《2.2 30°45°60°角的三角比》知識(shí)清單

《2.230°，45°，60°角的三角比》知識(shí)清單青島版（2012）九年級(jí)上冊(cè)第2章2.230°，45°，60°角的三角比知識(shí)清單一、三角比的概念1、定義在直角三角形中，一個(gè)銳角的三角比是這個(gè)角的對(duì)邊、鄰邊與斜邊之間的比值。比如說(shuō)，對(duì)于一個(gè)直角三角形中的銳角\（A\），＼（＼sinA=＼frac{對(duì)邊}｛斜邊}＼），＼（＼cosA＝＼frac{鄰邊}｛斜邊}＼），＼（＼tanA=＼frac{對(duì)邊}｛鄰邊}＼）。這就好比我們?cè)诮o三角形里的角和邊們“排座次”，看看它們之間的比例關(guān)系。2、特殊角的三角比30°角的三角比在一個(gè)含\（30°＼）角的直角三角形中（這個(gè)三角形很特殊哦，三邊比例是\（1:＼sqrt{3}：2\）），＼（＼sin30°＝＼frac{1}｛2}＼），這就是說(shuō)\（30°＼）角的對(duì)邊是斜邊的一半。＼（＼cos30°＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＼），＼（＼tan30°＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼）。45°角的三角比對(duì)于等腰直角三角形（這個(gè)三角形的兩條直角邊一樣長(zhǎng)），它的銳角是\（45°＼），＼（＼sin45°＝＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼），＼（＼cos45°＝＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼），＼（＼tan45°＝1\）。就好像這個(gè)角的對(duì)邊和鄰邊一樣“厲害”，比例是\（1:1\），所以正切值是\（1\）。60°角的三角比在含\（30°＼）角的直角三角形中，＼（60°＼）角的對(duì)邊是\（＼sqrt{3}＼），斜邊是\（2\），鄰邊是\（1\），所以\（＼sin60°＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＼），＼（＼cos60°＝＼frac{1}｛2}＼），＼（＼tan60°＝＼sqrt{3}＼）。二、三角比的計(jì)算與應(yīng)用1、計(jì)算當(dāng)我們計(jì)算含有特殊角三角比的式子時(shí)，就直接把特殊角的三角比值代入式子就行。比如說(shuō)計(jì)算\（＼sin^｛2}30°＋＼cos^｛2}30°＼），我們知道\（＼sin30°＝＼frac{1}｛2}＼），＼（＼cos30°＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＼），那么\（＼sin^｛2}30°＋＼cos^｛2}30°＝（＼frac{1}｛2}）＾｛2}＋（＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}）＾｛2}＝＼frac{1}｛4}＋＼frac{3}｛4}＝1\）。這就像把合適的零件安裝到機(jī)器里一樣，把三角比值代入式子計(jì)算。2、應(yīng)用在解決實(shí)際問(wèn)題中，比如測(cè)量建筑物的高度。如果我們知道一個(gè)角度（比如\（30°＼）或者\(yùn)（45°＼）或者\(yùn)（60°＼））和一個(gè)距離，就可以利用特殊角的三角比來(lái)計(jì)算建筑物的高度。假設(shè)我們?cè)陔x建筑物底部一定距離\（a\）的地方，測(cè)量到仰角是\（45°＼），那么建筑物的高度\（h＝a\times\tan45°＝a\）（因?yàn)閈（＼tan45°＝1\））。這就像用一把特殊的尺子（三角比）去測(cè)量那些不容易直接測(cè)量的東西。三、三角比之間的關(guān)系1、平方關(guān)系對(duì)于任意銳角\（A\），都有\(zhòng)（＼sin^｛2}A+＼cos^｛2}A＝1\）。這就像一對(duì)好伙伴，不管\（A\）這個(gè)角怎么變，它們倆的平方和總是\（1\）。比如說(shuō)\（A＝30°＼），＼（＼sin^｛2}30°＋＼cos^｛2}30°＝＼frac{1}｛4}＋＼frac{3}｛4}＝1\）。2、商數(shù)關(guān)系＼（＼tanA=＼frac{＼sinA}｛＼cosA}＼），這就像是\（＼sinA\）和\（＼cosA\）商量好了，它們相除就得到\（＼tanA\）。例如，當(dāng)\（A＝60°＼）時(shí)，＼（＼sin60°＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＼），＼（＼cos60°＝＼frac{1}｛2}＼），那么\（＼tan60°＝＼frac{＼sin60°｝｛＼cos60°｝＝＼frac{＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}｝｛＼frac{1}｛2}｝＝＼sqrt{3}＼）。四、習(xí)題1、計(jì)算\（＼sin60°＼cos30°＼cos60°＼sin30°＼）。2、已知一個(gè)直角三角形中，一個(gè)銳角\（A\）的\（＼sinA=＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼），求\（＼cosA\）和\（＼tanA\）。3、在一個(gè)等腰直角三角形中，直角邊為\（a\），求斜邊上的高（用\（a\）表示）。答案1、因?yàn)閈（＼sin60°＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＼），＼（＼cos30°＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＼），＼（＼cos60°＝＼frac{1}｛2}＼），＼（＼sin30°＝＼frac{1}｛2}＼），所以\（＼sin60°＼cos30°＼cos60°＼sin30°＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＼times\frac{＼sqrt{3}｝｛2}＼frac{1}｛2}＼times\frac{1}｛2}＝＼frac{3}｛4}＼frac{1}｛4}＝＼frac{1}｛2}＼）。2、因?yàn)閈（＼sin^｛2}A+＼cos^｛2}A＝1\），＼（＼sinA=＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼），所以\（＼cosA=＼sqrt{1＼sin^｛2}A}＝＼sqrt{1（＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}）＾｛2}｝＝＼sqrt{1-＼frac{2}｛4}｝＝＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼），＼（＼tanA=＼frac{＼sinA}｛＼cosA}＝＼frac{＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}｝｛＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}｝