2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)-第七章-隨機(jī)變量及其分布單元素養(yǎng)評價新人教A版選擇性必修第三冊

2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布單元素養(yǎng)評價新人教A版選擇性必修第三冊2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布單元素養(yǎng)評價新人教A版選擇性必修第三冊2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布單元素養(yǎng)評價新人教A版選擇性必修第三冊2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布單元素養(yǎng)評價新人教A版選擇性必修第三冊年級：姓名：單元素養(yǎng)評價(二)(第七章)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.某人通過普通話二級測試的概率是QUOTE,若他連續(xù)測試3次(各次測試互不影響),那么其中恰有1次通過的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為某人通過普通話二級測試的概率是QUOTE,他連續(xù)測試3次,所以其中恰有1次通過的概率是:P=QUOTE=QUOTE.2.(2020·蓮湖高二檢測)如圖展現(xiàn)給我們的是唐代著名詩人杜牧寫的《清明》,這首詩不僅意境極好,而且還準(zhǔn)確地描述出了清明時節(jié)的天氣狀況,那就是“雨紛紛”,即天氣多陰雨.某地區(qū)氣象監(jiān)測資料表明,清明節(jié)當(dāng)天下雨的概率是0.9,連續(xù)兩天下雨的概率是0.63,若該地某年清明節(jié)當(dāng)天下雨,則隨后一天也下雨的概率是()A.0.63 B.0.7 C.0.9 D.0.567【解析】選B.清明節(jié)當(dāng)天下雨為事件A,第二天下雨為事件B,P(A)=0.9,P(AB)=0.63,則P(B|A)=QUOTE=QUOTE=0.7.3.(2020·贛州高二檢測)隨機(jī)變量ξ的分布列如表,且滿足E(ξ)=2,則E(aξ+b)的值為()ξ123PabcA.0 B.1C.2 D.無法確定,與a,b有關(guān)【解析】選B.因為E(ξ)=2,所以由隨機(jī)變量ξ的分布列得到:a+2b+3c=2,又a+b+c=1,解得a=c,所以2a+b=1,所以E(aξ+b)=aE(ξ)+b=2a+b=1.4.同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣4次,設(shè)2枚硬幣均正面向上的次數(shù)為X,則X的方差是()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】選B.同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣,恰好出現(xiàn)兩枚正面向上的概率P=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以2枚硬幣均正面向上的次數(shù)X～BQUOTE,所以X的方差D(X)=4×QUOTE×QUOTE=QUOTE.5.將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次,設(shè)事件A={兩個點數(shù)互不相同},B={出現(xiàn)一個5點},則P(B|A)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.出現(xiàn)點數(shù)互不相同的共有6×5=30種,出現(xiàn)一個5點的共有5×2=10種,所以P(B|A)=QUOTE=QUOTE.6.甲、乙兩個氣象臺同時做天氣預(yù)報,如果它們預(yù)報準(zhǔn)確的概率分別為0.8與0.7,且預(yù)報準(zhǔn)確與否相互獨立,那么在一次預(yù)報中這兩個氣象臺的預(yù)報都不準(zhǔn)確的概率是()A.0.06 B.0.24 C.0.56 D.0.94【解析】選A.設(shè)“甲氣象臺預(yù)報準(zhǔn)確”為事件A,“乙氣象臺預(yù)報準(zhǔn)確”為事件B,則P(A)=0.8,P(B)=0.7,且A,B相互獨立,則在一次預(yù)報中這兩個氣象臺的預(yù)報都不準(zhǔn)確的概率為P(QUOTEQUOTE)=P(QUOTE)P(QUOTE)=(1-0.8)×(1-0.7)=0.06.7.已知隨機(jī)變量X,Y滿足:X～B(2,p),Y=2X+1,且P(X≥1)=QUOTE,則D(Y)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.隨機(jī)變量X滿足:X～B(2,p),且P(X≥1)=QUOTE,所以P(X=0)=1-P(X≥1)=QUOTE(1-p)2=QUOTE,解得p=QUOTE,所以X～BQUOTE,所以D(X)=2×QUOTE×QUOTE=QUOTE,因為Y=2X+1,D(Y)=22D(X)=QUOTE.8.甲、乙兩位同學(xué)各拿出六張游戲牌,用作投骰子的獎品,兩人商定:骰子朝上的面的點數(shù)為奇數(shù)時甲得1分,否則乙得1分,先積得3分者獲勝得所有12張游戲牌,并結(jié)束游戲.比賽開始后,甲積2分,乙積1分,這時因意外事件中斷游戲,以后他們不想再繼續(xù)這場游戲,下面對這12張游戲牌的分配合理的是()A.甲10張,乙2張 B.甲9張,乙3張C.甲8張,乙4張 D.甲6張,乙6張【解析】選B.由題意知,繼續(xù)比賽下去,甲獲勝的概率為QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,乙獲勝的概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以甲應(yīng)分得12×QUOTE=9張牌,乙應(yīng)分得12×QUOTE=3張牌.