284.九年級(jí)新人教版數(shù)學(xué)上冊(cè)22.3-第3課時(shí)-拱橋問題和運(yùn)動(dòng)中的拋物線-教案

第3課時(shí)拱橋問題和運(yùn)動(dòng)中的拋物線1．掌握二次函數(shù)模型的建立，會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題．2．利用二次函數(shù)解決拱橋及運(yùn)動(dòng)中的有關(guān)問題．3．能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行決策．一、情境導(dǎo)入某大學(xué)的校門是一拋物線形的水泥建筑物(如圖所示)，大門的寬度為8米，兩側(cè)距地面4米高處各掛有一個(gè)掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，請(qǐng)你確定校門的高度是多少？二、合作探究探究點(diǎn)一：建立二次函數(shù)模型【類型一】運(yùn)動(dòng)軌跡問題某學(xué)校初三年級(jí)的一場(chǎng)籃球比賽中，如圖，隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時(shí)離地面高eq\f(20,9)米，與籃圈中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運(yùn)行軌跡為拋物線，籃圈距地面3米．(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，問此球能否準(zhǔn)確投中？(2)此時(shí)，若對(duì)方隊(duì)員乙在甲面前1米處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1米，那么他能否獲得成功？解析：這是一個(gè)有趣的、貼近學(xué)生日常生活的應(yīng)用題，由條件可得到出手點(diǎn)、最高點(diǎn)(頂點(diǎn))和籃圈的坐標(biāo)，再由出手點(diǎn)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)可求出函數(shù)表達(dá)式；判斷此球能否準(zhǔn)確投中的問題就是判斷代表籃圈的點(diǎn)是否在拋物線上；判斷蓋帽攔截能否獲得成功，就是比較當(dāng)x＝1時(shí)函數(shù)y的值與最大摸高3.1米的大?。猓?1)由條件可得到球出手點(diǎn)、最高點(diǎn)和籃圈的坐標(biāo)分別為A(0，eq\f(20,9))，B(4，4)，C(7，3)，其中B是拋物線的頂點(diǎn)．設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－h(huán))2＋k，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，可得y＝－eq\f(1,9)(x－4)2＋4.將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入解析式，得左邊＝右邊，即點(diǎn)C在拋物線上，所以此球一定能投中．(2)將x＝1代入解析式，得y＝3.因?yàn)?.1＞3，所以蓋帽能獲得成功．【類型二】拱橋、涵洞問題如圖是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4米時(shí)，拱頂(拱橋洞的最高點(diǎn))離水面2米．水面下降1米時(shí)，水面的寬度為________米．解析：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)這條拋物線為y＝ax2，把點(diǎn)(2，－2)代入，得－2＝a×22，a＝－eq\f(1,2)，∴y＝－eq\f(1,2)x2，當(dāng)y＝－3時(shí)，－eq\f(1,2)x2＝－3，x＝±eq\r(6).故答案為2eq\r(6).方法總結(jié)：在解決呈拋物線形狀的實(shí)際問題時(shí)，通常的步驟是：(1)建立合適的平面直角坐標(biāo)系；(2)將實(shí)際問題中的數(shù)量轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)出拋物線的解析式，并將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)解析式；(4)利用函數(shù)關(guān)系式解決實(shí)際問題．如圖，某隧道橫截面的上下輪廓線分別由拋物線對(duì)稱的一部分和矩形的一部分構(gòu)成，最大高度為6米，底部寬度為12米．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．(1)直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求出這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)若要搭建一個(gè)矩形“支撐架”AD－DC－CB，使C、D點(diǎn)在拋物線上，A、B點(diǎn)在地面OM上，則這個(gè)“支撐架”總長(zhǎng)的最大值是多少？解析：解決問題的思路是首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，挖掘條件確定圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)M(12，0)和拋物線頂點(diǎn)P(6，6)；已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)關(guān)系式；再利用二次函數(shù)上某些點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出有關(guān)“支撐架”總長(zhǎng)AD＋DC＋CB二次函數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，從而解決問題．解：(1)根據(jù)題意，分別求出M(12，0)，最大高度為6米，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6，底部寬度為12米，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6，即P(6，6)．(2)設(shè)此函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－6)2＋6.因?yàn)楹瘮?shù)y＝a(x－6)2＋6經(jīng)過點(diǎn)(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－eq\f(1,12).所以此函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,12)(x－6)2＋6＝－eq\f(1,12)x2＋x＋3.(3)設(shè)A(m，0)，則B(12－m，0)，C(12－m，－eq\f(1,12)m2＋m＋3)，D(m，－eq\f(1,12)m2＋m＋3)．即“支撐架”總長(zhǎng)AD＋DC＋CB＝(－eq\f(1,12)m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－eq\f(1,12)m2＋m＋3)＝－eq\f(1,6)m2＋18.因?yàn)榇硕魏瘮?shù)的圖象開口向下．所以當(dāng)m＝0時(shí)，AD＋DC＋CB有最大值為18.三、板書設(shè)計(jì)教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立二次函數(shù)模型，解決生活中的實(shí)際問題.初中數(shù)學(xué)公式大全1 過兩點(diǎn)有且只有一條直線2 兩點(diǎn)之間線段最短3 同角或等角的補(bǔ)角相等4 同角或等角的余角相等5 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直6 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短7 平行公理經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行9 同位角相等，兩直線平行10 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行11 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行12 兩直線平行，同位角相等13 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等14 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)15 定理三角形兩邊的和大于第三邊16 推論三角形兩邊的差小于第三邊17 三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180°18 推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余19 推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和20 平行四邊形判定定理 1 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形21 平行四邊形判定定理 2 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形22 平行四邊形判定定理 3 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形23 平行四邊形判定定理 4 一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形24 矩形性質(zhì)定理 1 矩形的四個(gè)角都是直角25 矩形性質(zhì)定理 2 矩形的對(duì)角線相等26 矩形判定定理 1 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形27 矩形判定定理 2 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形28 菱形性質(zhì)定理 1 菱形的四條邊都相等29 菱形性質(zhì)定理 2 菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角30 菱形面積=對(duì)角線乘積的一半，即 S=（a×b）÷231 菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形32 菱形判定定理2 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形33 正方形性質(zhì)定理1 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等34 正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角3