2024年上海高考數學考前30天沖刺復習 專題25轉化與化歸思想中的九種題型 含詳解

專題2.5轉化與化歸思想中的九種題型

題型一：導數及其應用

一、單選題

1.（2022?上海普陀?曹楊二中?？寄M預測）若存在實數女和人，使得函數八處和g（x）對其公共定義域上的

任意實數x都滿足：g（x）〈丘+人工/（上）恒成立，則稱此直線），=履十萬為"X）和g"）的“隔離直線”.有下列命題：

①=/和g*）=2elnx之間存在唯一的“隔離直線”），=2五?e；②=/和g（x）=_L（x<o）之間存在“隔

X

離直線”，且b的最小值為-1,則（）

A.?、②都是真命題B.①、②都是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①是真命題，②是假命題

2.（2020?上海長寧?統(tǒng)考二模）在數列的極限一節(jié)，課本中給巴了計算由拋物線），=/、”軸以及直線x=l所

圍成的扣邊區(qū)域面積S的一種方法：把區(qū)間［0』平均分成〃份，在每一個小區(qū)間上作一個小矩形，使得每個矩形

的左上端點都在拋物線）-5,（如圖），則當〃->8時，這些小矩形面積之和的極限就是s.已劃

12+22+32++〃2=!〃（〃+1）（2〃+1）.利用此方法計算出的由曲線），=五、x軸以及直線工=］所圍成的曲邊區(qū)域的

面積為（）

A-TB-T

二、填空題

3.（2。20春?上海?周二專題練習）已知且"？-（ax+l）ln#+奴20恒成立，則。的值是—

三、解答題

4.（2022春?上海?高三開學考試）設函數/（幻=：/+（1-“）/-其中〃為常數.

（1）當。=2時，求函數/（x）的單調減區(qū)間；

⑵若函數/（X）在區(qū)間［0,3］上的最大值為3,求實數。的取值集合;

（3）試討論函數），=r（x）的圖象與函數），=2-（。+1）2的圖象的公切線條數.

5.（2022?上海?高三專題練習）若數列｛，〃｝對任意連續(xù)三項4,4討，4+2,均有（4-4+2）（4+2一如）>。，則稱該

數列為“跳躍數列”.

（1）判斷下列兩個數列是否是跳躍數列：

①等差數列：1,2,3,4,5,…;

②等比數列：一：

24o1O

（2）若數列｛4｝滿足對任何正整數〃，均有%“=，廣（4>。）.證明：數列｛5｝是跳躍數列的充分必要條件是

0</<1.

（3）跳躍數列｛q｝滿足對任意正整數〃均有，1=上詈，求首項片的取值范圍.

題型二：三角函數與解三角形

1.（2022?上海?高三專題練習）已知等差數列｛《J中q=d=1,〃=〔an4?urn”“+]（〃wN'），則數列色）的前〃項

和S”=___.

2.（2022?上海?高三專題練習）已知函數），=/（幻，的圖像為曲線。，兩端點為A（aJ（a））,4SJS））,

點為線段/步上的一點，其中/2>0,點RQ均在曲線，上，且點用J橫坐標

等于飛,點M向縱電標為加

（1）設/（x）=sinx,xe[O,年],4=3,求點八煙坐標；

（2）設/（幻」心匕,2],求人MPQ的面積的最大值及相應4的值.

x2

3.（2022?上海?高三專題練習）為測量一煙囪高度，在地面上選一直線上的三點兒反C.已知

|AB|=90m,|BC|=30m,|AC|=120m,在三點測出煙囪頂部的仰角分別為45°,60°,60°.若ALC三個測

量點的高度均為1.5m,求煙囪的高度.（精確到0.1m）

題型三：平面向量

1.（2022?上海?高三專題練習）如圖，正方形ABC。的中心與圓。的圓心重合，夕是圓。的罰點，則下列敘

述不正確的是（）

A.PAPC+P8PO是定值;

B.是定值;

c.網+網+國++|PD是定值;

D.。升+。始+尸C，/5爐是定值?

lUBllAJm1II

2.（2019?上海市建平中學高三階段練習）已知向量OAAB,。是坐標原點，割/=q04|,且48方向是沿

OA的方向繞著A點按逆時針方向旋粘。角得到的，則稱。4經過一次G"）變換得到人8,現有向量OA=（1,1）經過

ULLUUUUI

一次（％4）變換后得到例,例經過一次（名后）變換后得到A4,…，如此下去，經過一次（。色）變換

rm?

