專題95拋物線2022年高考數(shù)學一輪復習（新高考浙江）（講）

2022年高考數(shù)學一輪復習講練測（新高考·浙江）第九章平面解析幾何專題9.5拋物線（講）【考試要求】1.掌握拋物線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單幾何性質.2.會解決直線與拋物線的位置關系的問題.3.了解方程與曲線的對應關系和求曲線方程的基本方法.4.理解數(shù)形結合、用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.了解圓錐曲線的簡單應用.【高考預測】高考對拋物線的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查拋物線的標準方程，結合拋物線的定義及拋物線的焦點，利用待定系數(shù)法求解；二是考查拋物線的幾何性質，較多地涉及準線、焦點、焦準距等；三是考查直線與拋物線的位置關系問題，綜合性較強，往往與向量結合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關系、弦長問題等，其中，過焦點的直線較多.【知識與素養(yǎng)】知識點1．拋物線的標準方程及幾何性質圖形標準方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）頂點O（0，0）范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對稱軸x軸y軸焦點離心率e=1準線方程焦半徑【典例1】（2021·全國高考真題）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為______.【答案】【分析】先用坐標表示，再根據向量垂直坐標表示列方程，解得，即得結果.【詳解】拋物線：()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,不妨設,因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側，又，因為，所以,，所以的準線方程為故答案為：.【總結提升】1.求拋物線的標準方程的方法(1)定義法根據拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點到準線的距離)，再結合焦點位置，求出拋物線方程．標準方程有四種形式，要注意選擇．(2)待定系數(shù)法①根據拋物線焦點是在x軸上還是在y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據條件確定關于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標準方程．②當焦點位置不確定時，有兩種方法解決：法一分情況討論，注意要對四種形式的標準方程進行討論，對于焦點在x軸上的拋物線，為避免開口方向不確定可分為y2＝2px(p＞0)和y2＝－2px(p＞0)兩種情況求解法二設成y2＝mx(m≠0)，若m＞0，開口向右；若m＜0，開口向左；若m有兩個解，則拋物線的標準方程有兩個．同理，焦點在y軸上的拋物線可以設成x2＝my(m≠0)．如果不確定焦點所在的坐標軸，應考慮上述兩種情況設方程2.涉及拋物線幾何性質的問題常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想解題的直觀性．知識點2．拋物線的定義及應用平面內與一個定點和一條定直線（不經過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．【典例2】（2017·全國高考真題（理））已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點．若為的中點，則____________．【答案】6【解析】如圖所示，不妨設點M位于第一象限，設拋物線的準線與軸交于點，作與點，與點，由拋物線的解析式可得準線方程為，則，在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結合題意，有，故．【總結提升】利用拋物線的定義解決問題時，應靈活地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準線距離間的等價轉化．“看到準線應該想到焦點，看到焦點應該想到準線”，這是解決拋物線距離有關問題的有效途徑．知識點3．直線和拋物線的位置關系（1）將直線的方程與拋物線的方程y2=2px（p＞0）聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.若，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點；若①Δ＞0直線和拋物線相交，有兩個交點；②Δ＝0直線和拋物線相切，有一個公共點；③Δ＜0直線和拋物線相離，無公共點．（2）直線與拋物線的相交弦設直線交拋物線于點兩點，則==同理可得這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：【典例3】（2021·全國高考真題（文））已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由拋物線焦點與準線的距離即可得解；（2）設，由平面向量的知識可得，進而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）設，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線的斜率，當時，；當時，，當時，因為，此時，當且僅當，即時，等號成立；當時，；綜上，直線的斜率的最大值為.【總結提升】1.在解決直線與拋物線位置關系的問題時，其方法類似于直線與橢圓的位置關系．在解決此類問題時，除考慮代數(shù)法外，還應借助平面幾何的知識，利用數(shù)形結合的思想求解．2.解決焦點弦問題的關鍵是“設而不求”方法的應用，解題時，設出直線與拋物線兩交點的坐標，根據拋物線的方程正確表示出焦點弦長，再利用已知條件求解．【重點難點突破】考點1拋物線的標準方程及幾何性質【典例4】（2021·北京高考真題）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸與于點.若，則點的橫坐標為_______；的面積為_______．【答案】5【分析】根據焦半徑公式可求的橫坐標，求出縱坐標后可求.【詳解】因為拋物線的方程為，故且.因為，，解得，故，所以，故答案為：5；.【總結提升】1．涉及拋物線幾何性質的問題常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想解題的直觀性．2．求拋物線方程應注意的問題(1)當坐標系已建立時，應根據條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種；(2)要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應關系；(3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準線的距離，利用它的幾何意義來解決問題．【變式1】（2018·北京高考真題（文））已知直線l過點（1,0）且垂直于??軸，若l被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為_________.【答案】【解析】由題意可得，點在拋物線上，將代入中，解得：，，由拋物線方程可得：，焦點坐標為.考點2拋物線的定義及應用【典例5】（2021·湖北黃石市·高三開學考試）拋物線的焦點為F，A，B是拋物線上兩點，且，且中點到準線的距離為3，則線段的中點到準線的距離為（）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【分析】結合拋物線的定義求得，由此求得線段的中點到準線的距離.【詳解】拋物線方程為，則，由于中點到準線的距離為3，結合拋物線的定義可知，即，所以線段的中點到準線的距離為.故選：D【總結提升】1.拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離，注意轉化思想的運用．