數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：向量的線性運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精更上一層樓基礎(chǔ)·鞏固1。可以寫成：①；②;③；④.其中正確的是()A.①②B.②③C。③④D。①④思路解析：向量加法的三角形法首尾順次連接，而從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量的差與連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)且指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng)。答案:D2.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（)①如果a與b的方向相同或相反，那么與a共線的向量的方向必與a、b之一的方向相同②△ABC中，必有=0③若=0，則A、B、C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)④若a，b均為非零向量，且方向相同，則｜a+b|與｜a｜+｜b｜一定相等A.0B。1C.2思路解析：①若與a共線的為0,則它不一定與a、b方向相同；②正確；③有可能A、B、C三點(diǎn)共線；④一般來說,｜a+b｜≤｜a|+|b|,但當(dāng)兩個(gè)向量a，b方向相同時(shí),則有｜a+b|=|a|+｜b|.答案：C3.如圖2—2—16,已知ABCDEF是一正六邊形,O是它的中心，其中=a，=b，=c,則等于（）圖2-2A。a+bB。b—aC。c—bD.b-c思路解析：因=b—c.答案：D4.向量a、b共線的有（)①a=2e,b=-4e②a=e1—e2，b=-3e1+3e2③a=2e1—e2，b=e1—e2④a=e1+e2，b=2e1+2e2A.①②③B.②③④C。①③④D.①②③④思路解析:對(duì)于①②③④中的向量a與b，都存在一個(gè)相應(yīng)的實(shí)數(shù)λ，使a=λb.答案：D5.設(shè)e1、e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量a=4e1-2e2與向量b=e1+λe2(λ∈R)共線,則λ的值是(）A。λ=0B。λ=-1C.λ=-2思路解析：設(shè)a=μb（μ∈R）,則4e1—2e2=μ(e1+λe2)，即得答案：D6.在正六邊形ABCDEF中,=m，=n,則=___________________.思路解析:=m-n.答案：m—n7。已知OADB是以向量=a，=b為鄰邊的平行四邊形，且=,=,用a、b表示以下向量：圖2-2(1)=__________________；(2）=___________________;（3)=___________________.思路解析：(1)+=b+(a—b）=a+b；(2)==(a+b）；(3)=a+b-a—b=a—b.答案：(1）a+b（2)a+b（3）a-b8?；啠?)-（）=_________________.思路解析：(）-()=—(）=-()==0.答案：09。如圖2—2-圖2思路分析：先畫出物體受力分析圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，再利用向量的知識(shí)解決問題。解：如圖，作平行四邊形CDEF，則向量是重力的相反向量，因此，|｜=100，且由已知可得四邊形CDEF是矩形.在Rt△CEF中，∠ECF=60°,則｜｜=||·cos60°=50，｜｜=||=｜|·sin60°=50。即兩根繩子的拉力AC的為50kg，BC的為50kg10.在△OAB中，=,=，與交于M點(diǎn)，設(shè)=a，=b.（1)用a、b表示。(2）在已知線段AC上取一點(diǎn)E,在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過M點(diǎn).設(shè)=p,=q,求證：=1。思路分析：利用向量的線性運(yùn)算及向量共線定理。解：（1)設(shè)=ma+nb,則=ma+nb—a=(m—1）a+nb.=b—a=-a+b.