2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章計數(shù)原理6.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)課時作業(yè)含解析新人教A版選擇性必修第三冊

課時作業(yè)(六)二項式系數(shù)的性質(zhì)[練基礎(chǔ)]1．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)綻開式的二項式系數(shù)之和為64，則綻開式的常數(shù)項為()A．10B．20C．30D．1202.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(11)的綻開式中二項式系數(shù)最大的項是()A．第3項B．第6項C．第6、7項D．第5、6項3．若(x＋3y)n的綻開式中的系數(shù)之和等于(7a＋b)10的綻開式中的各二項式系數(shù)之和，則n的值為()A．5B．8C．10D．154.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)的綻開式中第8項是常數(shù)，則綻開式中系數(shù)最大的項是()A．第8項B．第9項C．第8項和第9項D．第11項和第12項5．在(x－2)6的綻開式中，二項式系數(shù)的最大值為a，x5的系數(shù)為b，則eq\f(a,b)＝()A．eq\f(5,3)B．－eq\f(5,3)C．eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)6．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，則a0＋a1＋a2＋…＋a5＝()A．32B．1C．－243D．1或－2437.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,x)))eq\s\up12(n)綻開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則綻開式中的常數(shù)項是________．8．已知(2－x2)(1－ax)3的綻開式的全部項系數(shù)之和為27，則實數(shù)a＝________，綻開式中含x2項的系數(shù)是________．9．若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，則a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值為________．10．已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，其中a2＝21.(1)求n的值；(2)求3a1＋32a2＋33a3＋…＋3nan的值．[提實力]11．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(n)(a>0)的綻開式的第五、六項的二項式系數(shù)相等且最大，且綻開式中x2項的系數(shù)為84，則a的值為()A．2B．1C．eq\f(1,5)D．eq\f(3,10)12．已知(1＋2x)2n的綻開式中奇次項系數(shù)之和等于364，那么綻開式中二項式系數(shù)最大的項是()A．第3項B．第4項C．第5項D．第6項13．若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(a,\r(x))))eq\s\up12(n)的綻開式中全部二項式系數(shù)的和為64，綻開式中的常數(shù)項為－160，則a＝________．14．二項綻開式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a4＝________，a1＋a3＋a5＝________．15．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))eq\s\up12(n)(n∈N*)的綻開式中全部偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為64.(1)求綻開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))eq\s\up12(n)綻開式中的常數(shù)項．[戰(zhàn)疑難]16．若(2x＋4)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n(n∈N*)，則a2＋a4＋…＋a2n被3除的余數(shù)是________．課時作業(yè)(六)1．解析：由2n＝64，得n＝6，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(6)的綻開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))x6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))x6－2k(0≤k≤6，k∈N).由6－2k＝0，得k＝3，∴T4＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＝20.故選B.答案：B2．解析：因為11為奇數(shù)，所以綻開式正中間兩項的二項式系數(shù)最大，即第6、7項的二項式系數(shù)最大．故選C.答案：C3．解析：(7a＋b)10的綻開式中的各二項式系數(shù)之和為210.對于(x＋3y)n，令x＝1，y＝1，則由題意，知4n＝210，解得n＝5.故選A.答案：A4．答案：D5．解析：在(x－2)6的綻開式中，二項式系數(shù)的最大值為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＝20，即a＝20，其綻開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))x6－k·(－2)k，令6－k＝5，則k＝1，可得x5的系數(shù)b＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))×(－2)1＝－12，所以eq\f(a,b)＝eq\f(20,－12)＝－eq\f(5,3).故選B.答案：B6．解析：(a－x)5綻開式的通項為Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5))a5－kxk，令k＝2，得a2＝10a3，由題可知10a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.故選B.答案：B7．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,x)))eq\s\up12(n)的綻開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，故n為偶數(shù)，綻開式共有9項，故n＝8.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,x)))eq\s\up12(n)即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,x)))eq\s\up12(8)，它的綻開式的通項公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(8))·(－1)k·xeq\f(8－4k,3)，令eq\f(8－4k,3)＝0，求得k＝2，則綻開式中的常數(shù)項是Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))＝28.答案：288．解析：已知(2－x2)(1－ax)3的綻開式的全部項系數(shù)之和為27，將x＝1代入表達(dá)式得到(1－a)3＝27?a＝－2，綻開式中含x2的項的系數(shù)是2×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×22＋(－1)×Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝23.答案：－2239．解析：令x＝0，則a0＝1，令x＝2，a0＋2a1＋22a2＋…＋29a9＝39，∴2a1＋22a2＋…＋29a9＝39－1.答案：39－110．解析：(1)因為T3＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))(－x)2＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))x2，由a2＝21，得Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝21，解得n＝7；(2)令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得(1－3)7＝1＋3a1＋32a2＋33a3＋…＋3nan，所以3a1＋32a2＋33a3＋…＋3nan＝(－2)7－1＝－129.11．解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(n)(a>0)的綻開式的第五、六項的二項式系數(shù)相等且最大，∴n＝9，又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(9)的綻開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(9))a9－kxeq\s\up9(\f(9－k,2))x－eq\f(k,3)＝a9－kCeq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(9))xeq\s\up9(\f(27－5k,6))，∴令eq\f(27－5k,6)＝2，解得k＝3，∵綻開式中x2項的系數(shù)為84，∴a6Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))＝84，解得a＝1或a＝－1(舍去)，故選B.答案：B12．解析：設(shè)(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，則綻開式中奇次項系數(shù)之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分別令x＝1，x＝－1，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＝32n，,a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝1，))兩式相減，整理得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝eq\f(32n－1,2).由已知，得eq\f(32n－1,2)＝364，∴32n＝729＝36，∴n＝3，故(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的綻開式共有7項，中間一項的二項式系數(shù)最大，即第4項的二項式系數(shù)最大，故選B.答案：B13．解析：由題設(shè)可得2n＝64，則n＝6.由于綻開式的通項是Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))26－kxeq\f(1,2)(6－k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－ax－\f(1,2)))eq\s\up12(k)＝(－a)k26－kCeq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))x3－k，令3－k＝0，可得k＝3，則(－a)3·26－3·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＝－160，即a3Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＝20，即a3＝1，所以a＝1.答案：114．解析：Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5))2kxk，∴a4＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))24＝80，a1＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))21＝10，a3＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))23＝80，a5＝Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))25＝32，∴a1＋a3＋a5＝10＋80＋32＝122.答案：8012215．解析：(1)由綻開式中全部的偶數(shù)項二項式系數(shù)和為64，得2n－1＝64，所以n＝7所以綻開式中二項式系數(shù)最大的項為第四項和第五項．因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))eq\s\up12(7)的綻開式的通項公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(7))(2x2)7－k(－1)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(7))27－k(－1)kx14－3k，所以f(x)的綻開式中二項式系數(shù)最大的項為T4＝－500x5，T5＝280x2.(2)由(1)知n＝7，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))eq\s\up12(7)的綻開式中x－1項為T6＝－eq\f(84,x)，x2項為T5＝280x2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al