2.利用拋物線定義可以解決距離的最大和最小問題，該類問題一般情況下都與拋物線的定義有關．實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉化．(1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解．(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決．提醒：利用拋物線定義進行距離轉化的同時，要注意平面幾何知識在其中的重大運用．【變式2】（2021·全國高二課時練習）拋物線的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足，過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最大值為______.【答案】【分析】設，，根據中位線定理以及拋物線定義可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最大值．【詳解】設，，作垂直拋物線的準線于點，垂直拋物線的準線于點.由拋物線的定義，知，.由余弦定理得.又，∴，當且僅當時，等號成立，∴，∴，即的最大值為.故答案為：．考點3直線和拋物線的位置關系【典例6】（2021·浙江高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且，（1）求拋物線的方程；（2）設過點F的直線交拋物線與A?B兩點，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的值后可求拋物線的方程.（2）設，，，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程后可得，求出直線的方程，聯(lián)立各直線方程可求出，根據題設條件可得，從而可求的范圍.【詳解】（1）因為，故，故拋物線的方程為：.（2）設，，，所以直線，由題設可得且.由可得，故，因為，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或.故直線在軸上的截距的范圍為或或.【特別提醒】解決直線與拋物線的位置關系問題的常用方法(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系．(2)有關直線與拋物線相交的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝|xA|＋|xB|＋p或|AB|＝|yA|＋|yB|＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法．提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解．拋物線弦的中點坐標和方程的兩根之和的密切聯(lián)系是解決中點弦問題的關鍵，方程的思想也是解析幾何的核心思想.【變式3】（浙江高考真題）如圖，設拋物線y2（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M.求M的橫坐標的取值范圍.【答案】（Ⅰ）p=2；（Ⅱ）(-∞,0)∪(2，【解析】（Ⅰ）由題意可得，拋物線上點A到焦點F的距離等于點A到直線x=–1的距離，由拋物線的定義得p2（Ⅱ）由（Ⅰ）得，拋物線的方程為y2=4x,F(1,0)，可設因為AF不垂直于y軸，可設直線AF:x=sy+1，(s≠0)，由y2=4x，故y1y2又直線AB的斜率為2tt2-1從而得直線FN:y=-t2-12t(x-1)設M(m,0)，由A，M，N三點共線得2tt于是m=2所以m＜0或m＞2.經檢驗，m＜0或m＞2滿足題意.綜上，點M的橫坐標的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞).【典例7】（2020·浙江省高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點A是橢圓與拋物線的交點，過點A的直線l交橢圓于點B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點坐標；（Ⅱ）若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）當時，的方程為，故拋物線的焦點坐標為；（Ⅱ）設，由，，由在拋物線上，所以，又，，，.由即，所以，，，所以，的最大值為，此時.法2：設直線，.將直線的方程代入橢圓得：，所以點的縱坐標為.將直線的方程代入拋物線得：，所以，解得，因此，由解得，所以當時，取到最大值為.【易錯提醒】直線和拋物線有一個交點有兩種情況：相切以及平行于對稱軸．【變式4】（2017浙江，21）如圖，已知拋物線，點A，，拋物線上的點．過點B作直線AP的垂線，垂足為Q．（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）設直線AP的斜率為k，則，∵，∴直線AP斜率的取值范圍是．（Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標是，因為|PA|==|PQ|=，所以|PA||PQ|=令，因為，所以f(k)在區(qū)間上單調遞增，上單調遞減，因此當k=時，取得最大值．【典例8】（2017·全國高考真題（文））設、為曲線：上兩點，與的橫坐標之和為．（1）求直線的斜率；（2）為曲線上一點，在處的切線與直線平行，且，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設，，則，，，，于是直線AB的斜率；（2）由，得.設，由題設知，解得，于是.設直線的方程為，故線段的中點為，.將代入得.當，即時，.從而.由題設知，即，解得.所以直線的方程為.【變式5】（2019·浙江高考真題）如圖，已知點為拋物線，點為焦點，過點的直線交拋物線于兩點，點在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點，且在點右側.記的面積為.（1）求的值及拋物線的準線方程；（2）求的最小值及此時點的坐標.【答案】（1）1，；（2），.【解析】(1)由題意可得，則，拋物線方程為，準線方程為.(2)設，設直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：，故：，，設點C的坐標為，由重心坐標公式可得：，，令可得：，則.即，由斜率公式可得：，直線AC的方程為：，令可得：，故，且，由于，代入上式可得：，由可得，則，則.當且僅當，即，時等號成立.此時，，則點G的坐標為.【學科素養(yǎng)提升】分類與整合思想1.分類整合思想的含義：分類與整合思想是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略．對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度；分類研究后還要對討論結果進行整合．2.分類與整合思想在解題中的應用(1)由數(shù)學概念引起的分類．有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等．(2)由性質、定理、公式的限制引起的分類討論．有的定理、公式、性質是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調性等．(3)由數(shù)學運算和字母參數(shù)變化引起的分類．如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的限制，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等．(4)由圖形的不確定性引起的分類討論．有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關系等．3.簡化分類討論的策略:(1)消去參數(shù);(2)整體換元;(3)變更主元;(4)考慮反面;(5)整體變形;(6)數(shù)形結合;(7)縮小范圍等.4.分類討論遵循的原則是:不遺漏、不重復,科學地劃分,分清主次,不越級討論.5.解題時把好