后得到4TA，設A-i4=(x,-v)，4=廣麗？則yr等于（)

2sin2sin

A.2MB.2___1___r__

sinIsin-sin-rrLsin—coslcosicos±Lcos^

22工24一|22”一

2cos2-2cos

C.D.2___M_____'

sin1sin-sin-Lsin—coslcoslcos±Lcos-L

o2?2〃一

3.（2021?上海市建平中學高三開學考試）已知./BC的外接圓圓心為。，/八=J,若

6

AO=xA8+），AC（x,yeR）,則x+），的最大值為（）

A.4+2x/3B.4-273C.—D,—

24

4.（2022?上海?高三專題練習）已知4ABe的面積為3,P,Q為-ABC所在平面內異于點A的兩個不同的

點，若小—（1+2冷2。=0且QA+/Q8+/IQC=2BC,其中4>0,則人人尸。的面積為.

題型四：數列

1.（2022?上海民辦南模中學高三階段練習）已知函數/（力=1（4一？：一10："7,數列也｝滿足

a,x>7

%="〃）（〃eN?），若數列｛4｝單調遞埔則實數a的取值范圍是_____.

2.（2022?上海市復興高級中學高三階段練習）對于項數為加的有窮數列｛%｝,設2為%知…必（〃=1，2，…，切）

中的最大值，稱數列｛"｝是｛凡｝的控制數列.例如數列3,5,4,7的控制數列是3,5,5,7.

（1）若各項均為正整數的數列｛4｝的控制數列是2,3,4,6,6,寫出所有的｛4｝；

⑵設圾｝是｛4｝的控制數列，滿足4+=C（C為常數，〃=12…,，〃）.證明：（=q（〃=12…必）.

⑶考慮正整數1,2,?的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列仁｝.是否存在數列｛6｝,使它的控制數列

為等差數列？若存在，求出滿足條件的數列匕,｝的個數；若不存在，請說明理由.

3.（2021?上海?上外浦東附中高三階段練習）稱滿足以下兩個袋件的有窮數列4M2,…，見為⑶〃=2,3,4,…）階

“期待數列”：??,+a2+ay+L+??=0；②同+同+k|+L+|a,J=l.

（1）若等比數列｛%｝為2〃伏￡四）階“期待數列”，求公比。及｛叫的通項公式；

（2）若一個等差數列｛〃“｝既是階“期待數列”乂是遞增數列，求該數列的通項公式：

（3）記〃階“期待數列”包｝的前4項和為&（々=1,2,3,,〃）；

（i）求證：圖

（ii）若存在〃?41,2,3,、〃｝使5,.=g,試問數列｛4｝能否為加介“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若

不能，請說明理由.

4.（2021?上海青浦?一模）如果數列｛q｝每一項都是正數，且對任意不小于2的正整數〃滿足44。“必用，則

稱數列｛/｝具有性質”.

⑴若q=P4也=加+。（P、q、a、b均為正實數），判斷數列｛4｝、｛4｝是否具有性質加；

⑵若數列｛〃”｝、也｝都具有性質證明：數列￡｝也具有性質

⑶設實數。22,方程/-奴+1=0的兩根為冊X2M,=k+x；（〃￡N）若，+"+…++>〃-1對任意〃eN恒

久凡41

成立，求所有滿足條件的

5.（2021?上海市延安中學高三階段練習）已知〃wN*,數列｛〃“｝的前〃項和為鼠，且2《「S”=1；

（1）求證：數列｛4｝是等比數列，并求出通項公式；

⑵對于任意的4嗎€｛4生,…，凡｝（其中14注〃，\<j<n,i,，均為正整數），若4和內的所有的乘積

6?外的和記為刀,，試求1而4的值；

/i-?a4

（3）設1+d=3咋2見，%=（_］廣％也…若數列匕｝的前〃項和為此，是否存在這樣的實數/,使得對于所有

的〃eN.都有此之〃，成立？若存在，求出/的取值范圍：若不存在，請說明理由；

6.（2022?上海?高三專題練習）對于數列｛4｝,若存在常數M>0對任意〃wN?恒有

|%-《|+|4-%|+???+|4-4歸”，則稱｛嗎是“，一數歹.

（1）首項為4,公差為郝I等差數列是否是“/-數列”？并說明理由；

（2）首項為％,公比為。的等比數列是否是-數列”？并說明理由；

（3）若數列｛叫是/一數列，證明：忖｝也是“/-數列"，設4="|十'：i，判斷數列｛A｝是否是“廣

數列”？并說明理由.

