專題03空間向量與立體幾何（重難點突破）原卷版-2021年秋季高二數(shù)學(xué)上學(xué)期講義（人教A版）

專題03空間向量與立體幾何一、考情分析二、考點梳理一、空間直角坐標(biāo)系定義以空間中兩兩__________且相交于一點O的三條直線分別為x軸、y軸、z軸，這時就說建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中點O叫做坐標(biāo)__________，x軸、y軸、z軸叫做__________．通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做__________，分別稱為xOy平面、yOz平面、__________平面．畫法在平面上畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時，一般使∠xOy＝__________，∠yOz＝90°．圖示說明本書建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系，即在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向__________軸的正方向，食指指向__________軸的正方向，如果中指指向__________軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．二、空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)1．空間中的任意點與有序?qū)崝?shù)組之間的關(guān)系如圖所示，設(shè)點M為空間直角坐標(biāo)系中的一個定點，過點M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的__________，依次交x軸、y軸和z軸于點P、Q和R．設(shè)點P、Q和R在x軸，y軸和z軸上的坐標(biāo)分別是x、y和z，那么點M就和有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）是__________的關(guān)系，有序?qū)崝?shù)組__________叫做點M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作__________，其中x叫做點M的__________，y叫做點M的__________，z叫做點M的__________．2．空間直角坐標(biāo)系中特殊位置點的坐標(biāo)點的位置點的坐標(biāo)形式原點（0，0，0）x軸上（a，0，0）y軸上（0，b，0）z軸上（0，0，c）xOy平面上（a，b，0）yOz平面上（0，b，c）xOz平面上（a，0，c）3．空間直角坐標(biāo)系中的對稱點設(shè)點P（a，b，c）為空間直角坐標(biāo)系中的點，則對稱軸（或中心或平面）點P的對稱點坐標(biāo)原點x軸y軸（－a，b，－c）z軸xOy平面yOz平面xOz平面三、空間兩點間的距離公式如圖，設(shè)點是空間中任意兩點，且點在xOy平面上的射影分別為M，N，那么M，N的坐標(biāo)分別為．在xOy平面上，．在平面內(nèi)，過點作的垂線，垂足為H，則，所以．在中，，根據(jù)勾股定理，得____________________________．因此，空間中點P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）之間的距離是____________________________．特別地，點P(x，y，z)到坐標(biāo)原點O(0,0,0)的距離為|OP|＝．空間兩點間的距離公式可以類比平面上兩點間的距離公式，只是增加了對應(yīng)的豎坐標(biāo)的運算．空間中點坐標(biāo)公式：設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB中點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2)))．三、題型突破1．確定空間任一點的坐標(biāo)確定空間直角坐標(biāo)系中任一點P的坐標(biāo)的步驟是：①過P作PC⊥z軸于點C；②過P作PM⊥平面xOy于點M，過M作MA⊥x軸于點A，過M作MB⊥y軸于點B；③設(shè)P（x，y，z），則|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|．當(dāng)點A、B、C分別在x、y、z軸的正半軸上時，則x、y、z的符號為正；當(dāng)點A、B、C分別在x、y、z軸的負(fù)半軸上時，則x、y、z的符號為負(fù)；當(dāng)點A、B、C與原點重合時，則x、y、z的值均為0．空間中點的坐標(biāo)受空間直角坐標(biāo)系的制約，同一個點，在不同的空間直角坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)是不同的．例1．（2021·全國高二課時練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，為棱的中點，分別以所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系．（1）求點的坐標(biāo)；（2）求點的坐標(biāo)．

【變式訓(xùn)練11】如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則點B1的坐標(biāo)是()A．(1,0,0)B．(1,0,1)C．(1,1,1)D．(1,1,0)【變式訓(xùn)練12】（2021·全國高二課時練習(xí)）如圖，正方體的棱長為，則圖中的點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為________．2．求空間對稱點的坐標(biāo)求對稱點的坐標(biāo)一般依據(jù)“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”來解決．如關(guān)于橫軸（x軸）的對稱點，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)；關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)．例2.（1）在空間直角坐標(biāo)系中，若P(3，－2,1)，則P點關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對稱點坐標(biāo)為()A．(－3，－2，－1)B．(3,2,1)C．(－3,2，－1)D．(3，－2，－1)（2）．（2021·浙江高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．

