2022屆高考數學統(tǒng)考一輪復習-第2章-函數-第6節(jié)-指數與指數函數教案-理-新人教版

2022屆高考數學統(tǒng)考一輪復習第2章函數第6節(jié)指數與指數函數教案理新人教版2022屆高考數學統(tǒng)考一輪復習第2章函數第6節(jié)指數與指數函數教案理新人教版PAGE2022屆高考數學統(tǒng)考一輪復習第2章函數第6節(jié)指數與指數函數教案理新人教版2022屆高考數學統(tǒng)考一輪復習第2章函數第6節(jié)指數與指數函數教案理新人教版年級：姓名：指數與指數函數[考試要求]1.理解有理指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算.2.了解指數函數模型的實際背景，理解指數函數的概念及其單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點，會畫底數為2,3,10，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)的指數函數的圖象.3.體會指數函數是一類重要的函數模型．1．根式(1)n次方根的概念①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．②a的n次方根的表示：xn＝a?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，當n為奇數且n∈N*，n＞1時，,x＝±\r(n,a)，當n為偶數且n∈N*時.))(2)根式的性質①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，n＞1)．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n為偶數.))2．有理數指數冪(1)冪的有關概念①正分數指數冪：aeq\s\up12(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②負分數指數冪：aeq\s\up12(－eq\f(m,n))＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義．(2)有理數指數冪的運算性質①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．提醒：有理數指數冪的運算性質中，要求底數都大于0，否則不能用性質來運算．3．指數函數的概念函數y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，a是底數，指數函數的定義域為R.提醒：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函數叫做指數型函數，不是指數函數．4．指數函數的圖象與性質y＝axa＞10＜a＜1圖象定義域R值域(0，＋∞)過定點(0,1)性質當x＞0時，y＞1；當x＜0時，0＜y＜1當x＞0時，0＜y＜1；當x＜0時，y＞1在R上是增函數在R上是減函數eq\o([常用結論])1．指數函數圖象的畫法畫指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2．指數函數的圖象與底數大小的比較如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內，指數函數y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象越高，底數越大．一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a. ()(2)(－1)eq\s\up12(eq\f(2,4))＝(－1)eq\s\up12(eq\f(1,2))＝eq\r(－1). ()(3)函數y＝aeq\s\up12(x2＋1)(a＞1)的值域是(0，＋∞)． ()(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，則m＜n. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材習題衍生1．若函數f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象經過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，則f(－1)＝________.eq\r(2)[由題意知eq\f(1,2)＝a2，所以a＝eq\f(\r(2),2)，所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(x)，所以f(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(－1)＝eq\r(2).]2．化簡eq\r(4,16x8y4)(x＜0，y＜0)＝________.－2x2y[eq\r(4,16x8y4)＝eq\r(4,2x2y4)＝|2x2y|＝－2x2y.]3．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(－eq\f(1,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(－eq\f(1,4))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－eq\f(3,4))，則a，b，c的大小關系是________．c＜b＜a[∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)是減函數，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(－eq\f(1,3))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(－eq\f(1,4))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(0)，則a＞b＞1，又c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－eq\f(3,4))＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(0)＝1，∴c＜b＜a.]4．某種產品的產量原來是a件，在今后m年內，計劃使每年的產量比上一年增加p%，則該產品的產量y隨年數x變化的函數解析式為________．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)[當x＝1時，y＝a＋ap%＝a(1＋p%)，當x＝2時，y＝a(1＋p%)＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)2，當x＝3時，y＝a(1＋p%)2＋a(1＋p%)2p%＝a(1＋p%)3，……當x＝m時，y＝a(1＋p%)m，因此y隨年數x變化的函數解析式為y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)．]考點一指數冪的化簡與求值指數冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數運算．(2)先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數．