云南省長水教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

長水教育集團(tuán)2024~2025學(xué)年第一學(xué)期質(zhì)量檢測（11月）高二年級數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，若，則（）A.1 B. C.0 D.2.已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.3.已知，，，則（）A. B. C. D.4.若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.5.若圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.6.已知向量，滿足：，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.7.過點(diǎn)分別作兩條直線與圓分別相切于、兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.8.在正方體中，平面經(jīng)過點(diǎn)，，平面經(jīng)過點(diǎn)，，當(dāng)平面，分別截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面與平面夾角的余弦值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.的虛部為B.C.在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于直線上D.為方程的一個根10.如圖，已知斜三棱柱中，，，，，，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，則（）A. B.C. D.平面平面11.若圓：上恰有三個點(diǎn)到直線：的距離為2，則的取值可以為（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.學(xué)校組織知識競賽，某班8名學(xué)生的成績（單位：分）分別是65，60，75，78，86，84，90，94，則這8名學(xué)生成績的分位數(shù)是______.13.過曲線上一點(diǎn)作平行于兩坐標(biāo)軸的直線，分別交曲線于點(diǎn)，，若直線過原點(diǎn)，則其斜率為______.14.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，所得圖象與曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，則______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知直線：與直線：.（1）當(dāng)為何值時(shí)，與平行，并求與的距離；（2）當(dāng)為何值時(shí)，與垂直.16.（本小題滿分15分）在中，，，分別是內(nèi)角，，的對邊，且.（1）若，求；（2）若，求面積的最大值.17.（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上的一點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.18.（本小題滿分17分）已知圓的半徑為3，圓心在直線：位于第一象限的部分上，一條光線沿直線入射被軸反射后恰好與圓相切.（1）直接寫出的反射光線所在直線的方程；（2）求圓的方程；（3）點(diǎn)是圓與軸的公共點(diǎn)，一條光線從第一象限入射后與圓相切于點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，其在點(diǎn)處被直線反射后沿著軸負(fù)方向傳播，此時(shí)的面積恰好為，求直線的方程.19.（本小題滿分17分）在以為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中：過點(diǎn)的直線與圓：交于，兩點(diǎn)，圓：.（1）若，求的斜率；（2）若過點(diǎn)存在無窮多對互相垂直的直線和分別與和相交于，和，兩點(diǎn)，和的斜率存在，且，求的值.

長水教育集團(tuán)2024~2025學(xué)年第一學(xué)期質(zhì)量檢測（11月）高二年級數(shù)學(xué)答案一、選擇題1.A【解析】，則，解得.當(dāng)，滿足題意；當(dāng)，不滿足集合元素互異性；故.故選A.2.A【解析】由題設(shè)，則直線的斜率，結(jié)合直線傾斜角的范圍，易知直線的傾斜角為.故選A.3.D【解析】由指對冪函數(shù)單調(diào)性易得，，，故.故選D.4.C【解析】因方程表示圓，所以，解得.故選C.5.B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，由于圓錐的軸截面是等邊三角形，則該圓錐的高為，母線長為，又軸截面面積為，故，，則該圓錐的表面積為.故選B.6.A【解析】由，，得，即，由已知得，所以向量在向量上的投影向量.故選A.7.C【解析】因?yàn)?，可得圓心，半徑，因?yàn)?，則，可得，，故.故選C.8.D【解析】如圖：因?yàn)檎襟w中過體對角線的截面面積最大，所以題目轉(zhuǎn)化為求平面與平面夾角的余弦值，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，平面與平面的夾角為，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，且，，，平面，所以平面，同理平面，所以為平面的一個法向量，為平面的一個法向量，，，，，，則.故選D.二、選擇題9.BCD【解析】對于A，，故，其虛部為，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于直線上，故C正確；對于D，易得，故D正確.故選BCD.10.ABD【解析】對于A，因，故A正確；對于B，不妨設(shè)，，，則構(gòu)成空間的一個基底.則依題意：，，，，，由A可得，，則，則，故B正確；對于C，因，故，故C錯誤；對于D，如圖取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以.又，故有.因?yàn)?，，平面，所以平面，又平面，故平面平面，即D正確.故選ABD.11.BC【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑為4，設(shè)直線的方程為，即，由于圓的半徑為4，則要使上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為2，只需圓心到該直線的距離為2，即，解得，則選項(xiàng)BC正確.故選BC.三、填空題12.84【解析】8名學(xué)生的成績從小到大排列為：60，65，75，78，84，86，90，94，因?yàn)?，所以分位?shù)為第5個數(shù)，即84分.故答案為84.13.【解析】設(shè)，則，，由題意可得，解得或，經(jīng)過檢驗(yàn)不符合，故舍去，故其斜率為，故答案為.14.【解析】將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若與曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得，即，可得，由于不恒等于0，所以，故，故答案為.四、解答題15.解：（1）由直線與平行，則，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，故.所以此時(shí)直線：，：所以與的距離為（2）由直線與垂直，則解得或.16.解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，又，所以，從?（2）由余弦定理可知，則又，故即，故，即從而，當(dāng)時(shí)取等號，即的面積的最大值為3.17.解：（1）由三棱柱性質(zhì)可得平面平面，又平面，故平面.（2）因?yàn)槠矫?，，平面，所以，，且，故，，兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，則，由，故，故直線與直線所成角的余弦值為.（3）設(shè)，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，有，令，則，，即因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，解得，即，因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為.18.解：（1）設(shè)的反射光線所在直線上任意點(diǎn)為，則該點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)在直線上，所以的反射光線所在直線的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，而圓與直線相切，且圓半徑為3，則，即，整理得或，又點(diǎn)在第一象限，即，因此，點(diǎn)，所以圓的方程為.（3）由（2）知，點(diǎn)到軸距離為3，即軸與圓相切于點(diǎn)，由一條光線從第一象限入射后與圓相切于點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，得點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，設(shè)，，則，連接，，，，，，又，整理得，解