shù)列，并求數(shù)列通項公式，根據(jù)通項公式和前n項和及“H數(shù)列”的定義證明結(jié)論；（3）由等差數(shù)列前n項和與通項公式，結(jié)合“H數(shù)列”的定義得到，進而確定參數(shù)值.【小問1詳解】因為，設(shè)公差為d，所以，令，則，這時，即對任意正自然數(shù)n，存在正自然數(shù)m，使得，.所以，數(shù)列是“H數(shù)列”.【小問2詳解】因為數(shù)列的前n項和，當n=1時，，所以，當n2時，，所以，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.所以，假設(shè)數(shù)列是“H數(shù)列”，則對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，當m=1時，有，則n=1；當m2時，有，左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，該方程無解.所以對任意正整數(shù)n，不存在正整數(shù)m，使得，所以數(shù)列不是“H數(shù)列”【小問3詳解】依題意，，，若是“H數(shù)列”，則對任意的，都存在使得，即，所以，又因為，，所以對任意的，，且d<0，則19.已知定義：函數(shù)的導函數(shù)為，我們稱函數(shù)的導函數(shù)為函數(shù)的二階導函數(shù)，如果一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間I上的二階導函數(shù)，則稱為I上的凹函數(shù);二階導函數(shù)，則稱為I上的凸函數(shù).若是區(qū)間I上的凹函數(shù)，則對任意的，有不等式恒成立（當且僅當時等號成立）.若是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對任意的，有不等式恒成立（當且僅當時等號成立）.已知函數(shù)，.（1）試判斷在為凹函數(shù)還是凸函數(shù)?（2）設(shè)，，，，且，求最大值;（3）已知，且當，都有恒成立，求實數(shù)a的所有可能取值.【答案】（1）凸函數(shù)（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)凹凸函數(shù)的定義判斷即可；（2）由（1）知在為凸函數(shù)，根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意即可求解；（3）令，，則問題轉(zhuǎn)化為?x>0在上恒成立，對分類討論，結(jié)合導數(shù)的運算研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】，，所以，f″x，因為，所以f″x，所以在為凸函數(shù).【小問2詳解】由（1）知在內(nèi)為凸函數(shù)，又，且（，，，），所以所以【小問3詳解】令，，則?x>0在上恒成立，則，且，當，，不合題意舍去;當