安徽省蕪湖市一中2024-2025學年高三上學期10月教學質量診斷測試數(shù)學試題

第20頁/共20頁蕪湖一中2025屆高三年級10月份教學質量診斷測試數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解化簡集合，，利用交集的運算求即可.【詳解】因為，則，故選：C2.一個圓錐底面積是側面積的一半，那么它的側面展開圖圓心角為（

）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設圓錐底面半徑為，母線為，根據(jù)題意可得，代入圓心角公式，即可得答案.【詳解】設圓錐底面半徑為，母線為，則圓錐的側面積為，由題意得，解得，所以圓錐底面圓的周長即圓錐側面展開圖扇形的弧長為，所以該扇形的圓心角.故選：D3.函數(shù)，已知在時取得極值，則上的最大值為（）A. B.1 C.9 D.4【答案】C【解析】【分析】利用，求得，代入利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性，結合函數(shù)的單調性，即可求解函數(shù)的最值.【詳解】因為函數(shù)，所以，因為在時取得極值，所以，解得，所以，，，令，則，解得或（舍），當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時取得最大值為.故選：C.4.《九章算術》是我國古代的數(shù)學著作，在《方田》章節(jié)中給出了“弦”和“矢”的定義，“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，記圓心角，若“弦”為，“矢”為1時，則等于（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用圖形以及“弦”和“矢”的定義，由平方關系可求得角的三角函數(shù)值，即可計算得出結果.【詳解】根據(jù)題意可設半徑長，可得，由同角三角函數(shù)值之間的基本關系可得，解得；即可得,；所以.故選：D5.已知函數(shù)是定義在R上偶函數(shù)，當時，，若函數(shù)僅有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)的性質畫出函數(shù)圖象，然后把函數(shù)僅有4個零點，轉化為函數(shù)y=fx與的圖象有4個交點，數(shù)形結合即可求解.【詳解】當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，又函數(shù)是定義在R上偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱作出函數(shù)圖象：因為函數(shù)僅有4個零點，所以函數(shù)y=fx與的圖象有4個交點，根據(jù)圖象可知：，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A6.已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，①又因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，②聯(lián)立①②可得，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故函數(shù)的最小值為.故選：B.7.已知定義在R上的函數(shù)滿足，當時，.若對任意，都有，則實數(shù)的最大值為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知利用正弦函數(shù)圖象與性質、函數(shù)的周期性，結合函數(shù)圖象進行求解即可.【詳解】當時，，且定義在R上的函數(shù)滿足，所以函數(shù)的大致圖象為因為，，所以，，所以由，可得，當時，由的，所以對任意，都有，得實數(shù)的取值范圍為，則實數(shù)的最大值為.故選：B.8.設，若存在正實數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡得，從而，，構造函數(shù)，有單調性得，再化簡得，再構造函數(shù)，求得最大值即可.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，即，設函數(shù)，，，所以函數(shù)在為增函數(shù)，所以所以，設函數(shù)，，所以函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以，所以的最大值為，故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設．且，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】結合不等式的性質、基本不等式求得正確答案.【詳解】因為，，所以，故A正確；因為，設，則，故B錯誤；因為，所以，故C正確；因為，當且僅當，即，時，等號成立，此時滿足，，所以，故D正確．故選：ACD10.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則下列命題正確的是（）A.當時， B.的解集為C.，都有 D.函數(shù)有2個零點【答案】BC【解析】【分析】由奇偶性求出當時函數(shù)的解析式，即可判斷A，分類討論解不等式，即可判斷B，由于的值域為，所以，都有，即可判斷C，由，，又，即可判斷D.【詳解】時，則，所以，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，故A錯誤；當時，由，得，當時，由，得；所以的解集為，故B正確；當時，，，令，則，當，，單調遞減，當，，單調遞增，所以，且當時，，，當時，，，令，則，當，，單調遞增，當，，單調遞減，所以，且當時，，，所以的值域為，，所以，都有，故C正確；因為，，又，所以有3個零點，故D錯誤；故選：BC11.已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，，且，則下列選項正確的是（）A.的取值范圍是 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先令，參變分離化簡，得，我們將題中函數(shù)零點個數(shù)問題轉化為，函數(shù)交點問題，然后求得a的取值范圍；利用圖像可知兩個零點的大小關系，然后去驗證兩個關系即可；然后利用兩個的關系，利用基本不等式判斷；假設正確，利用零點與的關系消元，然后利用不等式性質以及構造函數(shù)證明即可.【詳解】令，令，由題可知，，，令，得，顯然，當x∈0,1時，，所以單調遞減；當x∈1,+∞時，，所以單調遞増；，得示意圖所以都符合題意，故A錯誤；由示意圖可知，顯然，當且時，易知取兩個互為倒數(shù)的數(shù)時，函數(shù)值相等，因為，所以互為倒數(shù)，即，故B正確；，等且僅當時等號成立，因為，所以，故C正確；因為，要證，即證，因為，所以，即證，我們分別證明，，證明：因為，所以，證明：要證，即證，不妨設，得，顯然，當時，?′x<0，此時當時，?