第07講兩條直線的交點(diǎn)（六大題型）

第07講兩條直線的交點(diǎn)【題型歸納目錄】題型一：求直線的交點(diǎn)題型二：由方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線的位置關(guān)系題型三：由直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)題型四：由直線交點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)題型五：三線能否圍成三角形問(wèn)題題型六：直線交點(diǎn)系方程【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線的交點(diǎn)求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無(wú)窮多個(gè)解，此時(shí)兩直線重合；若有，則方程組無(wú)解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo).知識(shí)點(diǎn)詮釋：求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上就是解方程組，看方程組解的個(gè)數(shù).知識(shí)點(diǎn)二：過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡(jiǎn)稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．過(guò)兩直線的交點(diǎn)的直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線，交點(diǎn)的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個(gè)方程中，無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．【典例例題】題型一：求直線的交點(diǎn)【例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【解析】解方程組得，即直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2)．故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)是直線和的公共點(diǎn)，則相異兩點(diǎn)和所確定的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭侵本€和的公共點(diǎn)，所以，且，所以兩點(diǎn)和都在同一條直線上，故兩點(diǎn)和所確定的直線方程是，故選:A.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·天津·高二校聯(lián)考期末）過(guò)直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】聯(lián)立方程，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為；直線的斜率為，所以所求直線方程的斜率為，由點(diǎn)斜式直線方程得：所求直線方程為，即；故選：B.題型二：由方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線的位置關(guān)系【例2】（2023·高二單元測(cè)試）已知直線，是直線l外一點(diǎn)，那么直線（

）A．過(guò)點(diǎn)P且與直線l斜交B．過(guò)點(diǎn)P且與直線l重合C．過(guò)點(diǎn)P且與直線l平行D．過(guò)點(diǎn)P且與直線l垂直【答案】C【解析】在直線外，所以，方程與兩變量的系數(shù)完全相同，而，即常數(shù)項(xiàng)不同，它們的方程組成的方程組無(wú)解，所以兩直線的位置關(guān)系是平行，又，所以直線必過(guò)點(diǎn)，所以直線過(guò)點(diǎn)且與直線平行.故選：C【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）曲線與的交點(diǎn)的情況是（

）A．最多有兩個(gè)交點(diǎn) B．兩個(gè)交點(diǎn)C．一個(gè)交點(diǎn) D．無(wú)交點(diǎn)【答案】A【解析】聯(lián)立兩條直線方程得：得到，兩邊平方得：，當(dāng)即時(shí)，，得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，得到，與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)．所以曲線與的最多有兩個(gè)交點(diǎn)．故選：A題型三：由直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)【例3】（2023·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學(xué)校考階段練習(xí)）直線與直線相交，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【解析】因直線與直線相交，則，即，解得且，所以實(shí)數(shù)k的值為且.故選：D【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若三條直線，與共有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1【答案】C【解析】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，∵直線和直線不平行，∴直線和直線平行或直線和直線平行，∵直線的斜率為1，直線的斜率為，直線的斜率為，∴或.故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線與射線恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】聯(lián)立，得，∵直線與射線恒有公共點(diǎn)，∴，解得.∴m的取值范圍是.故選：C.題型四：由直線交點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)【例4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）兩條直線和的交點(diǎn)在第二象限，則m的取值范圍是（）A．(,) B．(,0)C．(0,) D．()【答案】C【解析】由解得即兩條直線的交點(diǎn)為，由交點(diǎn)在第二象限，得,解得.故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由方程組，解得，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)位于第四象限，可得且，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】聯(lián)立得，因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)位于第一象限，所以，解得.故選：D題型五：三線能否圍成三角形問(wèn)題【例5】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≠ B．a(chǎn)≠C．a(chǎn)≠且a≠ D．a(chǎn)≠且a≠1【答案】C【解析】已知三條直線能構(gòu)成三角形，首先不平行，若，則三條直線圍成三角形，若，則，，解得，時(shí)，由，得，代入得，或，因此綜上：且．故選：C．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·江蘇徐州·高二校考期中）若三條直線不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值最多有（

