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廣東省廣州市增城區(qū)鄭中均中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第三次月考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)(其中,圖象的一個對稱中心為,,其相鄰一條對稱軸方程為,該對稱軸處所對應(yīng)的函數(shù)值為,為了得到的圖象,則只要將的圖象()A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度2.已知復(fù)數(shù),若,則的值為()A.1 B. C. D.3.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:對任意都有零點;則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.4.已知向量,(其中為實數(shù)),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.在等差數(shù)列中,若為前項和,,則的值是()A.156 B.124 C.136 D.1806.已知,,,若,則()A. B. C. D.7.已知集合,則等于()A. B. C. D.8.若雙曲線的焦距為,則的一個焦點到一條漸近線的距離為()A. B. C. D.9.已知正方體的棱長為,,,分別是棱,,的中點,給出下列四個命題:①;②直線與直線所成角為;③過,,三點的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中,正確命題的個數(shù)為()A. B. C. D.10.以下關(guān)于的命題,正確的是A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.直線需是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.點是函數(shù)圖象的一個對稱中心D.將函數(shù)圖象向左平移需個單位,可得到的圖象11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,將此圖象分別作以下變換,那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有()①繞著軸上一點旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對稱.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④12.已知實數(shù)集,集合,集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一個村子里一共有個人,其中一個人是謠言制造者,他編造了一條謠言并告訴了另一個人,這個人又把謠言告訴了第三個人,如此等等.在每一次謠言傳播時,謠言的接受者都是在其余個村民中隨機挑選的,當謠言傳播次之后,還沒有回到最初的造謠者的概率是_______.14.平面向量,,(R),且與的夾角等于與的夾角,則.15.的展開式中,x5的系數(shù)是_________.(用數(shù)字填寫答案)16.拋物線的焦點到準線的距離為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知點,直線與拋物線交于不同兩點、,直線、與拋物線的另一交點分別為兩點、,連接,點關(guān)于直線的對稱點為點,連接、.(1)證明:;(2)若的面積,求的取值范圍.18.(12分)已知橢圓的左,右焦點分別為,直線與橢圓相交于兩點;當直線經(jīng)過橢圓的下頂點和右焦點時,的周長為,且與橢圓的另一個交點的橫坐標為(1)求橢圓的方程;(2)點為內(nèi)一點,為坐標原點,滿足,若點恰好在圓上,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)在四棱錐的底面是菱形,底面,,分別是的中點,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;(III)在邊上是否存在點,使與所成角的余弦值為,若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由.20.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以為極點,軸正半軸為極軸的極坐標中,曲線:.(1)當時,求與的交點的極坐標;(2)直線與曲線交于,兩點,線段中點為,求的值.21.(12分)在直角坐標系x0y中,把曲線α為參數(shù))上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變,得到曲線以坐標原點為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程(1)寫出的普通方程和的直角坐標方程;(2)設(shè)點M在上,點N在上,求|MN|的最小值以及此時M的直角坐標.22.(10分)如圖,在棱長為的正方形中,,分別為,邊上的中點,現(xiàn)以為折痕將點旋轉(zhuǎn)至點的位置,使得為直二面角.(1)證明:;(2)求與面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A,由周期求出,由五點法作圖求出的值,可得的解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,誘導(dǎo)公式,得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)已知函數(shù)其中,的圖象過點,,可得,,解得:.再根據(jù)五點法作圖可得,可得:,可得函數(shù)解析式為:故把的圖象向左平移個單位長度,可得的圖象,故選B.【點睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式,由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A,由周期求出,由五點法作圖求出的值,函數(shù)的圖象變換規(guī)律,誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.2、D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得:,求解關(guān)于實數(shù)的方程可得:.本題選擇D選項.3、A【解析】
先分別判斷每一個命題的真假,再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當時,直線和直線,即直線為和直線互相垂直,所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件,當直線和直線互相垂直時,,解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.:“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件,故是假命題.當時,沒有零點,所以命題是假命題.所以是真命題,是假命題,是假命題,是假命題.故選:.【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系,考查二次函數(shù)的圖象,考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.4、A【解析】
結(jié)合向量垂直的坐標表示,將兩個條件相互推導(dǎo),根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由,則,所以;而當,則,解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本小題考查平面向量的運算,向量垂直,充要條件等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識.5、A【解析】
因為,可得,根據(jù)等差數(shù)列前項和,即可求得答案.【詳解】,,.故選:A.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項和,解題關(guān)鍵是掌握等差中項定義和等差數(shù)列前項和公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
由平行求出參數(shù),再由數(shù)量積的坐標運算計算.【詳解】由,得,則,,,所以.故選:B.【點睛】本題考查向量平行的坐標表示,考查數(shù)量積的坐標運算,掌握向量數(shù)量積的坐標運算是解題關(guān)鍵.7、C【解析】