7.（2022?上海?高三專題練習）數列｛〃,,｝滿足4=1,5向=44+3,求%“9-2%”.的值和％.

8.（2020?上海?高三專題練習）已知數列僅，滿足遞推關系：q,T=（2a“+3）i,〃GN,其中i為虛數單位.當外

取何值時，數列｛凡｝是常數數列？

9.（2020?上海?模擬預測）己知數列｛q｝是由正整數組成的無窮數列，若存在常數AwW,使得

出1+外=皿，對任意的〃eN'成立，則稱數列｛q｝具有性質〃（〃）,

（1）分別判斷下列數列｛q｝是否具有性質〃（2）；（直接寫出結論）①q=1；②?！岸?〃.

（2）若數列｛%｝滿足。川之4（〃=1,2,3）,求證：“數列｛4｝具有性質小⑵”是“數列｛叫為常數列”的充分不

必要條件；

（3）已知數列｛風｝中4=1,且。向＞?！埃ā?123）.若數列｛q｝具有性質川4）,求數列｛%｝的通預公式.

10.（2016?上海市晉元高級中學高二期中）已知遞增的等差數列｛〃”｝的首項6=1,且6、。八（成等比數

列.

（1）求數列｛4｝的通項公式4;

（2）設數列｛&｝對任意N",都有1+果++祟=。"+［成立，求G+6+…+C2012的值.

（3）若"=也（〃€”），求證：數列｛a｝中的任意一項總可以表示成其他兩項之積.

11.（2021?上海奉賢區(qū)致遠高級中學高三期中）已知數列4對的，…Mv（N之3）的各項均為正整數，設集合

T=｛x\x=araiA<i<j<N｝f記型元素個數為P（T）.

（1）若數列月：1,2,4,3,求集合7,并寫出尸（7）的值；

（2）若力是遞增數列，求證：“P（T）=N-\"的充要條件是“/為等差數列”；

（3）若N=2〃+l,數列力由123,…,〃,2〃這〃+1個數組成，且這〃+1個數在數列月中每個至少出現一次，求P⑺

的取值個數.

12.（2020?上海?高三專題練習）已知數列｛4｝滿足4=2且%=￡：*；,求數列｛q｝的通項.

13.（2。2。?上海?高三專題練習）設函數/3="竽（”2。）有兩個不同的不動點2,且由

〃Z=/（〃“）確定著數列也｝，那么當且僅當〃=0，e=2〃時，33=仁1

3一巧1〃”一出

13〃25

14.（2020?上海?高三專題練習）已知數列｛%｝滿足：對于“wN,都有，用=

"勺"二+3

（1）若4=5,求％；

（2）若4=3,求%;

（3）若q=6,求4；

（4）當《取哪些值時，無窮數列伍”】不存在？

題型五：不等式

1.（2020?上海-高三專題練習）下列不等式中恒成立的是（）

2

A.tan0+cotG..2B.x+—（=--3

V.v

「COS26^+3.nI,、

C./：..2D.xyz..r—（若x+y+z=l）

Vcos20+227

2.（2021?上海市復旦中學高三階段練習）若/。）是定義在R上的函數，且對任意xwR都有

f（x+4）Mf（x）+4,f（x+2）^f（x）+2t且八-1）=0,則/（101）=—

3.（2020?上海?復旦附中青浦分校高三開學考試）已知數列｛q｝是無窮數列，滿足

吆。,川=|愴為一但4」（〃=2,3,4,,，）.

（1）若6=2,勺=3,求小,如，■的值;

（2）求證：“數列｛總中存在可伏€M）使得lg%=0”是“數列乩｝中有無數多項是1”的充要條件;

（3）求證：存在正整數h使得10q<2.

題型六:空間向量與立體幾何

一、單選題

1.（2023春?上海?高三校聯考階段練習）如圖所示，正三棱柱八8C-ABC的所有棱長均為1,點凡.從力分別

為棱44、力氏A用的中點，點媯線段極上的動點.當點儺點A出發(fā)向點，造動的過程中，以下結論中正確的是

A.直線GQ與直線?？赡芟嘟籅.直線GQ與直線始終異面

C.直線GQ與直線67可能垂直D.直線C。與直線以不可能垂直

二、填空題

2.（2022秋?上海?高二期中）已知向帚。=（"7+1,2,〃。是直線/的一個方向向量，向量:〃=（1,/〃,2）是平面”的一

個法向量，若直線/工平面。，則實數切的值為_____.

3.（2022秋?上海徐匯?高二位育中學?？计谀┮阎襟wA8CQ-ABCQ中，A8=6,點/環(huán)平面A8Q

內，"=3后,求點呼IJ8G距離的最小值為_________.

