滬教版 七年級數(shù)學(xué) 實數(shù)的運算

第宇權(quán)由運簞務(wù)

骸課苛刑忒

【題目】課前測試

數(shù)軸上點A與點B之間的距離為m,且點A在點B的左側(cè)，若點B所對應(yīng)的數(shù)

是-娓，則點A所對應(yīng)的數(shù)是（）

A.m+疾B.m-V5C.-m+娓D.-m-5/5

【答案】D

【解析】

根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離是大數(shù)減小數(shù)，可得答案.

解：設(shè)A點對應(yīng)的數(shù)是x,由題意，得

-娓-x=m,

解得x=-m-V5,

故選：D.

總結(jié)：本題考察了實數(shù)與數(shù)軸，利用數(shù)軸上兩點間的距離是大數(shù)減小數(shù)得出方程

是解題關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】課前測試

如果a<ST<a+l,那么整數(shù)2=

【答案】3

【解析】

首先估算值大小，再確定整數(shù)a的值即可.

解：

,?,V9<Vn<Vi6,

??.3<Vil<4,

1-,a4/H〈a+l，

.?整數(shù)a=3.

故答案為：3.

總結(jié)：本題考查了估算無理數(shù)的大小，其常見的思維方法：用有理數(shù)逼近無理

數(shù)，求無理數(shù)的近似值.

【難度】3

逢如識更行

適用范圍滬教版，七年級

知識點概述：本章重點部分是實數(shù)的運算。了解，掌握實數(shù)與數(shù)軸，估計無理數(shù)

的大小，重點掌握實數(shù)的運算法則，其中實數(shù)的運算會出現(xiàn)計算題，需要多練習(xí)

適用對象：成績中等偏下的學(xué)生

注意事項熟練掌握實數(shù)運算的步驟，以及法則

重點選講：

①實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)大小比較

②估計無理數(shù)的大小

i

③實數(shù)的運算

??MB?MB?■MB?MB?MM?MB?OB,?OHB??■■??

如田燒鋰

◎加詛梳理1:宗數(shù)與數(shù)軸，空數(shù)卡小比較

,＜；;_.一?

實數(shù)與數(shù)軸:

1、實數(shù)與數(shù)軸上的點是——對應(yīng)的，就是說所有的實數(shù)都可以用數(shù)軸上的

點來表示；反之，數(shù)軸上的每一點都表示一個實數(shù)

2、數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相

;等

3、利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，右邊的總比左邊的大

實數(shù)大小比較

實數(shù)的大小比較方法：負(fù)數(shù)小于零；零小于正數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較

大；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的數(shù)較小.從數(shù)軸上看，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

如圖：有理數(shù)可以在數(shù)軸上表示出來：-2、-1、0、1、2

無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示出來：V2

\1/

實數(shù)比較大小的方法：

（1）作差法（2）求商法（3）倒數(shù)法（4）平方法（5）近似值比較法

（6）找中間量法（7）移動因式法

實際中還有很多方法，要靈活多變

念如詛短拽2：估計無理數(shù)的大小

3包?估計無理數(shù)的大小，需要記住1到20的整數(shù)的平方，根據(jù)要估計的數(shù)

值來找出最接近的數(shù)值。

例如：估計詬的值的范圍

知道32=9、42=16

因為9<15<16,所以開平方即為：3（而<4

益-如識幅趣3：宏數(shù)由運W

\1/

有理數(shù)的加法:

l、(±a)+(±6)=±刎+忖)(。力同號)

2、(±a)+(R)=(???［刎〉網(wǎng))(a力異號)

卜刎一例)

3、一a+a=0;a+0=a

y

3曾.有理數(shù)的減法:

a-b=a+(-b)

y

時.例（a,b同號）

況?=<_卜卜網(wǎng)（。力異號）

（）（4或b為零）

y

3管有理數(shù)的乘方：優(yōu)表示n個a相乘.正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的

奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)。

3等有理數(shù)的開方：

(1)平方根：如果X2=a(a?O),那么x叫做a的平方根(或二次方根)。

數(shù)a的平方根記做士&,其中―(即+石)叫做a的算術(shù)平方根。一個

正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

(2)立方根：如果*3=a,那么X叫做a的立方根(或三次方根)。數(shù)的

立方根記做布。因此版

任意一個實數(shù)有且只有一個立方根。

(3)求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方；求一個數(shù)的立方根的運算叫做開

立方

二等實數(shù)的運算順序：先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號,

就先算括號里面的。去括號的順序是先去小括號，再去中括號，最后大括號。

同一級運算，如果沒有括號，可按由左至右的順序進行。

實數(shù)運算律：

(1)力口法交換律;a+b=b+a

(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交換律:ab=ba

(4)乘法結(jié)合律:(ab)c=a(be)

(5)乘法分配律\[a+b)c=ac+be

(其中a、b、c表示任意實數(shù).運用運算律有時可使運算簡便.)

