四川省成都市東部新區(qū)2024-2025學年上學期九年級數(shù)學期中試卷

2024-2025學年四川省成都市東部新區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，答案涂在答題卡上）1．（4分）如果，則A． B． C． D．2．（4分）方程的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為A．12 B．12或15 C．15 D．不能確定3．（4分）如圖，△中，點、分別在、邊上，則下列條件中，不一定能使△△的是A． B． C． D．4．（4分）某一時刻，身高的小明在陽光下的影長是，同一時刻同一地點測得某旗桿的影長是，則該旗桿的高度是A． B． C． D．5．（4分）如圖，在△中，點、分別在、邊上，且，若，，則等于A．3 B．4 C．6 D．86．（4分）△△，且，若△面積為4，則△的面積是A．4 B．6 C．9 D．187．（4分）是線段上一點，且滿足，則稱點是線段的黃金分割點．大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割點”．如圖，一片樹葉的葉脈長度為，為的黃金分割點，求葉柄的長度．設，則符合題意的方程是A． B． C． D．8．（4分）如圖，矩形中，分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，作直線分別交，于點，，連接，若，，以下結論錯誤的是A． B． C． D．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案涂在答題卡上）9．（4分）若線段、、、是成比例線段，且，，，則．10．（4分）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是．11．（4分）某魚塘養(yǎng)了1000條草魚、500條鯉魚、若干條鯽魚，魚塘主通過多次捕撈試驗發(fā)現(xiàn)，捕撈到鯽魚的頻率穩(wěn)定在0.25左右．若魚塘主隨機在魚塘里捕撈一條魚，捕撈到草魚的概率約為．12．（4分）菱形的交于，，，則，面積．13．（4分）如圖，取一張長為，寬為的矩形紙片，將它對折兩次后得到一張小矩形紙片，若要使小矩形紙片與原矩形紙片相似，則．三、解答題（本大題共5個小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）14．（12分）解方程：（1）；（2）．15．（8分）某學校擬舉辦演講比賽、文藝匯演、書畫展覽、知識競賽四種活動，為了解學生對活動的喜愛情況，學校隨機抽取了200名學生進行調查（每人只能選擇一種方案），將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)以下兩幅圖所給的信息解答下列問題．（1）在抽取的200名學生中，選擇“演講比賽”的人數(shù)為，在扇形統(tǒng)計圖中，的值為；（2）根據(jù)本次調查結果，估計全校2000名學生中選擇“文藝匯演”的學生大約有多少人？（3）現(xiàn)從喜愛“知識競賽”的四名同學、、、中，任選兩名同學參加學校知識競賽，請用樹狀圖或列表法求出同學參加的概率．16．（8分）在公園有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一堵與地面互相垂直的墻，且圓柱與墻的距離皆為120公分．敏敏觀察到高度90公分矮圓柱的影子落在地面上，其影長為60公分；而高圓柱的部分影子落在墻上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與墻面互相垂直，并視太陽光為平行光，在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下，請回答下列問題：（1）若敏敏的身高為150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，則影長為多少公分？（2）若同一時間量得高圓柱落在墻上的影長為150公分，則高圓柱的高度為多少公分？請詳細解釋或完整寫出你的解題過程，并求出答案．17．（10分）問題背景：一次數(shù)學綜合實踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關于三角形角平分線的一個結論．如圖①，已知是的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖②，過點作，交的延長線于點，構造相似三角形來證明嘗試證明：（1）請參照小慧提供的思路，利用圖②證明：．應用拓展：（2）如圖③，在中，，是邊上一點．