4.（2023秋-上海普陀?高二上海市晉元高級中學校考期末）如圖，已知正三棱柱ABC-A4G的底面邊長為

1cm,高為5cm,一質點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達A點的最短路線的長為__________.

5.（2022秋?上海浦東新?高二上海市實驗學校?？计谀┮阎c/退棱長為1的正方體ABC。-ABC。的底面

AMG。上一點（包括邊界），則以.PC的取值范圍是.

6.（2022?上海?高二專題練習）棱長為6的正方體內有一個棱長為x的正四面體，正四面體的中心（正四面體

的中心就是該四面體外接球的球心）與正方體的中心重合，且該四面體可以在正方體內任意轉動，則*1勺最大值

為?

7.（2023秋?上海普陀?高二上海市晉元高級中學?？计谀┤鐖D，正方體的嘍長為1,協

4A的口點，,班E側面上，若AM_LCP,則△BC用面積的最小值為.

題型七：解析幾何

1.（2022?上海?高三專題練習）方程/+）37+,，+小=0表示一個圓，則/〃的取值范圍是一

2.（2020?上海市大同中學高三階段練習）設？（工，北）是直線2x+y=1（〃€N）與圓/+丁=2在第四象限

的交點，則極限！皿—=____.

3.（2020?上海?復旦附中青浦分校高三階段練習）設拋物線。：y2=2px（〃>0）的焦點為先經過點用J動

直線/交拋物線行AQ,y）,8（孫為）兩點，旦），通=-<

（1）求拋物線冰方程；

（2）若。E=2（。4+。8）（。為坐標原點），且點￡在拋物線儀E,求直線/的傾斜角；

（3）若點J偏拋物線用勺準線上的一點，直線"凡M4,MB斜率分別為心，勺，Q求證：當勺為定值時，

勺十勺也為定值.

題型八：計數原理

1.（2020?上海吉浦?一模）在二項式（五+」）'（心0）的展開式中的系數與常數項相等，則a的值是

2.（2021?上海市建平中學高三開學考試）若多項式（2+外8=%+修（］+外+%（］+用2++生（［+i）7+/（i+x）8,

則4+?7的值為_________.

題型九：統(tǒng)計與概率

一、填空題

1.（2023春?上海?高三校聯考階段練習）某單位為了解該單位黨員開展學習黨史知識活動情況，隨機抽取了

部分黨員，對他們?周的黨史學習時間進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數據如下表所示：

黨史學習時間（小時）7891011

黨員人數610987

則該單位黨員一周學習黨史時間的第40百分位數是

二、解答題

2.（2021春?上海?高二專題練習）為了促進消費回補和潛力釋放，上海市政府舉辦“2020五五購物節(jié)”活

動，某商家提供1000臺吸塵器參加此項活動，其中豪華型吸塵器400臺，普通型吸塵器600臺.

（1）豪華型吸塵器前6天的銷量分別為：9、12、工、10,10（單位：臺），把這6個數據看作一個總體，

其均值為10,方差為3,求的值；

（2）若用分層抽樣的方法在這批吸塵器中抽取一個容量為25的樣本，將該樣本看成?個總體，從中任取2臺吸

塵器，求至少有I臺豪華型吸塵器的概率（用最簡分數表示）.

專題2.5轉化與化歸思想中的九種題型

題型一：導數及其應用

一、單選題

1.(2022?上海普陀?曹楊二中?？寄M預測)若存在實數女和人，使得函數八處和g(x)對其公共定義域上的

任意實數x都滿足：g(x)〈丘+人工/(上)恒成立，則稱此直線)，=履十萬為"X)和g")的“隔離直線”.有下列命題：

①=/和g*)=2elnx之間存在唯一的“隔離直線”)，=2五?e；②=/和g(x)=_L(x<o)之間存在“隔

X

離直線”，且b的最小值為-1,則()

A.①、②都是真命題B.①、②都是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①是真命題，②是假命題