俐魅精第

題型1:實數(shù)與數(shù)軸

已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列等式成立的是()

b□ai>

A.|a+b|=a+bB.|a+b|=a-bC.|a+l|=a+lD.|b+l|=b+l

【答案】C

【解析】

◎如理燒鋰2二砧廿無鋰數(shù)由大小

總結(jié)：本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】題型1變式練習(xí)1

已知數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)分別為-3和娓，則A、B間的距離為.

【答案】娓+3

【解析】

根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離是大數(shù)減小數(shù)，可得答案.

解：A、B兩點表示的數(shù)分別為-3和遍，則A、B間的距離為遙-(-3)=V5

+3,

故答案為：V5+3

總結(jié)：本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用數(shù)軸上兩點間的距離是大數(shù)減小數(shù)是解題關(guān)

鍵.

【難度】3

【題目】題型1變式練習(xí)2

已知數(shù)軸上點A到原點的距離為1,且點A在原點的右側(cè)，數(shù)軸上到點A的距

離為E的點所表示的數(shù)是―.

【答案】a+1或F-1

【解析】

根據(jù)數(shù)軸上點A到原點的距離為1,且點A在原點的右側(cè)，可以得到點A表示

的數(shù)，從而可以得到數(shù)軸上到點A的距離為?的點所表示的數(shù).

解：???數(shù)軸上點A到原點的距離為1,且點A在原點的右側(cè)，

???點A表示的數(shù)是1,

???數(shù)軸上到點A的距離為E的點所表示的數(shù)是：北+1或遂-1,

故答案為：我+1或盛-1.

【難度】3

題型2:估計無理數(shù)的大小

加的整數(shù)部分是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

應(yīng)先找到所求的無理數(shù)在哪兩個和它接近的整數(shù)之間，然后判斷出所求的無理數(shù)

的整數(shù)部分.

解:,.1<2<4,

??-1<V2<2,

二?加的整數(shù)部分為1,

故選：B.

總結(jié)：本題主要考查了無理數(shù)的估算，利用“夾逼法"確定該無理數(shù)在那兩個數(shù)

之間是解題關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)1

已知面積為10的正方形的邊長為x,那么x的取值范圍是（）

A.1<x<3B.2<x<3C.3<x<4D.4<x<5

【答案】C

【解析】

根據(jù)正方形的面積公式，求得正方形的邊長，再進一步根據(jù)數(shù)的平方進行估算.

解：根據(jù)題意，得正方形的邊長是伍.

??-9<10<16,

-'-3<V10<4.

故選：C.

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)2

若&+V^=a+b,其中a是整數(shù)，0<b<1,則a的值是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

首先得出a+b的取值范圍，進而得出答案.

解：1??V2+V5=a+b,72-1.4,解82.23,

..3<a+b<4,

?.a是整數(shù)，0<b<l,

??a的值是：3.

故選：B.

【難度】3

題型3:實數(shù)比較大小

比較大小-5&-4退（用">"、"<"或"="填空）

【答案】<

【解析】

首先把括號外的數(shù)移到括號內(nèi)，然后再比較大小即可.

解：

-5&=-屈，-473=-V48,

,?■V50>V48/

-572<-4V3,

故答案為：<.

總結(jié)：此題主要考查了實數(shù)的比較大小，關(guān)鍵是掌握兩個負(fù)實數(shù)相比較，絕對值

大的反而小.

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)1

比較大小：n泥（填）

【答案】>

【解析】

根據(jù)TI>3和&<3解答即可.

解:-.H>3,解<F=3,

.,.Tl>V8,

故答案為：>

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)2

已知a=V7-V5,b=V5-V3,c=3-V7那么a、b、c三個數(shù)的大小關(guān)系是.

【答案】c<a<b.

【解析】

先根據(jù)已知求出巳、張十的值，再進行比較，即可得出a、b、c三個數(shù)的大小

關(guān)系.

解：,.a=V7-V5,b=V5-V3,c=3-V7,

顯然：abc均為正數(shù)，大于零，

與r亞普4（行+近），

臺丐事（我+泥），

號爵7二93+祈），

cab

，a、b、c三個數(shù)的大小關(guān)系是c<a<b;

故答案為:c<a<b.

【難度】4

題型4:實數(shù)的運算

計算：(-2)2+(3.14-萬)。-|-2|+(3)

【答案】5

【解析】

首先計算乘方，然后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可.