連接，將沿所在直線折疊，點恰好落在邊上的點處．若，，求的長18．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與，軸交于點，，點為線段上一點，且．（1）求點坐標及直線的解析式；（2）為軸上一個動點，當時，求點坐標；（3）為直線上一個動點，為坐標系內一點，當以，，，四個點為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點坐標．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案涂在答題卡上）19．（4分）若是方程的一個根，則的值為．20．（4分）如圖，過矩形的對角線上一點分別作矩形兩邊的平行線與，那么圖中矩形的面積與矩形的面積的大小關系是；（填“”或“”或“”21．（4分）關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且關于的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)的和為．22．（4分）如圖，個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點，，，為邊，，，，的中點，△的面積為，△的面積為，△的面積為，則．23．（4分）如圖，是等邊三角形，矩形的頂點在邊上，且，，連接、、，若將矩形繞點旋轉一周，當最小時，則．二.解答題（本大題共3個小題，共30分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）24．（8分）2024年巴黎奧運會順利閉幕，吉祥物“弗里熱”深受奧運迷的喜愛，一商場以20元的進價進一批“弗里熱”紀念品，以30元每個的價格售出，每周可以賣出500個，經過市場調查發(fā)現(xiàn)，價格每漲10元，就少賣100個．（1）若商場計劃一周的利潤達到8000元，并且更大優(yōu)惠讓利消費者，售價應定為多少錢？（2）商場改變銷售策略，在不改變（1）的銷售價格基礎上，銷售量穩(wěn)步提升，兩周后銷售量達到了484個，求這兩周的平均增長率．25．（10分）在四邊形中，，，分別為邊，上的兩點，連接，相交于點，且滿足．（1）【基礎運用】如圖1，當四邊形為矩形時，求證：；（2）【類比探究】如圖2，當四邊形為平行四邊形時，試問（1）的結論是否依然成立？并說明理由；（3）【拓展遷移】如圖3，已知，為的中點，，，，若，求的長．26．（12分）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，直線分別交軸、軸于點、，過點的直線交軸正半軸于點．（1）求點坐標；（2）如圖1，點為線段上一點（不與點、重合），連接，過點作交于點，連接，設點橫坐標為，△的面積為，求與之間的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）如圖2，在（2）的條件下，連接，點第四象限內一點，連接、、，且軸，，點在線段上，延長至點，使，連接，若，，求點的坐標．

2024-2025學年四川省成都市東部新區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，答案涂在答題卡上）1．（4分）如果，則A． B． C． D．【解答】解：，．故選：．2．（4分）方程的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為A．12 B．12或15 C．15 D．不能確定【解答】解：解方程，得，當?shù)诪?，腰為3時，由于，不符合三角形三邊關系等腰三角形的腰為6，底為3周長為故選：．3．（4分）如圖，△中，點、分別在、邊上，則下列條件中，不一定能使△△的是A． B． C． D．【解答】解：，、若添加，可利用兩角法判定△△，故本選項錯誤；、若添加，可利用兩角法判定△△，故本選項錯誤；、若添加，可利用兩邊及其夾角法判定△△，故本選項錯誤；、若添加，不能判定△△，故本選項正確；故選：．4．（4分）某一時刻，身高的小明在陽光下的影長是，同一時刻同一地點測得某旗桿的影長是，則該旗桿的高度是A． B． C． D．【解答】解：設該旗桿的高度為，根據(jù)題意得，，解得．即該旗桿的高度是．故選：．5．（4分）如圖，在△中，點、分別在、邊上，且，若，，則等于A．3 B．4 C．6 D．8【解答】解：，，，，，故選：．6．（4分）△△，且，若△面積為4，則△的面積是A．4 B．6 C．9 D．18【解答】解：△△，且，△面積為4，，△的面積是9．故選：．7．（4分）是線段上一點，且滿足，則稱點是線段的黃金分割點．大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割點”．