第5講二項式定理11種題型總結(jié)（原卷版）

第5講二項式定理11種題型總結(jié)【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：二項式定理的概念①二項式定理：②通項公式：③二項式系數(shù)：二項式系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)④共有n＋1項考點(diǎn)二：二項式系數(shù)的性質(zhì)①對稱性：②二項式系數(shù)的最值：當(dāng)為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大當(dāng)為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大③二項式系數(shù)和：考點(diǎn)三：各項系數(shù)和（賦值法）①形如的式子，求其展開式的各項系數(shù)之和，只需令x＝1即可．②形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．【題型目錄】題型一：求展開式題型二：二項展開式中的系數(shù)題型三：二項式系數(shù)和和各項系數(shù)和題型四：求兩個二項式乘積的展開式指定冪的系數(shù)題型五：求三項展開式中指定冪的系數(shù)題型六：有理項問題題型七：求系數(shù)最大小項問題題型八：利用“賦值法”及二項式性質(zhì)，求部分項系數(shù)，二項式系數(shù)和題型九：利用二項式定理求余數(shù)題型十：利用二項式定理求近似值題型十一：二項式定理與楊輝三角【典型例題】題型一：求展開式【例1】求的展開式【例2】設(shè)，化簡______.【例3】求值：________【例3】化簡多項式的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【題型專練】1．求的展開式．2．（

）A． B． C． D．3．化簡的結(jié)果為（

）A．x4 B． C． D．題型二：二項展開式中的系數(shù)【例1】在的展開式中，的系數(shù)是（

）A．35 B． C．560 D．【例2】若是一組數(shù)據(jù)的方差，則的展開式的常數(shù)項為（

）A． B．3360 C．210 D．16【例3】已知二項式展開式中含有常數(shù)項，則n的最小值為____________．【例4】的展開式中含項的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【例5】的展開式中各二項式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項為______．【題型專練】1．的展開式中的常數(shù)項為___________.2．寫出一個正整數(shù)n，使的展開式中含有常數(shù)項，則n＝______．（答案不唯一，寫出一個符合題意的即可）3．若展開式中第5項為常數(shù)項，則________；4．的展開式共有8項，則常數(shù)項為____________．5．已知的展開式中的系數(shù)為____________6．在的二項展開式中，第______項為常數(shù)項.7．設(shè)常數(shù)，展開式中的系數(shù)為，則_______.題型三：二項式系數(shù)和和各項系數(shù)和【例1】已知的展開式中二項式系數(shù)的和是1024，則它的展開式中的常數(shù)項是（

）A．252 B． C．210 D．【例2】在的展開式中，各項系數(shù)與二項式系數(shù)和之比為64，則該展開式中的常數(shù)項為（

）A．15 B．45 C．135 D．405【例3】（多選題）已知的展開式中各項系數(shù)的和為2，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．展開式中常數(shù)項為160C．展開式系數(shù)的絕對值的和1458 D．展開式中含項的系數(shù)為240【例4】在二項式的展開式中，所有的二項式系數(shù)之和為64，則該展開式中的的系數(shù)是________．【例5】在的展開式中，二項式系數(shù)之和為_________；各項系數(shù)之和為_________．（用數(shù)字作答）【題型專練】1．在的展開式中，二項式系數(shù)的和是16，則展開式中各項系數(shù)的和為（

）A．16 B．32 C．1 D．2．（多選題）已知的展開式中第二項與第三項的系數(shù)的絕對值之比為1:8，則（

）A． B．展開式中所有項的系數(shù)和為1C．展開式中二項式系數(shù)和為 D．展開式中不含常數(shù)項3．若的展開式的所有項的系數(shù)和與二項式系數(shù)和的比值是32,則展開式中項的系數(shù)是___________.4．若的展開式中二項式系數(shù)的和為，則該展開式中的常數(shù)項是______．5．在的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為32，則的系數(shù)為_______.6．二項式的展開式中，常數(shù)項是___________，各項二項式系數(shù)之和是___________.（本題用數(shù)字作答）題型四：求兩個二項式乘積的展開式指定冪的系數(shù)【例1】的展開式中的常數(shù)項為（