(3)底數是負數，先確定符號；底數是小數，先化成分數；底數是帶分數的，先化成假分數．(4)若是根式，應化為分數指數冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數冪的運算性質來解答．1．計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))eq\s\up12(－eq\f(2,3))＋0.002eq\s\up12(－eq\f(1,2))－10(eq\r(5)－2)－1＋π0＝________.－eq\f(167,9)[原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))eq\s\up12(－2)＋500eq\s\up12(eq\s\up12(eq\f(1,2)))－eq\f(10\r(5)＋2,\r(5)－2\r(5)＋2)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).]2．3．已知ab＝－5，則aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))＝________.0[由ab＝－5知a與b異號，∴aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))＝aeq\r(－\f(ab,a2))＋beq\r(－\f(ab,b2))＝eq\f(a\r(5),|a|)＋eq\f(b\r(5),|b|)＝0.]點評：指數冪中當指數為負數時，可把底數變?yōu)槠涞箶?，從而指數化為正數，如eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－eq\f(1,2))＝4eq\s\up12(eq\f(1,2)).考點二指數函數的圖象及其應用指數函數圖象問題的求解策略變換作圖對指數型函數的圖象與性質問題(單調性、最值、大小比較、零點等)的求解往往利用相應指數函數的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象，然后數形結合使問題得解數形結合一些指數型方程、不等式問題的求解，往往利用相應指數型函數圖象數形結合求解[典例1](1)函數f(x)＝ax－b的圖象如圖，其中a，b為常數，則下列結論正確的是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)若曲線y＝|3x－1|與直線y＝m有兩個不同交點，則實數m的取值范圍是________．(1)D(2)(0,1)[(1)由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出，函數f(x)＝ax－b在定義域上單調遞減，所以0＜a＜1.函數f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎上向左平移得到的，所以b＜0.故選D．(2)曲線y＝|3x－1|的圖象是由函數y＝3x的圖象向下平移一個單位長度后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，而直線y＝m的圖象是平行于x軸的一條直線，它的圖象如圖所示，由圖象可得，如果曲線y＝|3x－1|與直線y＝m有兩個公共點，則m的取值范圍是(0,1)．][母題變遷]1．若本例(2)條件變?yōu)椋悍匠?|x|－1＝m有兩個不同實根，則實數m的取值范圍是________．(0，＋∞)[作出函數y＝3|x|－1與y＝m的圖象如圖所示，數形結合可得m的取值范圍是(0，＋∞)．]2．若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮祔＝|3x－1|＋m的圖象不經過第二象限，則實數m的取值范圍是________．(－∞，－1][作出函數y＝|3x－1|＋m的圖象如圖所示．由圖象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．]點評：注意區(qū)分函數y＝3|x|與y＝|3x|y＝3|x|是偶函數，其圖象關于y軸對稱，y＝|3x|不是偶函數，其圖象都在x軸上方，在這里y＝|3x|＝3x.eq\o([跟進訓練])1．已知函數f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點A，下列函數中圖象不經過點A的是()A．y＝eq\r(1－x) B．y＝|x－2|C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)A[易知A(1,1)．經驗證可得y＝eq\r(1－x)的圖象不經過點A(1,1)，故選A．]2．已知實數a，b滿足等式2019a＝2020b①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的關系式有________(填序號)．③④[作出y＝2019x及y＝2020x的圖象如圖所示，由圖可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0時，有2019a＝2020b考點三指數函數的性質及其應用比較指數式的大小比較冪值大小的三種類型及處理方法[典例2－1](1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．b＞c＞a(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有()A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0(1)A(2)B[(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并結合指數函數的圖象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因為a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.綜上，a＞b＞c(2)設函數f(x)＝2x－5－x，易知f(x)為增函數．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.]點評：在比較指數式大小時，看底數能否化為同底是非常重要的一個思維意識．解簡單的指數方程或不等式指數方程或不等式的解法(1)解指數方程或不等式的依據①af(x)＝ag(x)?f(x)＝g(x)．②af(x)＞ag(x)，當a＞1時，等價于f(x)＞g(x)；當0＜a＜1時，等價于f(x)＜g(x)．(2)解指數方程或不等式的方法先利用冪的運算性質化為同底數冪，再利用函數單調性轉化為一般不等式求解．[典例2－2](1)已知實數a≠1，函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x＜0，))若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為________．(2)設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－7，x＜0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)＜1，則實數a的取值范圍是________．(1)eq\f(1,2)(2)(－3,1)[(1)當a＜1時，41－a＝21，解得a＝eq\f(1,2)；當a＞1時，代入不成立．