先化簡集合A,再與集合B求交集.【詳解】因為,,所以.故選:C【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)焦距即可求得參數(shù),再根據(jù)點到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的焦距為,故可得,解得,不妨??;又焦點,其中一條漸近線為,由點到直線的距離公式即可求的.故選:B.【點睛】本題考查由雙曲線的焦距求方程,以及雙曲線的幾何性質(zhì),屬綜合基礎(chǔ)題.9、C【解析】
畫出幾何體的圖形,然后轉(zhuǎn)化判斷四個命題的真假即可.【詳解】如圖;連接相關(guān)點的線段,為的中點,連接,因為是中點,可知,,可知平面,即可證明,所以①正確;直線與直線所成角就是直線與直線所成角為;正確;過,,三點的平面截該正方體所得的截面為五邊形;如圖:是五邊形.所以③不正確;如圖:三棱錐的體積為:由條件易知F是GM中點,所以,而,.所以三棱錐的體積為,④正確;故選:.【點睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用,涉及空間幾何體的體積,直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用,平面的基本性質(zhì),是中檔題.10、D【解析】
利用輔助角公式化簡函數(shù)得到,再逐項判斷正誤得到答案.【詳解】A選項,函數(shù)先增后減,錯誤B選項,不是函數(shù)對稱軸,錯誤C選項,,不是對稱中心,錯誤D選項,圖象向左平移需個單位得到,正確故答案選D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性,對稱軸,對稱中心,平移,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,其中化簡三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.11、D【解析】
計算得到,,故函數(shù)是周期函數(shù),軸對稱圖形,故②④正確,根據(jù)圖像知①③錯誤,得到答案.【詳解】,,,當沿軸正方向平移個單位時,重合,故②正確;,,故,函數(shù)關(guān)于對稱,故④正確;根據(jù)圖像知:①③不正確;故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì),意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識和圖像的綜合應(yīng)用.12、A【解析】
可得集合,求出補集,再求出即可.【詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【點睛】本題考查了集合的補集和交集的混合運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用相互獨立事件概率的乘法公式即可求解.【詳解】第1次傳播,謠言一定不會回到最初的人;從第2次傳播開始,每1次謠言傳播,第一個制造謠言的人被選中的概率都是,沒有被選中的概率是.次傳播是相互獨立的,故為故答案為:【點睛】本題考查了相互獨立事件概率的乘法公式,考查了考生的分析能力,屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】試題分析:,與的夾角等于與的夾角,所以考點:向量的坐標運算與向量夾角15、-189【解析】由二項式定理得,令r=5得x5的系數(shù)是.16、【解析】試題分析:由題意得,因為拋物線,即,即焦點到準線的距離為.考點:拋物線的性質(zhì).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】
(1)設(shè)點、,求出直線、的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,求出點、的坐標,利用直線、的斜率相等證明出;(2)設(shè)點到直線、的距離分別為、,求出,利用相似得出,可得出的邊上的高,并利用弦長公式計算出,即可得出關(guān)于的表達式,結(jié)合不等式可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)點、,則,直線的方程為:,由,消去并整理得,由韋達定理可知,,,代入直線的方程,得,解得,同理,可得,,,,代入得,因此,;(2)設(shè)點到直線、的距離分別為、,則,由(1)知,,,,,,同理,得,,由,整理得,由韋達定理得,,,得,設(shè)點到直線的高為,則,,,,解得,因此,實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查直線與直線平行的證明,考查實數(shù)的取值范圍的求法,考查拋物線、直線方程、韋達定理、弦長公式、直線的斜率等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是難題.18、(1);(2)或【解析】
(1)由橢圓的定義可知,焦點三角形的周長為,從而求出.寫出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)交點橫坐標為,求出和,從而寫出橢圓的方程;(2)設(shè)出P、Q兩點坐標,由可知點為的重心,根據(jù)重心坐標公式可將點用P、Q兩點坐標來表示.由點在圓O上,知點M的坐標滿足圓O的方程,得式.為直線l與橢圓的兩個交點,用韋達定理表示,將其代入方程,再利用求得的范圍,最終求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解:(1)由題意知.,直線的方程為∵直線與橢圓的另一個交點的橫坐標為解得或(舍去),∴橢圓的方程為(2)設(shè).∴點為的重心,∵點在圓上,由得,代入方程,得,即由得解得.或【點睛】本題考查了橢圓的焦點三角形的周長,標準方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系,其中重心坐標公式、韋達定理的應(yīng)用是關(guān)鍵.考查了學(xué)生的運算能力,屬于較難的題.19、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)見解析.【解析】
(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面,據(jù)此證明題中的結(jié)論即可;(Ⅱ)建立空間直角坐標系,求得直線的方向向量與平面的一個法向量,然后求解線面角的正弦值即可;(Ⅲ)假設(shè)滿足題意的點存在,設(shè),由直線與的方向向量得到關(guān)于的方程,解方程即可確定點F的位置.【詳解】(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可得:,結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知:,故,底面,底面,故,且,故平面,平面,(Ⅱ)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知,,,以點O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則:,設(shè)平面的一個法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個法向量為,而,設(shè)直線與平面所成角為,則.(Ⅲ)由題意可得:,假設(shè)滿足題意的點存在,設(shè),,據(jù)此可得:,即:,從而點F的坐標為,據(jù)此可得:,,結(jié)合題意有:,解得:.故點F為中點時滿足題意.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,線面角的向量求法,立體幾何中的探索性問題等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20、(1),;(2)【解析】
(1)依題意可知,直線的極坐標方程為(),再對分三種情況考慮;(2)利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義,求弦長即可得到答案.【詳解】(1)依題意可知,直線的極坐標方程為(),當時,聯(lián)立解得交點,當時,經(jīng)檢驗滿足兩方程,(易漏解之處忽略的情況)當時,無交點;綜上,曲線與直線的點極坐標為,,(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線,得,可知,,所以.【點睛】本題考查直線與曲線交點的極坐標、利用參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義求弦長,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯
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