′x>0，此時故，故，即，所以證得，即證得，即得，故選項D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：零點問題解決的關鍵是轉化，有變量的式子，我們經常參變分離，然后將零點問題轉化為兩個函數(shù)的交點問題，畫圖判斷即可；對于選擇題中的一些選項，我們可以假設正確，然后驗證即可；題中存在多個變量，我們經常需要找到變量之間的關系，然后消元，變成一個變量，然后解決即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，則______.【答案】##【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義求出，然后利用誘導公式化簡式子計算即可.【詳解】因為角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，所以由三角函數(shù)的定義可得：，.故答案為：13.已知命題：函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，命題：，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得命題：，由是的充分不必要條件，可得是的真子集，即可得到答案.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以，解得：，又因為是的充分不必要條件，則是的真子集，即的取值范圍是故答案為：14.已知曲線與有公共切線，則實數(shù)的最大值為______．【答案】【解析】【分析】先設出切點，求導得到切線方程，斜率截距對應相等，得到,構造函數(shù)，轉化為存在性問題，最終求最值即可.【詳解】設曲線與的切點分別為，，因為，，則兩切線斜率，，所以，，所以，所以，即，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，即，即，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.集合（1）求（2）非空集合，求實數(shù)a的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡集合結合集合交集、補集運算即可；（2）確定，即可求解.【小問1詳解】所以或所以【小問2詳解】因為，所以，則即，需滿足且，解得所以實數(shù)a的范圍是.16.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)，判斷的值域；（2）若關于的方程有實根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）為非奇非偶函數(shù)；值域為?∞,0；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)定義域不關于原點對稱，可知為非奇非偶函數(shù)；利用分離常數(shù)的方式可知，根據(jù)的范圍求得，從而得到的值域；（2）將問題轉化為有實根；構造，根據(jù)復合函數(shù)單調性求得單調性，根據(jù)單調性求得的值域，進而得到的范圍.【詳解】（1）由得定義域為：0,+∞因此定義域不關于原點對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)由題意知：當x∈0,+∞時，所以所以函數(shù)的值域為?∞,0（2）方程有實根，即有實根構造函數(shù)則因為函數(shù)在上單調遞減，而在0,+∞上單調遞增所以復合函數(shù)是上的單調遞減函數(shù)所以在上最小值為，最大值為即，所以當時，方程有實根【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)值域的求解、根據(jù)方程根的情況求解參數(shù)范圍.解決方程根的個數(shù)的問題，關鍵是能夠通過分離變量將問題轉化為參數(shù)與新函數(shù)的交點問題，通過求解值域得到結果.17.已知在處的切線方程為．（1）求函數(shù)的解析式：（2）是的導函數(shù)，證明：對任意，都有．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得到關于的方程，即可得到結果；（2）根據(jù)題意，令，然后求導得到其在上的最大值，即可得證.【小問1詳解】由題意可得，，且，則，即，即，所以【小問2詳解】由（1）可知，，所以，令，則，所以時，，即在上單調遞減，所以，即，所以，即18.已知函數(shù)．（1）討論的單調性．（2）已知是函數(shù)的兩個零點．（?。┣髮崝?shù)的取值范圍．（ⅱ）是的導函數(shù)．證明：．【答案】（1）答案見解析（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，對進行分類討論的單調性；（2）利用方程組，得到，問題轉化為恒成立，換元后構造函數(shù)求出函數(shù)單調性及最值，從而得到證明.【小問1詳解】．①當時，在0,+∞上單調遞增．②當時，令f′x>0得，即在上單調遞增；同理，令f′x<0得，即在上單調遞減．【小問2詳解】（ⅰ）由（1）可知當時，在0,+∞上單調遞增，不可能有兩個零點．當時，在上單調遞增，在上單調遞減，若使有兩個零點，則，即，解得，且，當時，，則有，所以的取值范圍為．（ⅱ）是函數(shù)兩個零點，則有①，②，①-②得，即，，因為有兩個零點，所以不單調，因為，得，所以．若要證明成立，只需證，即證，令，則，則不等式只需證，即證，令，，令，令，因為，得在1,+∞上單調遞減，得，得，即在1,+∞上單調遞減，得，得，即在1,+∞上單調遞減，所以有，故有，不等式得證．【點睛】關鍵點點睛：對于雙變量問題，要轉化為單變量問題，通常情況下利用對數(shù)的運算性質進行轉化，轉化后利用構造新函數(shù)及最值進行求解證明.19.若函數(shù)的定義域為，有，使且，則對任意實數(shù)k，b，曲線與直線總相切，稱函數(shù)為恒切函數(shù).（1）判斷函數(shù)是否為恒切函數(shù)，并說明理由；（2）若函數(shù)為恒切函數(shù).（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）當取最大值時，若函數(shù)恒切函數(shù)，記，證明：.（注：是自然對數(shù)的底數(shù).參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）是恒切函數(shù)，理由見解析（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）對求導，利用恒切函數(shù)的定義求出，即可判斷；（2）（i）根據(jù)恒切函數(shù)的定義解方程，用表示，再利用導數(shù)即可求解的取值范圍；（ii）由的值可得的值，從而可得的解析式，利用新定義，可得，令，求出的取值范圍，由，從而可得的取值范圍，從而得證.【小問1詳解】設函數(shù)為恒切函數(shù)，則有，使且，即，解得，故函數(shù)是恒切函數(shù).【小問2詳解】（i）由函數(shù)為恒切函數(shù)可知，存在，使得且，即解得，，設，，當時，遞增；當時，遞減.，即實數(shù)的取值范圍是.（ii）當時，，函數(shù)為恒切函數(shù).又，所以存在，使得，即.令，則，當時，遞減；當時，遞增.所以當時，，，故在上存在唯一，使得，即.又由，得，由得，所以又，所以當時