）A．240 B． C．400 D．80【例2】二項式展開式中的系數(shù)為（

）A．120 B．135 C．140 D．100【例3】已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【例4】（多選題）已知的展開式中各項系數(shù)的和為2，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．展開式中常數(shù)項為160C．展開式系數(shù)的絕對值的和1458 D．展開式中含項的系數(shù)為240【例5】的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）．【例6】的展開式中，記項的系數(shù)為，則______【題型專練】1．在的展開式中常數(shù)項為（

）A．14 B．－14 C．6 D．－62．已知的展開式中各項系數(shù)的和為，則該展開式中的系數(shù)為（

）A．0 B． C．120 D．3．的展開式中常數(shù)項為_________．（用數(shù)字作答）4．已知，則的值為___________.5．已知的所有項的系數(shù)的和為64，展開式中項的系數(shù)為________．6．在的展開式中，記項的系數(shù)為，則（

）A．45 B．60 C．120 D．2107．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C．160 D．808．展開式中的常數(shù)項為______.9．已知多項式，則_______，_______．題型五：求三項展開式中指定冪的系數(shù)【例1】的展開式中x項的系數(shù)為（

）A．568 B．－160 C．400 D．120【例2】展開式中的系數(shù)為（

）A． B．21 C． D．35【例3】展開式中各項系數(shù)的和為64，則該展開式中的項的系數(shù)為（

）A． B． C．100 D．160【例4】的展開式中，所有不含z的項的系數(shù)之和為（

）A．16 B．32 C．27 D．81【例5】的展開式中的系數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【例6】的展開式中，的系數(shù)為___________.【題型專練】1．在的展開式中，含的項的系數(shù)為（

）A．120 B．40 C．30 D．2002．展開式中，項的系數(shù)為（）A．5 B．5 C．15 D．153．在的展開式中，除項之外，剩下所有項的系數(shù)之和為（

）A．299 B． C．300 D．4．在的展開式中，的系數(shù)為___________.5．的展開式的所有項的系數(shù)和為243，則展開式中的系數(shù)為______.題型六：有理項問題【例1】若二項式的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，若展開式的有理項中第項的系數(shù)最大，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【例2】二項式的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有（

）A．6項 B．7項 C．8項 D．9項【例3】已知的展開式共有13項，則下列說法中正確的有（

）A．展開式所有項的系數(shù)和為 B．展開式二項式系數(shù)最大為C．展開式中沒有常數(shù)項 D．展開式中有理項共有5項【例4】（多選題）在的展開式中，有理項恰有兩項，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【例5】的展開式中所有有理項的系數(shù)和為（

）A．85 B．29 C． D．【題型專練】1．在的展開式中，x的冪的指數(shù)是整數(shù)的項共有（

）A．3項 B．4項 C．5項 D．9項2．展開式的二項式系數(shù)和64，則展開式中的有理項個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（多選題）已知的展開式中第3項與第5項的系數(shù)之比為，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．展開式中的常數(shù)項為45C．含的項的系數(shù)為210 D．展開式中的有理項有5項4．已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中有理項的個數(shù)為___________．5．如果的展開式中第3項與第2項系數(shù)的比是4，那么展開式里x的有理項有________項．（填個數(shù)）題型七：求系數(shù)最大小項問題【例1】已知的展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則該展開式中各項系數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【例2】的二項展開式中，系數(shù)最大的是第___________項.【例3】在二項式展開式中，第3項和第4項的系數(shù)比為．(1)求n的值及展開式中的常數(shù)項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項是第幾項．【題型專練】1．已知為正偶數(shù)，在的展開式中，第5項的二項式系數(shù)最大．(1)求展開式中的一次項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．2．已知的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．3．已知的二項式展開式的各項二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和均為128，(1)求展開式中所有的有理項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．題型八：利用“賦值法”及二項式性質(zhì)，求部分項系數(shù)，二項式系數(shù)和【例1】若，且，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A．1或 B． C．或3 D．【例2】設(shè)，若則非零實(shí)數(shù)a的值為（