解：

(-2)2+(3.14—萬)。-|-2|+(g)

=4+1-2+2

=5

總結(jié)：此題主要考查了實數(shù)的運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：

在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開

方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從

左到右的順序進行.另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.正確化簡

各數(shù)是解題關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】題型4變式練習(xí)1

計算：血旬近弓叵-啦

【答案】0

【解析】

本題涉及零指數(shù)幕、開立方、二次根式化簡3個考點.在計算時，需要針對每個

考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果.

解：

=V2-5--V2-l

5

=1—1

=0

總結(jié)：本題主要考查了實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題

型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)幕、二次根式、絕

對值等考點的運算

【難度】4

【題目】題型4變式練習(xí)2

計算:

【答案】；9

【解析】

任意一個非零數(shù)的0次幕都等于1;(4)2=a,77=間，據(jù)此進行計算即可.

33

=-1-

42

9

~4

總結(jié)：本題主要考查了實數(shù)的運算，解決問題的關(guān)鍵是掌握零指數(shù)幕的概念以

及數(shù)的開方，解題時注意：任意一個非零數(shù)的0次黑都等于1.

【難度】3

【題目】題型4變式練習(xí)3

th:V45x—+J12xy/3—^27+V3

【答案】苧

【解析】

此題涉及平方根、立方根的求法，在計算時，需要針對每個考點分別進行計算,

然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果即可.

解：

V45XJ1|-V12X73-V27-V3

=3V5x'+2,\/3x^3-3+V3

3

=58+26xg-6

=史.6

2

_373

~~T

總結(jié)：此題主要考查了實數(shù)的綜合運算能力，解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握

平方根、立方根的運算

【難度】3

【題目】題型4變式練習(xí)4

計算：f—j-|1-Vsj+(^-3.14)°

【答案】11

【解析】

根據(jù)實數(shù)的運算順序，首先計算乘方、開方，然后從左向右依次計算，求出算式

的值是多少即可.

解：(g)_1—+(乃—3.14)°+；決

=9-(V2-l)+l+|x2V2

=9-V2+l+l+V2

=11

【難度】3

【題目】題型4變式練習(xí)5

計算：(V3—y/2+V6卜5+V2-V6)

【答案】46-5

【解析】

(s/3—V2+V6[V5+V2—5/6)

=[\/3-(A/2—A/6)]X^[3+(V2—y[b)]

/份一代@

=3-(2+6-4A/3)

=4百-5

【難度】3

【題目】興趣篇1

設(shè)，11-6血的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為y,則x+N。?的值是

【答案】1-3&

【解析】

估算得出x與y的值，代入原式計算即可求出值.

解:??-64<72<81,

.?.8<6&<9,即-9<-6y<-8,

..2<11-672<3,

-.x=2,丫="1-6版-2,

則原式=5一6&+加_6&-24（33）2+衣3方%=3-后+F7T3

-1

故答案為：1-3&

總結(jié)：此題考查了估算無理數(shù)的大小，設(shè)實數(shù)為a,a的整數(shù)部分A為不大于a

的最大整數(shù)，小數(shù)部分B為實數(shù)a減去其整數(shù)部分，即B=a-A;理解概念是解

題的關(guān)鍵.

【難度】4

【題目】興趣篇2

規(guī)定用符號岡表示一個實數(shù)的整數(shù)部分，如［2.83］=2,［娓］=2,貝孔颯-

3］=-.

【答案】1

【解析】

先估算出倔的大小，然后再求得痛-3的范圍，最后依據(jù)符號岡表示的意義

求解即可.

解:--16<24<25,

?'-4<V24<5.

，4-3<724-3<5-3,即1<724-3<2.

.1?[V24-3]=l.

故答案為：1.

【難度】3

【題目】備選題目1

已知，a,b分別是3-F的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求4ab-b2的值

【答案】1

【解析】

首先判斷出F的整數(shù)部分在1和2之間，即3-加的整數(shù)部分a=l,則b=2-

M,然后把a和b的值代入代數(shù)式求值即可.

解:-.l<73<2,

的整數(shù)部分在1和2之間，

二3一盛的整數(shù)部分a=l,b=2-盛，

則4ab-b2

=4xlx(2-V3)-(2-V3)2

=8-4V3-(4-473+3)

=1.

【難度】3

【題目】備選題目2

用下面"逐步逼近"的方法可以求出我的近似值.

先閱讀，再答題：

因為22<7<32,所以2<小<3.

第一步：取孝-2.5,由2.52=6.25<7得2.5<近<3.

第二步：取誓匹2.75,由2.752=7.5625>7得2.5<行<2.75

請你繼續(xù)上面的步驟，寫出第三步，并回