如圖，一片樹葉的葉脈長度為，為的黃金分割點，求葉柄的長度．設，則符合題意的方程是A． B． C． D．【解答】解：，，，為的黃金分割點，，即，故選：．8．（4分）如圖，矩形中，分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點，作直線分別交，于點，，連接，若，，以下結論錯誤的是A． B． C． D．【解答】解：四邊形是矩形，，，，根據(jù)作圖過程可知：是的垂直平分線，，故選項正確，不符合題意；，，故選項正確，不符合題意；是的垂直平分線，，，在和中，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，故選項正確，不符合題意；，，故選項錯誤，符合題意，故選：．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案涂在答題卡上）9．（4分）若線段、、、是成比例線段，且，，，則．【解答】解：線段、、、是成比例線段，，即，，故答案為：．10．（4分）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是．【解答】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，△，解得：，故答案為：．11．（4分）某魚塘養(yǎng)了1000條草魚、500條鯉魚、若干條鯽魚，魚塘主通過多次捕撈試驗發(fā)現(xiàn)，捕撈到鯽魚的頻率穩(wěn)定在0.25左右．若魚塘主隨機在魚塘里捕撈一條魚，捕撈到草魚的概率約為．【解答】解：捕撈到鯽魚的頻率穩(wěn)定在0.25左右，設鯽魚的條數(shù)為，可得：；解得：，撈到草魚的概率為，故答案為：．12．（4分）菱形的交于，，，則24，面積．【解答】解：菱形中，對角線，相交于點，，，，，，，菱形的面積，故答案為：24；120．13．（4分）如圖，取一張長為，寬為的矩形紙片，將它對折兩次后得到一張小矩形紙片，若要使小矩形紙片與原矩形紙片相似，則．【解答】解：對折兩次后得到的小矩形紙片的長為，寬為，小矩形紙片與原矩形紙片相似，，又，，，即．故答案為：．三、解答題（本大題共5個小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）14．（12分）解方程：（1）；（2）．【解答】解：（1），或，所以，；（2），，或，所以，．15．（8分）某學校擬舉辦演講比賽、文藝匯演、書畫展覽、知識競賽四種活動，為了解學生對活動的喜愛情況，學校隨機抽取了200名學生進行調查（每人只能選擇一種方案），將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)以下兩幅圖所給的信息解答下列問題．（1）在抽取的200名學生中，選擇“演講比賽”的人數(shù)為40，在扇形統(tǒng)計圖中，的值為；（2）根據(jù)本次調查結果，估計全校2000名學生中選擇“文藝匯演”的學生大約有多少人？（3）現(xiàn)從喜愛“知識競賽”的四名同學、、、中，任選兩名同學參加學校知識競賽，請用樹狀圖或列表法求出同學參加的概率．【解答】解：（1）在抽取的200名學生中，選擇“演講比賽’的人數(shù)為（人，則選擇“書畫展覽”的人數(shù)為（人，在扇形統(tǒng)計圖中，，即，故答案為：40，30；（2）估計全校2000名學生中選擇文藝匯演”的學生大約有（人；（3）列表如下：由表可知，共有12種等可能結果，其中同學參加的有6種結果，所以同學參加的概率為．16．（8分）在公園有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一堵與地面互相垂直的墻，且圓柱與墻的距離皆為120公分．敏敏觀察到高度90公分矮圓柱的影子落在地面上，其影長為60公分；而高圓柱的部分影子落在墻上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與墻面互相垂直，并視太陽光為平行光，在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下，請回答下列問題：（1）若敏敏的身高為150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，則影長為多少公分？（2）若同一時間量得高圓柱落在墻上的影長為150公分，則高圓柱的高度為多少公分？請詳細解釋或完整寫出你的解題過程，并求出答案．【解答】解：（1）設敏敏的影長為公分．由題意：，解得（公分），經檢驗：是分式方程的解．敏敏的影長為100公分．（2）如圖，連接，作．，四邊形是平行四邊形，公分，設公分，由題意落在地面上的影從為120公分．