）A．2 B．0 C．1 D．1【例3】（多選題）已知，若，則有（

）A．B．C．D．【例4】（多選題）已知，則（

）A． B．C． D．【例5】若，則_______，________．【例6】設(shè)多項式，則_____.【題型專練】1．已知，若，則自然數(shù)n＝______.2．已知且，，，且，則____________．3．已知，且，則______．4．已知，若，則______或______．5．（多選題）設(shè)，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．6．（多選題）已知，下列命題中，正確的是（

）A．展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為；B．展開式中所有奇次項系數(shù)的和為；C．展開式中所有偶次項系數(shù)的和為；D．.7.（多選題）已知，則（

）A．B．C．D．8．已知.且，則__________，該展開式第3項為__________.題型九：利用二項式定理求余數(shù)【例1】中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為．若，，則b的值可以是（

）A．2004 B．2005 C．2025 D．2026【例2】（多選題）已知的展開式中第4項與第7項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為0，則（

）A．B．的展開式中有理項有5項C．的展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為512D．除以9余8【例3】設(shè)n∈N，且能被6整除，則n的值可以為_________.(寫出一個滿足條件的n的值即可)【例4】已知且滿足能被8整除，則符合條件的一個的值為___________.【題型專練】1．設(shè)，則當(dāng)時，除以15所得余數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．82.（多選題）設(shè)，且，若能被13整除，則a的值可以為（

）A．0 B．11 C．12 D．253．除以100的余數(shù)是______．4．若能被13整除，則實(shí)數(shù)a的值可以為________．（填序號）①0；②11；③12；④25．題型十：利用二項式定理求近似值【例1】的計算結(jié)果精確到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【例2】估算的結(jié)果，精確到0.01的近似值為（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【題型專練】1．已知為正整數(shù)，若，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．1.028的近似值是___________.(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)題型十一：二項式定理與楊輝三角【例1】當(dāng)時，將三項式展開，可得到如圖所示的三項展開式和“廣義楊輝三角形”：若在的展開式中，的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【例2】楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家．他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個由二項式展開式的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個數(shù)值都是它上面的兩個數(shù)值之和，每一行第個數(shù)組成的數(shù)列稱為第斜列．該三角形數(shù)陣前5行如圖所示，則該三角形數(shù)陣前2022行第斜列與第斜列各項之和最大時，的值為（

）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【例3】（多選題）楊輝三角形，又稱賈憲三角形，是二項式系數(shù)（，且）在三角形中的一種幾何排列，北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算，南宋時期杭州人楊輝在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了如下圖所示的三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，并說明此表引自11世紀(jì)前半賈憲的《釋鎖算術(shù)》，并繪畫了“古法七乘方圖”，故此，楊輝三角又被稱為“賈憲三角”，楊輝三角形的構(gòu)造法則為：三角形的兩個腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字相加.根據(jù)以上信息及二項式定理的相關(guān)知識分析，下列說法中正確的是（

）A．B．當(dāng)且時，C．為等差數(shù)列D．存在，使得為等差數(shù)列【例4】如圖所示的楊輝三角中，從第行開始，每一行除兩端的數(shù)字是以外，其他每一個數(shù)字都是它肩上兩個數(shù)字之和在此數(shù)陣中，若對于正整數(shù)，第行中最大的數(shù)為，第行中最大的數(shù)為，且，則的值為______．【例5】如圖，在楊輝三角形中，斜線的上方從1按箭頭所示方向可以構(gòu)成一個“鋸齒形”的數(shù)列：，記此數(shù)列的前項之和為，則的值為__________.【題型專練】1．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年.在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中（如圖），記第2行的第3個數(shù)字為，第3行的第3個數(shù)字為，第行的第3個數(shù)字為，則（

）A．165 B．180 C．220 D．2362．（多選題）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝126