河北省衡水市阜城縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

高二10月份月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（每題5分）1.已知圓：，則圓心的坐標和半徑分別為（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓一般方程與標準方程的互化即可求解.【詳解】由題意知，圓的標準方程為,所以圓心坐標為，半徑.故選：C2.若直線的傾斜角為，則實數(shù)m值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將直線方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直線的斜率定義即可求得m值.【詳解】由題知，，解得.故選：A.3.直線與直線的位置關(guān)系是A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合【答案】A【解析】【詳解】試題分析：直線斜率,在軸上的截距為.直線的斜率,在軸上的截距為.由兩斜率相等可知兩直線平行,在軸上的截距不等可排除重合.故本題選A．考點：兩直線的位置關(guān)系.4.經(jīng)過圓的圓心且與直線垂直的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圓的圓心坐標，根據(jù)所求直線與垂直，求其斜率，根據(jù)點斜式寫出直線方程.【詳解】圓的圓心的坐標為，設(shè)所求直線斜率為，因為所求直線與直線垂直，所以，故，所以直線方程為，即故選：D.5.若點在圓外，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過方程表示圓及點在圓外，構(gòu)造不等式求解即可.【詳解】由，化為標準方程可得：，則，即，①又在圓外，可得：，解得：或，②由①②取交集可知，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.6.點，點在軸上，則的最小值為（）A. B.5 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】求得關(guān)于軸的對稱點，根據(jù)三點共線時取到最小值，進一步計算即可求解【詳解】如圖所示，關(guān)于軸的對稱點為,則,當(dāng)三點共線時等號成立，又,故的最小值為5,故選：B.7.已知平行六面體的各棱長均為1，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】選擇為空間向量的基底，表示出，借助空間向量的數(shù)量積求的模.【詳解】取為空間向量的基底，因為，，，所以，.因為，所以，所以.故選：B8.已知直線，若直線與連接、兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線過定點，即可根據(jù)斜率公式求解邊界線的斜率，即可根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】直線的方程可得，所以，直線過定點，設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，因為直線的斜率為，直線的斜率為，因為直線經(jīng)過點，且與線段總有公共點，所以，即，因為，所以或，故直線的傾斜角的取值范圍是．故選：D．二、多選題（每題6分）9.已知直線，則（）A.的傾斜角為B.與兩坐標軸圍成的三角形面積為C.原點到的距離為1D.原點關(guān)于的對稱點為【答案】BCD【解析】【分析】對于A：根據(jù)直線方程直接可得斜率，即可得傾斜角；對于B：先求直線與兩坐標軸的交點坐標，即可得結(jié)果；對于C：利用點到直線的距離公式運算求解；對于D：設(shè)原點關(guān)于的對稱點為，根據(jù)垂直關(guān)系以及中點列式求解即可.【詳解】對于選項A：因為直線的斜率為，所以其傾斜角為，故A錯誤；對于選項B：因為直線與兩坐標軸的交點分別為，所以與兩坐標軸圍成的三角形面積為；對于選項C：原點到的距離，故C正確；對于選項D：設(shè)原點關(guān)于的對稱點為，則，解得，所以原點關(guān)于對稱點為，故D正確；故選：BCD.10.已知直線（）A.若，則或2B.原點O到直線的最大距離為C若，則或D.不過第二象限則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)兩直線一般式平行和垂直滿足的系數(shù)關(guān)系，即可判斷AC，根據(jù)直線過定點，即可根據(jù)點點距離求解B，根據(jù)直線無斜率時，可判斷D.【詳解】對于A，若，則且，解得，故A錯誤，對于B，由于變形為，故其恒過點，因此原點O到直線的最大距離為,B正確，對于C，若，則，解得或，C正確，對于D，若不過第二象限，當(dāng)無斜率時，，此時直線為，滿足不經(jīng)過第二象限，故可以為0，故D錯誤，故選：BC11.下列說法正確的是（）A.若空間中的，滿足，則三點共線B.空間中三個向量，若，則共面C.對空間任意一點和不共線的三點，若，則四點共面D.設(shè)是空間的一組基底，若，則不能為空間的一組基底【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算可判斷；根據(jù)向量的共面定理可判斷.【詳解】若空間中的，滿足，即，根據(jù)向量共線的推論，則三點共線，正確；，則共線，對于任意向量必與共面，正確；對空間任意一點和不共線的三點，若，又，則四點共面，正確；因為看作立方體中三條相鄰的棱，易知與不共面，所以能作為空間的一組基底，錯誤；故選：.三、填空題（每題5分）12.若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離為______．【答案】##【解析】【分析】由兩線平行求得，再應(yīng)用平行線的距離公式求兩條直線間的距離.【詳解】由兩線平行知：，即直線與平行，所以它們的距離為.故答案為：13.直線l過點，其傾斜角是直線的傾斜角的，則直線l的方程為___________.【答案】【解析】【分析】先求出直線l的傾斜角和斜率，即可求出直線l的方程.【詳解】直線的斜率為，其傾斜角為.所以直線l的傾斜角為，其斜率為：.又直線l過點，所以直線l:.即直線l:.故答案為：14.在空間直角坐標系中已知，，，為三角形邊上的高，則__________．【答案】3【解析】【分析】應(yīng)用空間向量法求點到直線距離.【詳解】，，則，，所以，故答案為：3四、解答題（共77分）15.已知的頂點坐標分別是，，．（1）求的外接圓方程；（2）求的面積．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）設(shè)圓的一般方程為，代入求解,即可求解；（2）求出，直線方程，利用點到直線距離求解面積.【小問1詳解】設(shè)圓的方程為，則將，，三點代入可得解得，，所以所求圓的方程為【小問2詳解】由題意得，所以即，點到直線的距離為所以．16.求滿足下列條件的直線方程.（1）過點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程；（2）已知，，兩直線，交點為，求過點且與距離相等的直線方程.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）依題意，考慮截距相等包括均為0和相等且不為0兩種情況分類求解；（2）先求得兩直線的交點坐標，由題意，分別求與直線平行的直線方程和經(jīng)過的中點的直線方程即可.【小問1詳解】當(dāng)直線過原點時，可得所求直線為，即，滿足題意；當(dāng)直線不過原點時，依題意可設(shè)直線的方程為，其中，代入，可得，解得，所以所求直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或.【小問2詳解】由題意，聯(lián)立方程組，解得，即得，當(dāng)直線過點且與平行，可得，即直線的斜率，故直線的方程，即；當(dāng)直線過點和中點時，因為，，可得，則，所以直線的方程，即，綜上，滿足條件的直線方程為或.17.在棱長為4的正方體中，點在棱上，且.（1）求點到平面距離；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建系，由點到面距離的向量法求解即可；（2）求得兩平面法向量，代入夾角公式即可求解.【小問1詳解】在正方體中，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系.由正方體棱長為4，且，得，，，，，則.設(shè)平面的法向量為，則所以取，則，則點到平面的距離.【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，則所以取，則，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的正弦值為.18.已知圓心為C的圓經(jīng)過，兩點，且圓心C在直線上.（1）求圓C的標準方程；（2）設(shè)P為圓C上的一個動點，O為坐標原點，求OP的中點M的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)圓心C的坐標為，可得，結(jié)合條件可得，進而求得圓心的坐標，半徑，即得；（2）設(shè)，，進而可得，然后代入圓的方程，化簡求得點的軌跡方程.【小問1詳解】設(shè)圓心C的坐標為，半徑為r，∵圓心C在直線上，∴，∵圓C經(jīng)過，兩點，∴，即，化簡得：，又，所以，∴圓心C的坐標為，，所以圓C的標準方程為：；【小問2詳解】設(shè)，，∵M為OP的中點，∴，∴，∵P在圓C上，∴，即，∴OP的中點M的軌跡方程為.19.如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點.（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，且【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面