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.如城鎮(zhèn)小汽車的普及率為75%,即平均每100個家庭有75個家庭擁有小汽車,若從如城鎮(zhèn)中任意選出5個家庭,則下列結(jié)論成立的是()A.這5個家庭均有小汽車的概率為QUOTEB.這5個家庭中,恰有三個家庭擁有小汽車的概率為QUOTEC.這5個家庭平均有3.75個家庭擁有小汽車D.這5個家庭中,四個家庭以上(含四個家庭)擁有小汽車的概率為QUOTE【解析】選ACD.由題得小汽車的普及率為QUOTE,A.這5個家庭均有小汽車的概率為QUOTE=QUOTE,所以該命題是真命題;B.這5個家庭中,恰有三個家庭擁有小汽車的概率為QUOTE=QUOTE,所以該命題是假命題;C.這5個家庭平均有3.75個家庭擁有小汽車,是真命題;D.這5個家庭中,四個家庭以上(含四個家庭)擁有小汽車的概率為QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以該命題是真命題.10.“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣,發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻,成功研究出“兩系法”雜交水稻,創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系,為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻(xiàn);某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高,得出株高(單位:cm)服從正態(tài)分布,其密度曲線函數(shù)為f(x)=QUOTE,x∈(-∞,+∞),則下列說法正確的是()A.該地水稻的平均株高為100cmB.該地水稻株高的方差為10C.隨機(jī)測量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D.隨機(jī)測量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(單位:cm)的概率一樣大【解析】選AC.由正態(tài)分布密度曲線函數(shù)為f(x)=QUOTE,x∈(-∞,+∞),得μ=100,σ=10.所以該地水稻的平均株高為E(X)=100cm,故A正確;該地水稻株高的標(biāo)準(zhǔn)差σ=10,方差為100,故B錯誤;因為P(X>120)=QUOTE[1-P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)]=QUOTE(1-0.9545)=0.02275,P(X<70)=QUOTE[1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)]=QUOTE(1-0.9973)=0.00135,所以隨機(jī)測量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大,故C正確;P(80<X<90)=QUOTE[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]=QUOTE(0.9545-0.6827)=0.1359,P(100<X<110)=QUOTE[P(μ-σ≤X≤μ+σ)]=QUOTE×0.6827=0.34135.所以隨機(jī)測量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(單位:cm)的概率不一樣大,故D錯誤.11.(2020·聊城高二檢測)若隨機(jī)變量X服從兩點分布,其中P(X=0)=QUOTE,E(X),D(X)分別為隨機(jī)變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是()A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=4C.D(X)=QUOTE D.D(4X+1)=4【解析】選ABC.隨機(jī)變量X服從兩點分布,其中P(X=0)=QUOTE,所以P(X=1)=QUOTE,E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE=QUOTE,在A中,P(X=1)=E(X),故A正確;在B中,E(4X+1)=4E(X)+1=4×QUOTE+1=4,故B正確;在C中,D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,故C正確;在D中,D(4X+1)=16×QUOTE=3,故D錯誤.12.擲一個不均勻的硬幣6次,每次擲出正面的概率均為QUOTE,恰好出現(xiàn)k次正面的概率記為Pk,則下列說法正確的是()A.P1=P5B.P1<P5C.QUOTEPk=1D.P0,P1,P2,…,P6中最大值為P4【解析】選BD.由n次獨立重復(fù)試驗的概率計算公式可知,Pk=QUOTE·QUOTE,所以P1=QUOTE·QUOTE,P5=QUOTE·QUOTE,顯然P1<P5,即選項A錯誤,選項B正確;由必然事件的概率可知,QUOTEPk=1,而P0=QUOTE≠0,即選項C錯誤;設(shè)P0,P1,P2,…,P6中的最大值為Pi(0≤i≤6,且i∈N),則QUOTE即QUOTE解得QUOTE≤i≤QUOTE,因為i∈N,所以i=4,所以P0,P1,P2,…,P6中最大的為P4,即選項D正確.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.離散型隨機(jī)變量X～N(0,1),則P(-2≤X≤2)=________.