（3）．（2021·浙江高二期末）在空間坐標(biāo)系中，點關(guān)于x軸的對稱點為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練21】.點P(1,3,5)關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點P′的坐標(biāo)是()A．(－1，－3，－5)B．(1，－3,5)C．(－1，－3,5)D．(－1,3,5)【變式訓(xùn)練22】.（2020·全國高一課時練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練23】.（2021·全國高二課時練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點P(－2，1，4)．（1）求點P關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)；（2）求點P關(guān)于xOy平面的對稱點的坐標(biāo)；（3）求點P關(guān)于點M(2，－1，－4)的對稱點的坐標(biāo)

3．空間兩點間的距離公式（1）已知空間兩點間的距離求點的坐標(biāo)，是距離公式的逆應(yīng)用，可直接設(shè)出該點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解點的坐標(biāo)．（2）若求滿足某一條件的點，要先設(shè)出點的坐標(biāo)，再建立方程或方程組求解．（3）利用空間兩點間的距離公式判斷三角形的形狀時，需分別求出三邊長，得到邊長相等或者滿足勾股定理；判斷三點共線時，需分別求出任意兩點連線的長度，判斷其中兩線段長度之和等于另一條線段長度．例3.（1）已知空間中兩點A(1,2,3)，B(4,2，a)，且|AB|＝eq\r(10)，則a的值為()A．2B．4C．0D．2或4（2）．（2021·陜西西安市西光中學(xué)高一期末）空間直角坐標(biāo)系中，已知兩點，，則這兩點間的距離為___________.（3）．（2021·廣西百色·高一期末）在空間直角坐標(biāo)系中的位置及坐標(biāo)如圖所示，則邊上的中線長為___________.

【變式訓(xùn)練31】.在空間直角坐標(biāo)系中，給定點M(2，－1,3)，若點A與點M關(guān)于xOy平面對稱，點B與點M關(guān)于x軸對稱，則|AB|等于()A．2B．4C．2eq\r(5)D．3eq\r(7)【變式訓(xùn)練32】.已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，當(dāng)|AB|取最小值時，x的值為()A．19B．－eq\f(8,7)C.eq\f(8,7)D.eq\f(19,14)【變式訓(xùn)練33】（2021·江門市第二中學(xué)高二月考）已知空間兩點，，、，，，則、兩點間的距離為_______．【變式訓(xùn)練34】．（2019·安徽省蚌埠第三中學(xué)高二月考（文））已知空間兩點，則等于（）A． B．3 C． D．【變式訓(xùn)練35】．（2021·全國高二課時練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，，，，則的長為___________.

4．空間直角坐標(biāo)系的綜合問題例4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)．(1)在y軸上是否存在點M，滿足|MA|＝|MB|?(2)在y軸上是否存在點M，使△MAB為等邊三角形？若存在，試求出點M的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練41】．（2021·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高二開學(xué)考試（文））長方體中，，，點是的中點，點是的中點．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）寫出點，，的坐標(biāo)；（2）求線段，的長度．

四、課堂定時訓(xùn)練（45分鐘）1．（2021·全國高一課時練習(xí)）設(shè)點是點，，關(guān)于平面的對稱點，則（）A．10 B． C． D．382．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，若D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），則對角線AC1的長為（）A．9 B．eq\r(29)C．5 D．2eq\r(6)3．在空間直角坐標(biāo)系中，一定點P到三個坐標(biāo)軸的距離都是1，則該點到原點的距離是（）A．eq\f(\r(6),2) B．eq\r(3) C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(6),3)4．已知A點坐標(biāo)為（1，1，1），B（3，3，3），點P在x軸上，且|PA|＝|PB|，則P點坐標(biāo)為（）A．（6，0，0） B．（6，0，1） C．（0，0，6） D．（0，6，0）5．（2021·安徽蚌埠·高二期末（文））在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)為（）A． B． C． D．6．（2021·天津高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，，則線段的中點坐標(biāo)是（）A． B． C． D．7.設(shè)點是直角坐標(biāo)系O-xyz中一點，則點M關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（）A．錛 B．C． D．8．（2020·泗洪縣洪翔中學(xué)高一月考）空間兩點，之間的距離等于（）A． B． C． D．9．（2021·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二月考）在空間直角坐標(biāo)系中，點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)是______