第5章 投影變換

第2章制圖的基本知識第3章點、線、面的投影第4章線面幾何元素間的相對位置第5章投影變換第6章曲線與曲面第7章基本立體第8章平面截切立體第10章

組合體第11章軸測圖第12章建筑形體的表達方法第13章透視投影第14章標高投影第15章計算機繪圖第1章

緒論

第9章

兩立體相貫第5章

投影變換5.1投影變換概述5.2點的投影變換5.3投影變換的四種基本應(yīng)用第5章投影變換5.4解題舉例【知識目標】

1.明確投影變換的目的及換面法的作圖規(guī)律；2.熟練掌握換面法幾種基本作圖的原理和方法；

3.能夠運用換面法求直線的實長和傾角、平面的實形和傾角、直線與平面定位和度量等作圖問題?！灸芰δ繕恕?/p>

能夠應(yīng)用換面法將生產(chǎn)實際中遇到的復雜問題簡化為點、線、面、體等幾何元素間的定位和度量問題，并將之有效解決。第5章

投影變換返回本章目錄5.1

投影變換概述如何求一般位置直線的實長？如何求一般位置平面的實形？如何求一般位置直線與一般位置平面的交點？如何求兩一般位置平面的交線？第5章

投影變換返回本章目錄5.1

投影變換概述如何求一般位置直線的實長？如何求一般位置平面的實形？如何求一般位置直線與一般位置平面的交點？如何求兩一般位置平面的交線？——將直線轉(zhuǎn)換成投影面的平行線——將平面轉(zhuǎn)換成投影面的平行面——將一般位置平面轉(zhuǎn)換成投影面的垂直面——將其中一個平面轉(zhuǎn)換成投影面的垂直面改變幾何元素相對投影面的位置，會簡化問題的解決。第5章

投影變換返回本章目錄投影變換——對于投影體系中處于空間一般位置的幾何元素，可設(shè)想構(gòu)造一個新投影體系，使原有幾何元素在新投影體系中處于平行或垂直于某一投影面的特殊位置，以達到簡化解題的目的。這種改變空間幾何元素、投影面、投射方向之間的相對位置關(guān)系以達到便于圖解空間幾何問題的方法。5.1

投影變換概述第5章

投影變換返回本章目錄

空間幾何元素的位置不變，通過更換投影面，使空間幾何元素相對于新的投影面處于利于解題的位置，這種投影變換方法稱為換面法。

右圖中，在V/H投影體系中直線AB為一般位置，如果用與H面垂直且與直線AB平行的新投影面V1代替V面，與H面構(gòu)成新投影體系V1/H，此時AB//V1，其V1面投影a1'b1'反映直線AB的實長。換面法5.1

投影變換概述第5章

投影變換返回本章目錄投影面保持不變，空間幾何元素繞設(shè)定的軸旋轉(zhuǎn)，使空間幾何元素相對于投影面處于利于解題的位置，這種投影變換方法稱為旋轉(zhuǎn)法。如圖所示，V/H投影體系保持不變，將空間一般位置直線AB繞過B點的鉛垂線旋轉(zhuǎn)到與V面平行的位置，AB變換成正平線，其V面投影a1'b'反映直線AB的實長。本章僅介紹換面法的基本原理、作圖方法及應(yīng)用。5.1

投影變換概述第5章

投影變換返回本章目錄旋轉(zhuǎn)法使用換面法，新投影面的選擇必須遵循兩個原則：（1）新投影面必須垂直于原投影體系中不變換的投影面。右圖中，新投影面V1⊥H。（2）新投影面必須使空間幾何元素在新投影體系中處于利于解題的位置。右圖中，新投影面V1//AB，直線AB在V1面上的投影a1'b1'反映直線AB實長。換面法的原則5.1

投影變換概述第5章

投影變換返回本章目錄用新的鉛垂面V1代替V面，與H面組成新投影體系V1/H。將空間點A向V1面投射，得到點A在V1面上的投影a1'，則a1'與a'、a的關(guān)系如下：（1）a1'與a的連線垂直于O1X1軸；（2）a'到OX軸的距離=a1'到O1X1軸的距離=點A到H面的距離。5.2.1

點的一次投影變換5.2

點的投影變換第5章

投影變換返回本章目錄空間點的投影面變換滿足以下規(guī)律：（1）在新投影面體系中，空間點的兩個投影連線垂直于新投影軸；（2）新的投影到新投影軸的距離，等于舊投影體系中被更換的投影到舊投影軸的距離。5.2

點的投影變換第5章

投影變換5.2.1

點的一次投影變換返回本章目錄更換V面的投影變換作圖過程：①畫出O1X1軸；②從a向O1X1軸作垂線并延長；③在延長線上量取長度zA，確定a1'的位置。5.2

點的投影變換第5章

投影變換5.2.1

點的一次投影變換返回本章目錄更換H面的投影變換作圖過程：①畫出O1X1軸；②從b’向O1X1軸作垂線并延長；③在延長線上量取長度yB，確定b1的位置。5.2

點的投影變換第5章

投影變換5.2.1

點的一次投影變換返回本章目錄畫出O1X1軸，用V1面代替V面，完成點A在V1面上的投影a1’;畫出O2X2軸，用H2面代替H面，從a1’向O2X2軸作垂線并延長；量取aaX1=a2aX2，確定a2的位置。5.2

點的投影變換第5章

投影變換5.2.2

點的二次投影變換返回本章目錄5.3

投影變換的四種應(yīng)用5.3.1一般位置直線變換為投影面平行線5.3.2投影面平行線變換為投影面垂直線5.3.3一般位置平面變換為投影面垂直面5.3.4投影面垂直面變換為投影面的平行面第5章