【解析】因為正態(tài)曲線的對稱軸為直線x=0,所以P(-2≤X≤2)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.答案:0.954514.某人參加駕照考試,共考6個科目,假設(shè)他通過各科考試的事件是相互獨立的,并且概率都是P,若此人未能通過的科目數(shù)ξ的均值是2,則P=________.

【解析】因為通過各科考試的概率為P,所以不能通過考試的概率為1-P,易知ξ～B(6,1-P),所以E(ξ)=6(1-P)=2,解得P=QUOTE.答案:QUOTE15.哈西某商場舉辦購物抽獎活動,凡當(dāng)日購物滿1000元的顧客,可參加抽獎,規(guī)則如下:盒中有大小質(zhì)地均相同的5個球,其中2個紅球和3個白球,不放回地依次摸出2個球,若在第一次和第二次均摸到紅球則獲得特等獎,否則獲得紀(jì)念獎,則顧客獲得特等獎的概率是________.

【解析】設(shè)2個紅球分別為A,B,3個白球分別為a,b,c,不放回地依次摸出2個球,基本事件總數(shù)有10個,分別為(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),第一次和第二次均摸到紅球包含的基本事件只有(A,B),則顧客獲得特等獎的概率是P=QUOTE.答案:QUOTE16.(2020·溫州高二檢測)盒中有6個小球,其中4個白球,2個黑球,從中任取2個球,在取出的球中,黑球放回,白球則涂黑后再放回,此時盒中黑球的個數(shù)為X,則P(X=3)=________,E(X)=________.

【解析】X=3表示取出的為一個白球,所以P(X=3)=QUOTE=QUOTE,X=2表示取出兩個黑球,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,X=4表示取出2個球為白球,P(X=4)=QUOTE=QUOTE,E(X)=3×QUOTE+2×QUOTE+4×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE【加練·固】某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個.從袋中隨機(jī)取出3個球,恰全為黑球的概率為QUOTE,則黑球的個數(shù)為________.若記取出3個球中黑球的個數(shù)為X,則D(X)=________.

【解析】設(shè)黑球的個數(shù)為n,由P=QUOTE=QUOTE得n=3,記取出3個球中黑球的個數(shù)為X,X的取值可以為:1,2,3;P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE,畫出分布列如下:X123PE(X)=QUOTE×1+QUOTE×2+QUOTE×3=QUOTE,D(X)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:3QUOTE四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(10分)某校從學(xué)生文藝部6名成員(4男2女)中,挑選2人參加學(xué)校舉辦的文藝匯演活動.(1)在已知男生甲被選中的條件下,求女生乙被選中的概率;(2)在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下,求女生乙被選中的概率.【解析】從6名成員中挑選2名成員,共有15種情況,記“男生甲被選中”為事件A,事件A所包含的基本事件數(shù)為5種,故P(A)=QUOTE.(1)記“男生甲被選中”為事件A,“女生乙被選中”為事件B,則P(AB)=QUOTE,由(1)知P(A)=QUOTE,故P(B|A)=QUOTE=QUOTE.(2)記“被選中的2人一男一女”為事件C,則P(C)=QUOTE,“女生乙被選中”為事件B,P(BC)=QUOTE,故P(B|C)=QUOTE=QUOTE.18.(12分)某跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率是失敗概率的4倍,且每次試跳成功與否相互之間沒有影響.(1)求甲試跳三次,第三次才成功的概率;(2)求甲在三次試跳中恰有兩次試跳成功的概率.【解析】設(shè)該跳高運動員在一次試跳中成功的概率為p,則失敗概率為1-p.依題意有p=4(1-p),解得p=QUOTE.(1)由于每次試跳成功與否相互之間沒有影響,所以試跳三次中第三次才成功的概率為(1-p)2p=QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)甲的三次試跳可看成三次獨立重復(fù)試驗,設(shè)甲在三次試跳中恰有兩次成功的概率為P,則P=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.19.(12分)某市教育部門計劃從該市的中學(xué)生中選出6人作為該市代表去參加省里的中華古詩詞大賽,該市經(jīng)過初賽選拔最后決定從甲、乙兩所中學(xué)的學(xué)生中進(jìn)行最后的篩選.