【答案】D

【分析】命題①，/(x)=f和g(x)=2elnx有公共點(&,e),故隔離直線過該點，設為點斜式，結合二次函數性

質對參數分類討論，即可求解；

—by—〃>0

命題②，設隔離直線為，=&+3則；，「八對任意xvO恒成立，結合二次函數性質對參數分類討論，即

kxr+zbx-l<0

可求解；

【詳解】對于命題①，函數/(幻=/和g(x)=2elnx的圖像在％=&處有公共點，

若存在/(x)和g(x)的隔離直線，那么該直線過這個公共點(五,e),

設隔離直線的斜率為4，則隔離直線方程為=即)，-收_&6+e

由/(x)Nh一aA+e(x>0)恒成立，glx2-kx+k\[c-c>O(.r>0)fB,

(i)當攵=0時，則x2Ne(x>0)不恒成立，不符合題意；

(ii)當ZvO時，令〃(x)=d—履+〃五一e(x>0),對稱軸x=：<0,

〃(x)在[0,五)上單調遞增，且〃(五)=0,故人<0不恒成立，不符合題意；

(iii)當1>0時1令“(％)—x2-匕十。五一e(*〉O),對稱軸.一“>0,

則〃⑺=祖，+人=22⑹20,只有k=2&,即直線y=2向-e

-min⑵44

下面證明g(/)=2elnxW2而1-。，^G(x)=2>/cjr-c-2clnx,

求導G㈤=2嫉口一瓜),令G(x)=O,得戶八,

x

當工40,悶時，GUXO,函數G3在區(qū)間倒，月上單調遞減；

當xe(忘y)時，G(x)>0,函數G(x)在區(qū)間,+oo)單調遞增；

故當x=6時，函數G*)取得極小值，也是最小值，故G(x)N(),BPg(x)<2^x-e

所以/(%)=/和g(x)=2elnx之間存在唯一的隔離直線y=2向-e.

對于命題②，設/(X)=/和g(x)=-(x<0)的隔離直線為y=kx+b,

x

“眨米+"-心—。>0

則1,，對任意XV。恒成立，即，，,「八對任意x<0恒成立，

-<kx+b［依“+"一100

x

由左d+/zr-1W0恒成立，得AK0

(i)當〃=0時，則人=0符合題意；

(ii)當％<0時，則/—去—〃NO對，生意xvo恒成立，令〃(x)=f-奴

對稱軸尤=。<0,需△=公+46&0,即公4_4〃，故b〈0

令d(x)=&+加T(xvO),對稱軸工=一二40,需A=〃+4妨K0,

即從4_4火，所以小416〃W-64%,故-44&<0

同理可得/G6k2《一64。，即-4工〃<0,故

故命題①正確，命題②錯誤：

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數的新定義“隔離直線”，解題中理解“隔離直線”的定義，注意利用導數研

究函數的單調性及最值時解題的關鍵，考查學生的轉化與化歸能力，屬于難題.

2.(2020?上海長寧?統(tǒng)考二模)在數列的極限一節(jié)，課本中給巴了計算由拋物線)，=爐、x軸以及直線1=1所

圍成的曲邊區(qū)域面積S的一種方法：把區(qū)間［0』平均分成〃份，在每一個小區(qū)間上作一個小矩形，使得每個矩形

的左上端點都在拋物線y=Y上(如圖)，則當〃->8時，這些小矩形面積之和的極限就是S.已知

222

1+2+3++〃2=，〃(〃+1)(2〃+1).利用此方法計算出的由曲線)，=&、％軸以及直線工=1所圍成的曲邊區(qū)域的

面積為()

A.旦B.在C.-D.|

3243

【答案】D

【分析】由『)，=石"?0』與互為反函數，畫出)，=Y"《0』的圖象，所求的曲邊區(qū)域的面積等

于圖中陰影部分的面積，再通過對區(qū)間[0』進行分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出拋物線y=f、x

軸及直線x=l所圍成的曲邊區(qū)域面積S,即可得出陰影部分的面積.即可得出曲線y=4、x軸及直線x=l所圍

成的曲邊區(qū)域的面積.

【詳解】解：由于)，=石/?0』與J=互為反函數，

可知，所求的曲邊區(qū)域的面積等于下圖中陰影部分的面積，

根據題意，拋物線)，=/、x軸及直線x=l所圍成的曲邊區(qū)域面枳S,

/1、2

可知這些小矩形的底邊長都是,，高依次為^n-1|

r+22+32+…+：(〃-1)〃(2〃-1)]

=hm---------------------=hm---------------=-

XT8n.5n3

12

所以，陰影部分的面積為：1-S=1-：=

即曲線)，=&、X軸及直線x=1所圍成的曲邊區(qū)域的面積為：

故選：I).

2-

2fc

o1

【點睛】本題考查類比推理和定積分的概念，通過對M間進行分割、近似代替、求和、取極限的方法求曲邊區(qū)域

的面積，考查化歸轉化思想和計算能力.

