數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精更上一層樓基礎(chǔ)?鞏固1.已知｜a｜=1，｜b｜=2,c=a+b,且c⊥b,則向量a與b的夾角為()A。30°B.60°C.120°D。150°思路分析:設(shè)a與b的夾角為θ,∵c⊥b,∴(a+b)·b＝0?！郺2+a·b=0?！啵黙｜2+|a||b|cosθ=0?！?+2cosθ=0?！郼osθ=?！唳?120°。答案：C2.一船從某河一岸駛向另一岸，船速為v1、水速為v2，已知船可垂直到達(dá)對岸，則()A.｜v1｜＜|v2｜B.|v1|＞｜v2｜C。｜v1｜≤|v2｜D.｜v1|≥|v2｜思路分析：要使船垂直到達(dá)對岸,則v1在與水流垂直方向上的分量應(yīng)與v2大小相等，方向相反，由此即得｜v1|＞｜v2|.答案:B3.已知A(3，2)、B(—1,—1），若點(diǎn)P（x，）在線段AB的中垂線上，則x=__________.思路分析：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得A、B的中點(diǎn)，設(shè)其為M，則與垂直，據(jù)此即得結(jié)論。答案：4.如圖2—5—12所示，已知A（4，0），B(4，4），C(2，6）,求AC和OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo).圖2-5-12解法一：設(shè)=s·=(4s,4s)，=（4s-4,4s-0）=（4s—4,4s），=（2-4，6-0)=(—2,6).由∥及向量共線的條件可得(4s—4）×6—4s×（-2）=0。解之，得s=。所以=(4s，4s）=（3，3)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3).解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則=(x，y)，=（4，4）?！?、共線，∴4x-4y=0。①又∵=(x-2，y—6)，=(2，—6),且向量、共線，∴-6（x-2）—2(y—6)=0。②由①②解得x=3，y=3.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)。5。已知A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，0)、B(4，3)、C（2，4）、D（m,n).當(dāng)m、n滿足什么條件時，四邊形ABCD分別是平行四邊形、菱形、矩形、正方形?（A、B、C、D依逆時針方向排列)解：由條件知=(3,3)，=(-2，1），=（m—1,n),=（2—m，4—n），如圖.（1）若ABCD為平行四邊形，則=.所以（3,3）=（2-m,4-n），3=2—m且3=4—n。解得m=—1,n=1.所以當(dāng)m=-1，n=1時,ABCD為平行四邊形。(2)由于m=-1,n=1時，=（3,3）,=（—2，1）。｜|=，|｜=，｜|≠|(zhì)｜。因此，使ABCD為菱形的m、n不存在。(3）當(dāng)m=-1，n=1時，·=(3,3)·（-2，1)=-3≠0，即AB、AD不垂直，因此使ABCD為矩形的m、n不存在.綜合?應(yīng)用6.如圖2—5—13所示，PQ過△OAB的重心G，=a，=b，=ma,=nb，求證:.圖2-5—13證明：∵M(jìn)是AB邊的中點(diǎn)，∴=（+)=（a+b)。∴=×=×（a+b)=a+b.由=nb-ma，=a+b—ma=（-m)a+b.∵，∴。整理得mn=（m+n），即。7.如圖2-5-14，=（6，1）,=（x，y）,=（-2，—3），圖2-5—14(1）若∥，求x與y間的關(guān)系式；（2）若又有⊥,求x、y的值及四邊形ABCD的面積。解：（1)∵=++=（6，1)+(x，y）+（-2,-3）=（4+x，y-2），∴=（—4-x,2—y）。由∥，得x(2-y）—y（—4—x)=0。整理得2x-xy+4y+xy=0，即x+2y=0.（2)∵=+=(6,1）+(x,y)=(6+x，y+1）,=+=(x，y）+（—2，-3)=（x—2,y-3)，由⊥,∴（6+x)（x-2）+（y+1）（y—3）=0.整理得x2+4x—12+y2-2y—3=0.由(1）可知y=-x，代入上式得x2+4x—12=0.解得x1=-6，x2=2。相應(yīng)求得y1=3,y2=—1，即或如右圖，S四邊形ABCD=S△BCD+S△ABD=｜||｜+｜｜｜｜=｜｜||,又=（x1-2,y1-3）=（—8，0）或=（x2-2，y2—3）=（0，-4）,=（6+x1,y1+1）=（0，4）或=(6+x2，y2+1)=(8,0)，∴|｜=8或4，|｜=4或8.∴S四邊形ABCD=16。8.如圖2-5-15,在△ABC中，在AC上取點(diǎn)N，使得AN=AC,在AB上取點(diǎn)M，使得AM=AB,在BN的延長線上取點(diǎn)P，使得NP=BN，在CM的延長線上取點(diǎn)Q，使得MQ=CM。用向量的方法證明P、A、Q三點(diǎn)共線.圖2—5—15證明：如圖，，，∴=.又∵A是公共點(diǎn),∴P、A、Q三點(diǎn)共線。9.四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直,且AB=BC=2，E是AC的中點(diǎn),異面直線AD與BE所成角的余弦值為，求四面體的體積。思路分析：用向量解決立體幾何問題,能使復(fù)雜問題簡單化,據(jù)題，只要求出BD即可得到四面體的體積，所以可將四面體置于空間直角坐標(biāo)系加以分析。解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，由題意有A(0，2，0)、C(2,0，0），E（1，1,0）.設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0，z)（z＞0),則={1，1，0｝，=｛0,—2,z}.設(shè)與所成的角為θ,則·==—2,且AD與BE所成角的余弦值為，∴cos2θ=?！鄗=4.∴VA-BCD=｜｜|｜｜|=?！嗨拿骟wABCD的體積為.回顧?展望10.（2006青島統(tǒng)考)過點(diǎn)A(2,3）,且垂直于向量a=(2，1）的直線方程