，（公分），（公分），答：高圓柱的高度為330公分．17．（10分）問題背景：一次數(shù)學綜合實踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關于三角形角平分線的一個結論．如圖①，已知是的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖②，過點作，交的延長線于點，構造相似三角形來證明嘗試證明：（1）請參照小慧提供的思路，利用圖②證明：．應用拓展：（2）如圖③，在中，，是邊上一點．連接，將沿所在直線折疊，點恰好落在邊上的點處．若，，求的長【解答】（1）證明：，，，，，，，，，．（2）解：將沿所在直線折疊，點恰好落在邊上的點處，，，由（1）可知，，又，，，，，，，，；．18．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與，軸交于點，，點為線段上一點，且．（1）求點坐標及直線的解析式；（2）為軸上一個動點，當時，求點坐標；（3）為直線上一個動點，為坐標系內一點，當以，，，四個點為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點坐標．【解答】解：（1）令，則，，，，，，，，令，則，，設直線的解析式為，，解得，；（2）設，當點在點右側時，如圖1，過點作交延長線于點，過點作軸，過點作交于點，過點作交于點，，，，，，，，，，，，解得，，；當點在點的左側時，如圖2，同理可求，，解得，；綜上所述：點坐標為，或；（3）設，，當為菱形的對角線時，，，解得，，；當為菱形的對角線時，，，解得或，，或，；當為菱形是對角線時，，，解得（舍去）或，；綜上所述：點坐標為，或，或，或．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分，答案涂在答題卡上）19．（4分）若是方程的一個根，則的值為2024．【解答】解：由題意得：把代入中得：，，，，故答案為：2024．20．（4分）如圖，過矩形的對角線上一點分別作矩形兩邊的平行線與，那么圖中矩形的面積與矩形的面積的大小關系是；（填“”或“”或“”【解答】解：四邊形是矩形，四邊形是矩形，四邊形是矩形，的面積的面積，的面積的面積，的面積的面積，的面積的面積的面積的面積的面積的面積，．故答案為：．21．（4分）關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且關于的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)的和為17．【解答】解：一元二次方程有兩個實數(shù)根，△，，解得：，；分式方程有正整數(shù)解，，，，，整理得：，滿足條件的值有：1，6，11，當時，（舍去），則其和為：．故答案為：17．22．（4分）如圖，個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點，，，為邊，，，，的中點，△的面積為，△的面積為，△的面積為，則128．【解答】解：，△△，，，，，△的面積為，，則．經檢驗是原方程的解，故答案為：128．23．（4分）如圖，是等邊三角形，矩形的頂點在邊上，且，，連接、、，若將矩形繞點旋轉一周，當最小時，則．【解答】解：過點作于點，連接，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，當且僅當、、三點共線時，取得最小值為4，，在中，根據(jù)勾股定理，得，在中，根據(jù)勾股定理，得，，在中，根據(jù)勾股定理，得．當最小時，則．故答案為：．二.解答題（本大題共3個小題，共30分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）24．（8分）2024年巴黎奧運會順利閉幕，吉祥物“弗里熱”深受奧運迷的喜愛，一商場以20元的進價進一批“弗里熱”紀念品，以30元每個的價格售出，每周可以賣出500個，經過市場調查發(fā)現(xiàn)，價格每漲10元，就少賣100個．（1）若商場計劃一周的利潤達到8000元，并且更大優(yōu)惠讓利消費者，售價應定為多少錢？（2）商場改變銷售策略，在不改變（1）的銷售價格基礎上，銷售量穩(wěn)步提升，兩周后銷售量達到了484個，求這兩周的平均增長率．【解答】解：（1）設售價應定為元，由題意可得：，，解得：，，更大優(yōu)惠讓利消費者，，答：售價應定為40元；（2）設這兩周的平均增長率為，由題意：，解得：，（不合題意舍去），答：這兩周的平均增長率為．25．（10分）在四邊形中，，，分別為邊，上的兩點，連接，相交于點，且滿足．（1）【基礎運用】如圖1，當四邊形為矩形時，求證：；（2）【類比