二、填空題

3.(2020春?上海?高三專題練習)已知“vO,且_(or+i)h］x+ar“恒成立，則。的值是

【答案】i

【分析】把不等式。浮一(融+1)111犬+效20恒成立，轉化為函數/(H)=(奴+1>3-lnx)20在定義域內對任意的x

恒成立，結合函數的單調性和零點，得出-［是函數)=小=皿工的零點，即可求解.

a

【詳解】由題意，不等式。Y4K+I)lnx+以20恒成立，

即函數〃x)=(?+力(?-Inx)“在定義域內對任意的％恒成立，

由y=aK-lnx,a<O,x>O,則〉一,<0,所以)，=or-lnx為(0,田)減函數，

x

又由當時0,可得)，=or+l為(0,e)減函數，

所以y="+l與)，=or-lnx同為單調減函數，且-，是函數y=or-l的零點，

a

故是函數y=ca-Inx的零點，

a

故()=，?-"--In!■］,解得"=-e.

ka)\a)

故答案為：r

【點睹】本題主要考杳了不等式的恒成立問題，以及函數與方程的綜合應用，其中解答中把不等式恒成立問題轉

化為函數的性質和函數的零點問題是解答的關鍵，著重考查轉化思想，以及推理與運算能力.

三、解答題

4.(2022春?上海?高三開學考試)設函數/(幻=$'+(1-。］-4or+a,其中a為常數.

(D當。=2時，求函數”］)的單調減區(qū)間：

⑵若函數在區(qū)間［0,3］上的最大直為3,求實數〃的取值集合；

(3)試討論函數y=r(x)的圖象與函數,，=1-(〃+1)2的圖象的公切線條數.

X

【答案】(1)單調減區(qū)間為(-2,4)；

(2)13,1：

4

(3)答案見解析.

【分析】(1)對/*)求導，利用:(工)〈。求單調減區(qū)間即可.

(2)由題設得r(x)=(x+2)(x-勿)，訶論參數a研究/(X)在［0,3］上母調性及最大值，結合題設要求確定4的取值集

合；

(3)設g(x)='-(“+i)2,切點為A-—(a+i)］應用導數的幾何意義求切線方程，結合y=r(x)得到

X%

、12

/+(不+2-2a)x-：+(a-1)2=0,由相切關系有A=0得爾+4(1-4).婿+1=0(毛工0),進而構造中間函數并應用導

數、討論參數0研究單調性、極值，判斷方程根的個數，即知題設函數間公切線的條數.

(1)

當。=2時，=-f―8x+2,則r(x)=x2-2x-8=(x-4)(.r+2),

令八%)<0,解得xe(-2,4),即當4=2時/(x)的單調減區(qū)間為(-2,4).

(2)

fix')=A2+2(1-a).r-4a=(x+2)(-2a),

i：當aWO時，/'(?NO在［0,3］上恒成立，即/⑶單調遞增,

3

令/(x)=/(3)=18-20?=3,可得。=了，與aWO矛盾.

1m4

a:當〃>0時，fXx)=x2+2(1-a)x-4a=(x+2)(x-2a),

由f(x)在［0,刃上的最大值為3,則/(0)=〃43,

當2〃23,即時，/(x)K()在［0,3］上恒成立，即/(燈單調遞減，

令/")1a=八0)=3,得〃=3之|,即”=3符合題意，

當0<2?<3,即0<〃<3時，/(%)￡()在［0,3］的解集為［0,20,即八幻在|0,2川上單調遞減，在［2*3］單調遞

增，

???/*)a=max{/(0),/(3)},又f(0)=a<3,

令/(3)=3,求得a=即符合題意，

424

綜上，實數。的取值集合為口.

4

⑶

設g(x)=L-(a+l)2,切點為屬，；-(。+1)1則g'(%)=-3，

|］］9

???切線方程為，~；-+3+1尸=-不"-/)，整理得，=-77+亍Ta+1)2,又，。)=/+2(1-〃)*-4〃，

?2

由題意，令此直線與y=f(x)的圖象相切，即W+2(l-a)x-4a=-7Tx+1-(a+l),整理得：

2

:.A=(-!r+2-2a)'-4{--4-(fl-l)j=-!7+^^+—=0,整理得+4(1-〃)/2+]=()(夙/o),

1小,%玉I%)

由題意知，此方程根的個數即為＞=/'")與("1)2的公切線條數，

X

設h(x)=8.F+4(1-+1,貝I」h\x)=24f+8(1-a)x=8.?3.r+1-。)，

令"@）=0,解得4=0或4=平，

i：當一<0,即avl時，〃'（*）<0的解集為七二0）,列表如下:

.a-\a-\

X(^―)x腎,0,0(0*)

3

h\x)+0一0十

h(x)遞增極大值遞減極小值遞增

由表知：當x=0時力（%）取得極小值,又屈0）=1>0,

???方程風3+4（1-幻堞+1=0（.%*（））有且僅有一個實數根，即公切線條數為一條.