）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【解析】三條直線不能構(gòu)成三角形至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn).若∥，則；若∥，則；若∥，則的值不存在；若三條直線相交于同一點(diǎn)，直線和聯(lián)立：，直線和交點(diǎn)為;直線和聯(lián)立：，直線和交點(diǎn)為;三條直線相交于同一點(diǎn)兩點(diǎn)重合或.故實(shí)數(shù)的取值最多有個(gè).故選:C【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)a的取值不可能為（

）A．1 B． C．﹣2 D．﹣1【答案】A【解析】因?yàn)橹本€l1的斜率為3，直線l2的斜率為，所以直線一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為：.當(dāng)時(shí)，直線與x軸垂直，方程為：不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以三條直線能構(gòu)成三角形；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為：.當(dāng)直線l1與直線l3的斜率相等時(shí)，即，此時(shí)這兩直線平行，因此這三條直線不能三角形；當(dāng)直線l2與直線l3的斜率相等時(shí)，即，此時(shí)這兩直線平行，因此這三條直線不能三角形；當(dāng)直線l3過(guò)直線交點(diǎn)時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形，即有，所以實(shí)數(shù)a的取值不可能為1.故選：A題型六：直線交點(diǎn)系方程【例6】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設(shè)直線經(jīng)過(guò)和的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為_(kāi)__________.【答案】或【解析】方法一：由，得，所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（14，10）,由題意可得直線的斜率為1或1，所以直線的方程為或，即或.方法二：設(shè)直線的方程為，整理得，由題意，得，解得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·安徽六安·高二?？计谥校┮阎獌芍本€和的交點(diǎn)為，則過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為_(kāi)________.【答案】【解析】依題意兩直線和的交點(diǎn)為，所以在直線上，所以過(guò)兩點(diǎn)所在直線方程為.故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求過(guò)兩條直線與的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程：(1)斜率為；(2)過(guò)點(diǎn)；(3)平行于直線．【解析】（1）法一:直線與的交點(diǎn)為，當(dāng)斜率為時(shí)，由直線的點(diǎn)斜式方程得：直線方程為．直線方程為．法二:由題意，直線不符合題意，所以由直線系方程可設(shè)所求直線為，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，解得，故所求直線方程為；（2）法一：過(guò)點(diǎn)時(shí)，由兩點(diǎn)式得：即為．直線方程為．法二：由題意，直線不符合題意，過(guò)點(diǎn)時(shí)，代入（1）中直線系方程得，故所求直線方程為．（3）法一：平行于直線時(shí)，得直線斜率為，直線方程為，直線方程為．法二：由題意，直線不符合題意，平行于直線時(shí)，由（1）中直線系方程，解得,故所求直線方程為．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由方程組，解得，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)位于第四象限，可得且，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與互相垂直，垂足為，則的值為（

）A．20 B．4 C．12 D．4【答案】A【解析】由兩直線與垂直，可得，即，又由兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是，可得，解得，所以.故選：A.3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】聯(lián)立得，因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)位于第一象限，所以，解得.故選：D4．（2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校┻^(guò)點(diǎn)作一條直線，它夾在兩條直線：和：之間的線段恰被點(diǎn)平分，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如果直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：，不符合題意；所以直線斜率存在設(shè)為，則直線方程為，聯(lián)立直線得：，聯(lián)立直線得：，，所以直線與直線，直線的交點(diǎn)為：，又直線夾在兩條直線和之間的線段恰被點(diǎn)平分，所以，解得：，所以直線的方程為：，故選：B.5．（2023·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)?？计谀┻^(guò)兩直線的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得，得直線的交點(diǎn)為點(diǎn)．因?yàn)樗笾本€與直線垂直，故所求直線的斜率，因此，所求直線的方程為，即．故選：C.6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線相交且交點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若直線與直線平行或重合，則，解得，若直線與直線相交，可得且，則有：聯(lián)立方程，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得：，解得；綜上所述：k的取值范圍為.故選：C.7．（2023·廣西貴港·高二校考階段練習(xí)）直線恒過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將化為，聯(lián)立，得，即直線過(guò)定點(diǎn)．故選：C8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）使三條直線不能圍成三角形的實(shí)數(shù)m的值最多有幾個(gè)（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【解析】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，若平行，則，即；若平行，則，即無(wú)解；若平行，則，即；若三條直線交于一點(diǎn)，，可得或；經(jīng)檢驗(yàn)知：均滿足三條直線不能圍成三角形，故m最多有4個(gè).故選：B二、多選題9．（2023·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）若直線，，不能構(gòu)成三角形，則m的取值可能為（