∵A、M、D三點(diǎn)共線，∴與共線.∴.∴m+2n=1。①而=ma+nb-a=(m—)a+nb，=b-a=—a+b?！逤、M、B三點(diǎn)共線,∴CM與CB共線?！??！?m+n=1。②∴聯(lián)立①②，解之，得m=，n=.∴=a+b。（2）∵=a+b-p=a+b-pa=（-p）a+b,=q-p=qb—pa=-pa+qb，又∵與共線，∴.∴q-pq=-p.∴=1.綜合·應(yīng)用11.已知△ABC中，∠C=90°,AC=BC,則下列等式中成立的有(）①|(zhì)｜=|｜②｜|=|｜③｜|=||④|｜2=｜|2+|｜2A。1個(gè)B。2個(gè)C.3個(gè)D。4個(gè)思路解析：如右圖，以AC、BC為鄰邊作正方形ADBC。則由向量加、減法的平行四邊形法則及三角形法則有，，由于ADBC為正方形，則AB=CD，即｜｜=|｜,所以①式成立.又,，而AC=BC，則有｜|=｜｜，所以②式成立.,，則③式也成立。,，,在等腰Rt△ABC中,AB2=CA2+BC2，而CD=AB，BC=AC,所以｜｜2=|｜2+||2也成立，故上面四個(gè)等式均成立.答案：D12.設(shè)e1、e2是兩個(gè)不共線向量，已知向量a=3e1+4e2，向量b=(sinα-m）e1+4e2，α∈R,且a∥b，則m的最小值為()A.-B。—1C.—2思路解析：由于a∥b，則有a=λb，即3e1+4e2=λ（sinα-m)e1+4λe2，又e1、e2是兩個(gè)不共線向量，所以有整理得m=sinα-3。因此，m的最小值為-2。答案：C13.已知向量a、b是兩個(gè)非零向量，在下列四個(gè)條件中,能使a、b共線的條件是（）①2a-3b=4e，且a+2b=-3e②存在相異實(shí)數(shù)λ、μ，使λa+μb=0③xa+yb=0（其中實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=0)④已知梯形ABCD中，=a，=bA.①②B.①③C.②④D。③④思路解析:首先判定①能否使a、b共線.由方程組可求得a=-e,b=-e,∴b=10a.∴a與b共線，因此可排除C、D.而由②可得λ、μ是相異實(shí)數(shù)，所以λ、μ不同時(shí)為0，不妨設(shè)μ≠0.∴b=—a.故a、b共線，所以排除B。應(yīng)選擇A.答案：A14.點(diǎn)M是△ABC的重心,D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn),則等于()A.B.-C。0D。思路解析：如右圖,以、為鄰邊作平行四邊形MAGC，因F為AC中點(diǎn)，也是MG的中點(diǎn)，MG=2MF,∴。∴=0.答案：C15。證明對(duì)于任意兩個(gè)向量a、b，都有｜|a｜-｜b|｜≤｜a+b｜≤｜a｜+|b|。思路分析：由于不等式本身有明顯的幾何意義,故應(yīng)選用向量的幾何意義進(jìn)行證明。可根據(jù)向量a、b共線與不共線兩種情況討論。證明:若a、b中有一個(gè)為零向量，則不等式顯然成立。若a、b都不是零向量，記=a，=b，則=a+b.（1)當(dāng)a、b不共線時(shí),如圖(甲)所示，則有｜｜｜-｜｜|＜｜｜＜|｜+｜｜，即｜｜a|-｜b||≤｜a+b|≤|a|+｜b｜。（甲)(2)當(dāng)a、b共線時(shí),若a、b同向，如圖（乙)所示，｜｜=｜｜+｜|，（乙)即｜a+b|=|a｜+|b｜.若a、b反向，如圖（丙)所示，｜｜|—|｜|=｜|，即||a|-｜b｜｜=｜a+b｜。（丙)綜上可知，｜｜a｜—｜b｜｜≤|a+b|≤｜a|+|b|。回顧·展望16.（2006浙江高考）設(shè)向量a,b，c滿足a+b+c=0，且a⊥b，｜a|=1，|b|=2,則｜c(diǎn)|2的值為（）A。1B.2C。4思路解析：由向量加法的幾何意義，a、b、c所對(duì)應(yīng)的線段構(gòu)成一個(gè)直角三角形，兩直角邊長分別為1、2.答案：D17。（2006廣東高考）如圖2—2—圖2-2-19A.-+B。-—C.-D.+思路解析：+，故選A。答案：A18。（2006上海高考)如圖2-圖2A。B.C。D.=0思路解析：由于ABCD是平行四邊形，則它的對(duì)邊平行且相等.由向量相等的概念可知A項(xiàng)正確；由向量加法和減