投影變換返回本章目錄5.3.1

一般位置直線變換為投影面平行線一般位置直線經(jīng)過一次變換，可成為投影面的平行線。新投影面V1垂直于投影面H且平行于直線AB。新投影體系V1/H內(nèi)，

a1’b1’反映直線的實長，a1’b1’與O1X1軸的夾角，反映AB直線與水平投影面H的傾角α。5.3

投影變換的四種應(yīng)用第5章

投影變換返回本章目錄5.3.2

投影面平行線變換為投影面垂直線投影面平行線經(jīng)過一次變換，可成為投影面垂直線。直線AB在新投影體系V1/H中是垂直于V1面的直線。作圖過程：先畫出與水平面投影ab垂直的新投影軸X1，再作出直線的新投影a1’b1’。此時，a1’b1’應(yīng)積聚成為一點b1’(a1’)。5.3

投影變換的四種應(yīng)用第5章

投影變換返回本章目錄5.3.3

一般位置平面變換為投影面垂直面一般位置平面經(jīng)過一次變換，可成為投影面垂直面。新投影面V1既垂直于平面ΔABC，又垂直于投影面H，因此，V1必須垂直于ΔABC平面內(nèi)的一條水平線。作ΔABC平面內(nèi)的水平線BD，將BD變換為新投影體系V1/H中垂直于V1面的垂直線，平面ΔABC就變換成V1/H中的正垂面，其在V1面內(nèi)的投影積聚為直線a'1c'15.3

投影變換的四種應(yīng)用第5章

投影變換返回本章目錄5.3.4

投影面垂直面變換為投影面平行面投影面垂直面經(jīng)過一次變換，可成為投影面平行面。分析：新投影面V1平行于鉛垂面ΔABC，ΔABC在平行于V1，其在V1面的投影反映實形。作圖過程：在H面作與其投影平行的新投影軸X1，再作出ΔABC三個頂點在V1面上的新投影，連接后得△a1’b1’

c1‘，即反映鉛垂面ΔABC的實形。5.3

投影變換的四種應(yīng)用第5章

投影變換返回本章目錄5.4

解題舉例【例5-1】已知一般位置平面ΔABC的H和V面投影，求ΔABC與V面的夾角β及ΔABC實形。分析：

ABC是一般位置平面，求其與V面的夾角β只需要將

ABC通過一次投影變換，將其變換為鉛垂面；求

ABC實形的實質(zhì)是求其在與其平行的投影面上投影，因此需通過二次投影變換，即先將

ABC變換為投影面垂直面，再變換為投影面平行面。第5章

投影變換返回本章目錄第一步：將平面ΔABC變換為新投影面的垂直面，平面ΔABC的投影積聚為直線a1c1，直線a1c1與X1軸的夾角即為ΔABC與V面的夾角β。5.4

解題舉例第5章

投影變換返回本章目錄第二步：通過第二次投影變換，把投影面垂直面變換為投影面平行面，即可得到平面ΔABC的實形，即△a'2b'2c'2。第5章

投影變換返回本章目錄5.4

解題舉例【例5-2】已知一般位置直線MN和一般位置平面ΔABC的H和V面投影，試求它們交點K，并進行可見性判斷。分析：根據(jù)投影原理可知，當平面垂直于某一投影面時，平面在該投影面上的投影有積聚性，能直接反映出該平面與直線相交時交點的投影。因此，通過投影面變換，將一般位置平面ΔABC變換為投影面垂直面，即可求得直線MN與平面ΔABC的交點K。5.4

解題舉例第5章

投影變換返回本章目錄第一步：將平面ΔABC變換為垂直于新投影面V1的投影面垂直面，則其投影a’1c’1與直線投影m’1n’1的交點k’1就是空間直線MN與平面ΔABC的交點K在V1面上的投影。5.4

解題舉例第5章

投影變換返回本章目錄第二步：運用直線上點的投影特性，在原投影體系中直線MN的投影上，依次求得交點K的H面投影k和V面投影k'。第三步：利用重影點進行直線MN的可見性判斷。第5章

投影變換返回本章目錄5.4

解題舉例分析1：供水管和排污管的軸線可以看作空間兩條交叉的直線AB和CD，求供水管和排污管的最短凈距離可簡化為求解兩條交叉直線AB和CD的公垂線KL實長，然后減去供水管和排污管的半徑。5.4

解題舉例第5章

投影變換返回本章目錄【例5-3】求某生活小區(qū)的供水管和排污管的最短凈距離。分析2：當交叉兩直線中有一直線垂直于投影面時，則在該投影面上的投影積聚成一點，從該點作另一直線投影的垂線，這條垂線就是兩條直線的公垂線。這條公垂線平行于這個投影面，其投影直接反映出公垂線的實長。因此，本題的關(guān)鍵在于是將一般位置直線變換為投影面垂直線。5.4

解題舉例第5章

投影變換返回本章目錄第一步：經(jīng)過兩次投影變換，將一般位置直線AB就變換為投影面垂直線，直線AB在H2面的投影積聚為點b2（a2），且AB公垂線的一端K2也積聚在這點上。第5章

投影變換返回本章目錄5.4

解題舉例第二步：過點k2作直線k2l2垂直于c2d2，交c2d2于點l2,則k2l2就是兩直線AB和CD的公垂線KL在H2面上的投影，其投影長度反映公垂線KL的實長。第三步：公垂線KL的實長減去供水管和排污管的半徑，即可得到供水管和排污管的最短凈距離。5.4

解題舉例第5章

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