故a的值為eq\f(1,2).(2)若a＜0，則f(a)＜1?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)－7＜1?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)＜8，解得a＞－3，故－3＜a＜0；若a≥0，則f(a)＜1?eq\r(a)＜1，解得a＜1，故0≤a＜1.綜合可得－3＜a＜1.]與指數函數有關的復合函數的單調性、值域1.與指數函數有關的復合函數的單調性形如函數y＝af(x)的單調性，它的單調區(qū)間與f(x)的單調區(qū)間有關：(1)若a＞1，函數f(x)的單調增(減)區(qū)間即函數y＝af(x)的單調增(減)區(qū)間；(2)若0＜a＜1，函數f(x)的單調增(減)區(qū)間即函數y＝af(x)的單調減(增)區(qū)間．即“同增異減”．2．與指數函數有關的復合函數的值域形如y＝af(x)的函數的值域，可先求f(x)的值域再根據函數y＝at的單調性確定y＝af(x)的值域．[典例2－3]已知函數f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2－4x＋3).(1)若a＝－1，求f(x)的單調區(qū)間；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．[解](1)當a＝－1時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－x2－4x＋3)，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上單調遞增，在(－2，＋∞)上單調遞減，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))t在R上單調遞減，所以f(x)在(－∞，－2)上單調遞減，在(－2，＋∞)上單調遞增，即函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(－2，＋∞)，單調遞減區(qū)間是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，則f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(g(x))，由于f(x)有最大值3，所以g(x)應有最小值－1，因此必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(3a－4,a)＝－1，))解得a＝1，即當f(x)有最大值3時，a的值等于1.(3)由指數函數的性質知，要使f(x)的值域為(0，＋∞)，應使y＝ax2－4x＋3的值域為R，因此只能a＝0(因為若a≠0，則y＝ax2－4x＋3為二次函數，其值域不可能為R)．故a的值為0.點評：形如y＝af(x)(a＞0)的函數的定義域就是函數y＝f(x)的定義域．eq\o([跟進訓練])1．若2eq\s\up12(x2＋1)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－2)，則函數y＝2x的值域是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞)B[2eq\s\up12(x2＋1)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－2)?2eq\s\up12(x2＋1)≤24－2x?x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，∴2－3≤2x≤2，即eq\f(1,8)≤y≤2，故選B．]2．已知f(x)＝2x－2－x，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))eq\s\up12(－eq\f(1,4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))eq\s\up12(eq\f(1,5))，則f(a)，f(b)的大小關系是________．f(a)＞f(b)[a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))eq\s\up12(－eq\f(1,4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))eq\s\up12(eq\f(1,4))，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))eq\s\up12(eq\f(1,4))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))eq\s\up12(eq\f(1,5))，即a＞b，又函數f(x)＝2x－2－x是R上的增函數．∴f(a)＞f(b)．]3．函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2＋2x－1)的值域是________．(0,4][設t＝x2＋2x－1，則y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t).因為0＜eq\f(1,2)＜1，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t)為關于t的減函數．因為t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0＜y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2)＝4，故所求函數的值域為(0,4]．]4．函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x＋1)在區(qū)間[－3,2]上的值域是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57))[令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，由x∈[－3,2]得t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，8))，y＝t2－t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)，當t＝eq\f(1,2)時，ymin＝eq\f(3,4)，當t＝8時，ymax＝57，故所求值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57)).]考點四指數型函數的綜合應用指數函數通過平移、伸縮及翻折等變換，或與其他函數進行結合形成復合函數時，我們對這類問題的解決方式是進行還原分離，化繁為簡，借助函數的單調性、奇偶性、對稱性及周期性解決問題．[典例3]已知函數f(x)＝eq\f(2ax－4＋a,2ax＋a)(a＞0且a≠1)是定義在R上的奇函數．(1)求a的值；(2)求函數f(x)的值域；(3)當x∈[1,2]時，2＋mf(x)－2x≥0恒成立，求實數m的取值范圍．[解](1)∵f(x)是R上的奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，即eq\f(2a－x－4＋a,2a－x＋a)＝－eq\f(2