甲中學(xué)推薦了3名男生,3名女生,乙中學(xué)推薦了3名男生,4名女生,兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn),由于集訓(xùn)后所有學(xué)生的水平相當(dāng),該市決定從參加集訓(xùn)的兩校男生中隨機(jī)抽取3人,女生中隨機(jī)抽取3人組成該市的代表隊.(1)求甲中學(xué)至少有1名學(xué)生入選該市代表隊的概率;(2)在省賽某場比賽前,從該市代表隊的6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參賽,設(shè)X表示參賽隊員中的女生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)依題意知,來自甲、乙兩所中學(xué)參加集訓(xùn)的學(xué)生中共有男生6名,女生7名,則入選代表隊的學(xué)生全部來自乙中學(xué)的概率為QUOTE=QUOTE,即沒有1名甲中學(xué)的學(xué)生入選代表隊的概率為QUOTE,故甲中學(xué)至少有1名學(xué)生入選該市代表隊的概率為P=1-QUOTE=QUOTE.(2)因為參賽的6名隊員中包含男生、女生各3名,故由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,所以P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE,所以X的分布列為:X0123PE(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.20.(12分)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T,T只與道路通暢狀況有關(guān),對其容量為100的樣本進(jìn)行統(tǒng)計,結(jié)果如表:T/分鐘25303540頻數(shù)/次20304010(1)求T的分布列與數(shù)學(xué)期望E(T);(2)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā),前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座,結(jié)束后立即返回老校區(qū),求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率.【解析】(1)由統(tǒng)計結(jié)果可得T的頻率分布為T/分鐘25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計概率得T的分布列為T25303540P0.20.30.40.1從而數(shù)學(xué)期望E(T)=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32.(2)設(shè)T1,T2分別表示往、返所需時間,T1,T2的取值相互獨立且與T的分布列相同,設(shè)事件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘”,由于講座時間為50分鐘,所以事件A對應(yīng)于“劉教授在路途中的時間不超過70分鐘”.P(QUOTE)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(QUOTE)=0.91.21.(12分)某游戲策劃者策劃了一個抽獎游戲,規(guī)則如下:一個口袋中裝有完全一樣的5張牌,分別寫有數(shù)字“1”“2”“3”“4”“5”,每次從口袋中摸出3張牌,若摸出3張牌的和為奇數(shù),則獲勝,否則為失敗.(1)求抽獎?wù)呙看蚊偏@勝的概率;(2)若每位抽獎?wù)呙拷籥(a為正整數(shù))元錢就可獲得三次摸牌機(jī)會.若三次摸牌均獲勝則中一等獎,獎勵價值10元的奶茶一杯;若三次摸牌獲勝兩次則中二等獎,獎勵價值3元的可樂一瓶;其他均不中獎.游戲策劃者要想不虧錢,則a至少是多少?【解析】(1)由題意從5張牌中摸出3張牌包含的基本事件有QUOTE=10個,其中3張牌的和為奇數(shù)包含3張奇數(shù)牌或1張奇數(shù)牌2張偶數(shù)牌,共有QUOTE+QUOTE×QUOTE=4個基本事件,所以抽獎?wù)呙看蚊偏@勝的概率P=QUOTE=QUOTE.(2)設(shè)X為三次摸牌中獲勝的次數(shù),則X～BQUOTE,則三次摸牌中獲勝的次數(shù)為3的概率為P(X=3)=QUOTE=QUOTE,三次摸牌中獲勝的次數(shù)為2的概率為P(X=2)=QUOTE=QUOTE,三次摸牌中獲勝的次數(shù)為1的概率為P(X=1)=QUOTE=QUOTE,三次摸牌中獲勝的次數(shù)為0的概率為P(X=0)=QUOTE=QUOTE,設(shè)Y為抽獎?wù)叩氖找?單位:元),Y可取10-a,3-a,-a,由題意P(Y=10-a)=P(X=3)=QUOTE,P(Y=3-a)=P(X=2)=QUOTE,P(Y=-a)=P(X=1)+P(X=0)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以隨機(jī)變量Y的分布列為:Y10-a3-a-aPE(Y)=(10-a)×QUOTE+(3-a)×QUOTE+(-a)×QUOTE=QUOTE,游戲策劃者要想不虧錢,則需保證