專題09向量的性質(zhì)及其應(yīng)用

專題09向量的性質(zhì)及其應(yīng)用專題點(diǎn)撥能靈活運(yùn)用兩個(gè)重要結(jié)論解決問(wèn)題：(1)(D是BC中點(diǎn)).(2)已知點(diǎn)不共線，且，則點(diǎn)共線的充要條件是.2．運(yùn)用建立坐標(biāo)系的方法解決向量問(wèn)題時(shí)，遵循向量的坐標(biāo)易于表示的原則.3．會(huì)用向量點(diǎn)乘向量等式(作數(shù)量積、兩邊平方、向量投影的幾何意義)方法解決問(wèn)題.4．能熟練地運(yùn)用向量運(yùn)算的幾何意義作圖求解.真題賞析（2021?上海）在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在，使得；②存在，使得；它們的成立情況是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【分析】設(shè)，，，，，由向量數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷①；為中點(diǎn)，可得，由為中點(diǎn)，可得與的交點(diǎn)即為重心，從而可判斷②【解答】解：不妨設(shè)，，，，，①，，若，則，即，滿足條件的存在，例如，滿足上式，所以①成立；②為中點(diǎn)，，與的交點(diǎn)即為重心，因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以與不共線，即②不成立．故選：．例題剖析【例1】在邊長(zhǎng)為1的正六邊形中，記以為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，，，，，若與的夾角記為，其中，，2，3，4，，且，則的最大值為．【答案】【解析】由向量的投影的幾何意義有：的幾何意義為向量在向量方向上的投影，由圖可知：在向量方向上的投影最大，且為，故答案為：．【變式訓(xùn)練1】（2021?浦東新區(qū)校級(jí)三模）已知邊長(zhǎng)為2的正方形邊上有兩點(diǎn)、，滿足，設(shè)是正方形的中心，則的取值范圍是．【分析】本題可采用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解，具體過(guò)程詳見解析．【解答】解：根據(jù)題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有，又由余弦定理可得，，所以所以．①當(dāng)點(diǎn)，為正方形對(duì)角頂點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)，，則有，即為的最小值．②當(dāng)點(diǎn)，在同一條邊上時(shí)，若，分別為該邊的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，，且，，此時(shí)，即為該情況下的最小值；若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，為邊的端點(diǎn)時(shí)，假設(shè)，，，此時(shí)，即為該情況下的最大值．③當(dāng)，在相鄰邊上時(shí)，只有當(dāng)時(shí)，取得極值，此時(shí)．綜上可得，的取值范圍為，．故答案為：，．【例2】已知平面向量、滿足條件：，，，，若向量．且，則的最小值為．【答案】【解析】由題意可設(shè)，，，且設(shè)，，，，則，即，在以為圓心，以為半徑的圓上，，，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】已知向量，，且，若向量滿足，則的最大值為．【答案】【解析】，，令，則，點(diǎn)軌跡為以原點(diǎn)為原心，半徑為的圓，令，則，點(diǎn)軌跡是以原點(diǎn)為原心，半徑為的兩個(gè)圓及其之間的部分，最大值為，即最大值為．故答案為：．【例3】已知圓心為、半徑為的圓上有三點(diǎn)、、，，則．【答案】【解析】欲得到，可用與已知等式作數(shù)量積，即，結(jié)合投影的幾何意義，有(過(guò)O作，則D是AC中點(diǎn))將數(shù)值代入化簡(jiǎn)，得.將用表示，可得.【變式訓(xùn)練3】已知圓心為、半徑為的圓上有三點(diǎn)、、．若，則______________．【答案】【解析】方法一兩邊平方，得.因此，.方法二分析設(shè).分別用與作數(shù)量積，可得鞏固訓(xùn)練填空題1.（2021?金山區(qū)二模）已知向量與的夾角為，且，若，其中，則向量在上的投影的取值范圍為．【分析】先得到，從而在直線上，再由數(shù)形結(jié)合即可得到范圍．【解答】解：如圖所示，設(shè)，，，，，，又，在直線上，當(dāng)與同向時(shí)，即與重合時(shí)，在上的投影最大為，作，此時(shí)在上的投影為，但取不到，在上的投影最小值大于，在上的投影的范圍為，，故答案為：，．2.（2021?浦東新區(qū)二模）已知、，若曲線上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)滿足條件，則的取值范圍為．【分析】化簡(jiǎn)向量的數(shù)量積，利用向量在上的投影值，判斷求解即可．