//,：當F=0,即4=1時，/（X）2（）恒成立，即〃*）在R上單調遞增，又/?（0）=1>0,

???方程也'4（1-少年+1=05工0）有旦僅有一個實數根，即公切線條數為一條.

市：當『>0,即a>1時，”。）<0的解集為（0.餐），列表如下：

（0,守a—1

Xy,o)03,+^)

3

”(幻+0——04-

h(x)遞增極大值遞減極小值遞增

由表知：當戶0時〃（幻取得極大值；當x=F時Kr）取得極小值，又可0）=1>0,

=三（。-1）3--I），+1=一二（。-I），+1,

327927

當"彳）=-白（。-爐+1>。，即1〈”萼工時，方程8.%'+4（1-也門口。?工0）有且僅有一個實數根，即公切線

條數為?條,

當M=）=U（a-1）M=。，即〃=笑匕時，方程8%'+4（1--2+|=0（/工（））有且僅有兩個實數根，即公切線條

數為兩條，

當力（=）=-二。-1）、1<0,即Q變學時，方程8H+4（j）嫣+1=0（.%工0）有且僅有三個實數根，即公切線條數

為三條，

綜上，當嗎吧時公切線條數為一條；當《手時公切線條數為兩條；當與2時公切線條數為三

222

條.

【點睛】關鍵點點睛：第二問，應用導數幾何意義求了」-（-1）2切線方程，結合與的相切關系得到一

X

元二次方程，令該方程△=（）得到新的方程，進而構造中間函數，并應用導數、討論參數研究函數單調性、極值

判斷新方程根的個數，即可確定公切線條數.

5.（2022?上海?高三專題練習）若數列｛q｝對任意連續(xù)三項知以i，%2，均有（4-4+2）（4+2一則稱該

數列為“跳躍數列”.

（1）判斷下列兩個數列是否是跳躍數列：

①等差數列：1,2,3,4,5,：

②等比數列：1,一〈二,一］白；

24o1o

（2）若數列｛凡｝滿足對任何正整數〃，均有="""（4>。）.證明：數列｛%｝是跳躍數列的充分必要條件是

0<q<1.

（3）跳躍數列｛qj滿足對任意正整數〃均有〃用=彳￡,求首項外的取值范圍.

【答案】（1）①等差數列：123,4,5,...不是跳躍數列；②等比數列:j...是跳躍數列.⑵證明

24o16

見解析（3）4?-2,2）D（3,炳）

【分析】（1）①數列通項公式為〃“=〃，計算可得：（4-4.2）（4+2-。川）=-2<0,所以它不是跳躍數列；②數列

通項公式為：計算可得：（4-限）（%-1）=%卜所以它是跳躍數列；

（2）必要性：若6>1,則｛〃"｝是單調遞增數列，若6=1,｛（｝是常數列，均不是跳躍數列；充分性：用數學

歸納法證明證明,〃=1命題成立,若〃=k時。2氏-1<%?+1<%k，a2k>。2?+2>。2￡+1?口J得:aik*2>。然+4>42Al3?所以

當〃=攵+1時命題也成立；

⑶有已知可得：勺…向=*（。-54叫（19-4；一5%），--%=總（4一2）（%-3乂19-吊-5幻，若

4+1>4,則％“>4,2>4，解得見若%+1<%,則。向<%+2<可，解得q.3,匕洋@|,

5+

由^^’2），則c*e（3,汪萼得a”w（-2,2）；當a“e3V101,則e（-2,2）,得

q,c（3,的），問題得解.

【詳解】（1）①等差數列：1,2,3,4,5,…通項公式為：q二〃

???（4-4+2）（%2-4川）=口-（i+2）W+2-（i+l）］=-2<0

所以此數列不是跳躍數列；

②等比數列：1,總卜聶,通項公式為：

-5［閆飛機『曠⑶卜沁小

所以此數列是跳躍數列

（2）必要性：

若6>1，則｛q｝是單調遞增數列，不是跳躍數列：

若q=1,｛q｝是常數列，不是跳躍數列.

充分性：（下面用數學歸納法證明）

若0<4<1,則對任何正整數〃，均有%1<。2〃+1<—>限2>6向成立.

z

①當〃=1時，a2=aj>a'=q,%=a°<a：'=a2,

Qa2=<1,.'.%=%"：>a；=q,a］

Qa2>6>%%/<%與<a：'仆<aA<a2,

所以〃=1命題成立

aaa

②若〃=A時，<2t+\V2kSk>叼A+2>2^\，

則a<a<a生心］<alk^<電一，

a>a1>a02t+2>“2A+4>〃2&+3?

所以當〃=z+l時命題也成立，

根據數學歸納法，可知命題成立，數列滿足a-q+2）（/2-4+1）>。?

故｛q｝是跳躍數列.

19-a,

.二~

19-凡丫,

-I"(三一J19x25-(19-凡7

7+255125

1255

19x25-(19-4丁牝=白（q-2）（4-3乂19-〃；-5q）

限一4=---

1251乙。

①若。句＞?！?，則為+|＞〃“+2

看聞―56—19）（19一展—5q）＜0

士（凡―2）（凡—3乂19一。；一5凡）＞0

解得4G，2；

②若則4.H4，

點(4：一5qr-19)(19一尤一5%)>0

14J

14J

解得，

f5-Vfoinl19-a：3告

若％之―--，2,則,所以4w(—2,2),

5

若a,,e，三,則〃用=與￡.一2,2）,所以為43,月），

所以％w（—2,2）u（3,而），

此時對任何正整數〃，均有可?-2,2）“3,月）

【點睛】本題考查了與數列相關的不等式證明，考查了數學歸納法，考查了分類與整合思想，屬于難題.

題型二：三角函數與解三角形

1.（2022?上海?高三專題練習）已知等差數列｛%｝中4=d=l,%=tan刈?tan1（〃wN"）,則數列｛4｝的前〃項

和S”

［答案F〃-N，)

_tana-tan。,

【解析】利用兩角差的正切公式可得到tana'an6=兀而方-1,從而可得到數列｛我｝的通項公式

“"⑶’J,再代入求和化簡即可得到結果。

tanl

/八、tana-tan/?tana-tanB,

［詳解】Qtan(?-/?)=----------J,/.tanatan/?=---------1

''川'vJl+tanatan￡'tan(a-/?)

tana,R_tana.

?'e=tan%tan%]-1

tan(4+「可)

又等差數列｛q｝中4=4=】，?.?為“一<.=1,+1

.1、_tan/川tana”,

tanl

tan一tanayI+tan%-tan/tan?！?1-tanan〔_tan?2-tan4+tan%-tana2+L+tanan+]-tanan〃

tan1tan1(an1tan1

tana?.-tana.tanan^.-tan1tan(〃+1)

-----------L-n=---------------n=-----------n-\

lan1tan1tanI

tan(?:+l)、(A,.\

故答案為:--------〃一l(〃eN)

tanl

【點睛】關鍵點睛：本題考查數列求和，解題的關鍵是會逆利用兩角差的正切公式，得到數列也,｝的通項公式,

在求和的過程中巧用相消法得到數列的和，考兗學生的轉化能力與運算求解能力，屬于中檔題.

2.（2022?上海?高三專題練習）已知函數），=/"）,%百。/］的到像為曲線C,兩端點為4aJ（a））,8SJS））,

點MC%，%）為線段/歷上的一點，其中/=誓1％=

,2>0,點R。均在曲線。上，且點/的橫坐標

I+A1+幾

等于小，點價J縱坐標為加

(1)設f(x)=sinx,xe[O，Vj"=3,求點P,儆坐標;

（2）設/（、）［”修］,求MQ的面積的最大值及相應2的值.

1J.3X/53⑥

7T（2）2=1時，最大值為黑.

【答案】（1）p;,1,Qarcsin—

JOOJo（）U

【解析】⑴/(x)=sinx,x€0,暮,A=3,由題設知。=0,〃=,，進而算出加加再代入函數中求出點知勺縱

坐標，點施勺橫坐標，即可求出點R。向坐標.

；+242+^|WP|=y--J^CI=x-—

(2)1g,2,100

由/(X)=]XG得1c

a、上f=?'%

=Trr'尢=Trr/%

\MP\x\MQ\=^x^y--1一

-SRNMPQ=]X0=7%%+——2,再用換元法和基本不等式求最值.

4I%先）

/(x)=sinx,xe。與，4=3,其兩端點為A(“8(。,2))

【詳解】（1）

?c24.八c?24

c0+3x—sin()+3sin—

c12冗3萬

,.a=0,b=--,xQ=-