）．A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)橹本€，，不能構(gòu)成三角形，所以存在，，過(guò)與的交點(diǎn)三種情況.顯然，.則直線的斜率分別為，，.當(dāng)時(shí)，有，即，解得；當(dāng)時(shí)，有，即，解得；當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)時(shí).先聯(lián)立，解得，則與的交點(diǎn)為，代入，得，解得．綜上：或或．故選：ABD．10．（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中校考期中）若三條不同的直線：，：，：不能圍成一個(gè)三角形，則的取值可能為（

）A．－2 B．2 C．4 D．6【答案】BCD【解析】若,則兩條直線斜率相等，即，解得；若，則根據(jù)斜率相等有，解得；若三條直線交于一點(diǎn)，此時(shí)聯(lián)立與，得點(diǎn)，將點(diǎn)代入中，解得.綜上所述，要使得三條直線不能圍成三角形，的取值為.故選：BCD11．（2023·河北石家莊·高二石家莊二十三中?？计谀┮阎本€l：，其中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，直線l與直線垂直B．若直線l與直線平行，則C．直線l過(guò)定點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，故l的斜率為1，直線的斜率為，因?yàn)?，所以兩直線垂直，所以A正確；對(duì)于B，若直線l與直線平行，則，解得或，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，所以直線過(guò)定點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，易得在x軸、y軸上的截距分別是，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.12．（2023·廣東廣州·高二?？计谥校┤魞蓷l直線和的交點(diǎn)在第四象限，則k的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】記直線與x軸的交點(diǎn)為，斜率為，直線所過(guò)定點(diǎn)為，則由圖可知，當(dāng)，即時(shí)，兩直線交點(diǎn)在第四象限.故選：BC三、填空題13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線與直線相交，則m的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】因?yàn)橹本€與直線，即相交，所以，解得.所以m的取值范圍為.故答案為：14．（2023·湖南·高二臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與：交于點(diǎn)P，則的值為_(kāi)_______．【答案】2【解析】直線過(guò)定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，兩直線的斜率分別為，，，故，從而；當(dāng)時(shí)，易求得，此時(shí)，綜上可知，．故答案為：215．（2023·浙江寧波·高二期末）若三條直線與能圍成一個(gè)直角三角形，則__________．【答案】或1【解析】顯然，3xy+1=0，x+y+3=0有交點(diǎn)，若與垂直，則；若與垂直，則．所以或1．故答案為：或116．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若三條直線，，不能圍成三角形，則m的值等于______．【答案】4或或1.【解析】三條直線不能圍成三角形，則有以下三種情況，1.直線與平行，則有，2.直線與平行，則有，3.三條直線，，相交于同一個(gè)點(diǎn)，聯(lián)立解得代入可得，綜上m的值等于4，，1，故答案為：4或或1.四、解答題17．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求證：不論為何實(shí)數(shù)，直線都恒過(guò)一定點(diǎn)．【解析】證法一（特殊值法）：取，得到直線，取，得到直線，故與的交點(diǎn)為．將點(diǎn)代入方程左邊，得，∴點(diǎn)在直線上．∴直線恒過(guò)定點(diǎn)．證法二（分離參數(shù)法）：由，整理，得．則直線通過(guò)直線與的交點(diǎn)．由方程組，得，∴恒過(guò)定點(diǎn)．18．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求經(jīng)過(guò)直線l1：和l2：的交點(diǎn)，且平行于直線l3：的直線l的方程．【解析】解方程組得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，則，解得，所以直線的方程為.19．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為