【解答】解：由題意，可知，當(dāng)，是向量在上的投影，曲線上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)滿足條件，如圖中的紅色直線與半個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，紅色直線的斜率為，直線方程設(shè)為：，直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)，可知，，解得，此時(shí)，，即，．故答案為：，．3.已知圓，圓．直線、分別過(guò)圓心、，且與圓相交于，兩點(diǎn)，與圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】3【解析】由題意可得，，，，，，為橢圓上的點(diǎn)，由題意可知，，，故答案為：8．4.（2021?普陀區(qū)模擬）已知向量，的夾角為銳角，且滿足、，若對(duì)任意的，，，，都有成立，則的最小值為．【分析】由，且、以及已知不等式把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：因?yàn)?，且、，則恒成立，所以恒成立，只需，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最大值為，所以，即的最小值為，故答案為：．5.（2021?浦東新區(qū)三模）已知，若存在，，使得與夾角為，且，則的最小值為．【分析】由題意畫出圖形，令，，可得，，，共線，進(jìn)一步說(shuō)明當(dāng)、關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，最小，求出到的距離，進(jìn)一步求得的最小值．【解答】解：由題意，，令，，故有，，，共線，為定值，在△中，由余弦定理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)△面積最大，則到距離最遠(yuǎn)，即當(dāng)且僅當(dāng)、關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，最小，此時(shí)到的距離為，，即．故答案為：．6.（2021?寶山區(qū)二模）如圖，若同一平面上的四邊形滿足：，則當(dāng)?shù)拿娣e是的面積的倍時(shí)，的最大值為．【分析】將已知化為，然后過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，由已知面積關(guān)系可得，在的兩邊同時(shí)點(diǎn)乘，利用向量的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：因?yàn)?，所以，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，因?yàn)榈拿娣e是的面積的倍，所以，從而，在的兩邊同時(shí)點(diǎn)乘，得，又，從而，即，整理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最大值為，故答案為：．二、選擇題 7．設(shè)表示平面向量，，都是小于9的正整數(shù)，且滿足，，則和的夾角大小為A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得：，由，又因?yàn)?，都是小?的正整數(shù)，則，，又，所以，所以，又，所以，故選：．8．（2021?楊浦區(qū)二模）在四邊形中，，且滿足，則A．2 B．6 C． D．【分析】根據(jù)題意求出四邊形是菱形，求出對(duì)角線的長(zhǎng)即可．【解答】解：，為的角平分線，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，如圖示：結(jié)合題意，故，，而，故，故選：．9．（2021?閔行區(qū)二模）如圖是函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，該圖象分別與軸、軸相交于、兩點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)的直線相交于另外兩點(diǎn)、，為軸上的基本單位向量，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意先求出，的坐標(biāo)，結(jié)合題意得為的中點(diǎn)，，然后結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求．【解答】解：由題意得，，為的中點(diǎn)，，，，，，所以．故選：．三、解答題10.已知點(diǎn)是的中線上任意一點(diǎn)，且，實(shí)數(shù)滿足：.記，，，，，若乘積取最大值時(shí)，求此時(shí)的值.【解析】設(shè)，，則．結(jié)合圖形，可算得，．于是，．當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因此，乘積取最大值時(shí)，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．所以，．代入，得．又不平行，所以，所求．11.已知為坐標(biāo)