浙江省A9協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

絕密★考試結(jié)束前浙江省A9協(xié)作體2024學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題命題：知恩中學(xué)吳凱審題：普陀中學(xué)洪小芳桐鄉(xiāng)鳳鳴高級(jí)中學(xué)高紅磊校稿：沈佳磊考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第I卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先解不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，得，所以，所以.故選：B.2.命題“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可得結(jié)果.【詳解】存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，即“，”的否定是，，故選：C.3.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分式、根式以及零次方的意義列式求解即可.詳解】令，解得且，所以函數(shù)的定義域是.故選：D4.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而判斷函數(shù)在的單調(diào)性可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞減.故選：A.5.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且存在最大值為，則函數(shù)在區(qū)間上（）A.單調(diào)遞增且最大值為B.單調(diào)遞增且最小值為C.單調(diào)遞減且最大值為D.單調(diào)遞減且最小值為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，又在區(qū)間上單調(diào)遞增且存在最大值為，所以在上單調(diào)遞減且存在最大值.故選：C6.已知實(shí)數(shù)，且“”的一個(gè)必要不充分條件是“”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別解不等式可得、，結(jié)合充分、必要條件可得，建立不等式組，解之即可求解.【詳解】由，得，即，由，，得，即，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以，得（等號(hào)不能同時(shí)成立），解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A7.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)，，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】通過賦值，構(gòu)造方程即可求解.【詳解】分別令和得到：，解得：，故選：B8.已知函數(shù)，若在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，分段探討函數(shù)的取值，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得的范圍，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，即，得，當(dāng)時(shí)，由，即，得，畫出函數(shù)的圖象，如圖，若在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，得，因此，則的最大值為3.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，B，D，可根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由不等式的基本性質(zhì)“若，則”可知，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可取，則有，此時(shí)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)增加，且，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋?，所以選項(xiàng)D正確；故選：ACD.10.下列說法中正確的是（）A.與表示同一個(gè)函數(shù)B.為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增C.既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮緼BC【解析】【分析】根據(jù)相同函數(shù)的定義即可判斷A；根據(jù)奇偶函數(shù)的定義和單調(diào)函數(shù)的定義即可判斷B；由題意可得的圖象為點(diǎn)和，即可判斷C；根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法即可判斷D.【詳解】A：，，兩個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)，故A正確；B：，所以為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，圖象為開口向上的拋物線，且對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；C：由，解得，即函數(shù)的圖象為點(diǎn)和，這兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，也為偶函數(shù)，故C正確；D：由，得，即的定義域?yàn)椋蔇錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知非空集合，若對(duì)，都有，成立，則稱集合是封閉集.下列說法中正確的是（）A.集合是封閉集B.若集合是封閉集，則也是封閉集C.若集合，為封閉集，且，則也是封閉集D.若集合，為封閉集，且，則也是封閉集【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)封閉集的定義判斷AD；舉例說明判斷BC.【詳解】對(duì)于A，記，由，設(shè)，，則，，可知，，則集合封閉集，故A正確；對(duì)于B，取集合{有理數(shù)}，若，則都有，成立，故集合是封閉集．{無理數(shù)}，取，可知，，故不是封閉集，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，是封閉集．取，由，設(shè)，，則，，則，，可知是封閉集，且，取，則，但，因此不是封閉集，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，，若集合，為封閉集，且，則，；，；從而，，則也是封閉集，故D正確.故選：AD.第II卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，直接求值即可.【詳解】由題意知，.故答案為：.13.一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積與地板面積的比值越大，采光效果越好.現(xiàn)有某酒店計(jì)劃對(duì)一房間進(jìn)行改造升級(jí)，已知該房間原地板面積為60平方米，窗戶面積為20平方米.若同時(shí)增加窗戶與地板的面積，且地板增加的面積恰好是窗戶增加的面積的倍，要求改造后的采光效果不比改造前的差，則實(shí)數(shù)的最大取值為______.【答案】3【解析】【分析】設(shè)窗戶增加的面積為平方米，根據(jù)題意列出不等式解出即可.【詳解】設(shè)窗戶增加的面積為平方米，則地板增加的面積為平方米，由于改造后的采光效果不比改造前的差，所以，解得，即實(shí)數(shù)的最大取值為3，故答案為：3.14.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí)，恒成立，若，，則不等式的解為______【答案】【解析】【分析】由題意可得，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.【詳解】設(shè)，則，，由，得，，即.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，又為定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，得，則為上的奇函數(shù)，所以在上也單調(diào)遞增.由，得，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得；當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得，所以的解集為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是由變形為，構(gòu)造出函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解不等式也是關(guān)鍵點(diǎn).四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），或（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)交、并、補(bǔ)集的概念與運(yùn)算即可求解；（2）由題意可得，易知滿足題意；當(dāng)，根據(jù)集合間的包含關(guān)系建立不等式組，解之即可求解.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，；或，或.【小問2詳解】由題意得，①當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)成立；②當(dāng)時(shí)，，解得，由，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.16.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足.（1）求的最大值；（2）若不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用基本不等式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)“1”的代換可得，利用基本不等式計(jì)算可得，則，解分式不等式即可.【小問1詳解】，，，，得，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，的最大值為.【小問2詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為3.由題意得，，解得，的取值范圍是.17.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷y=fx在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義法證明；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)定義列方程即可求得結(jié)果；（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性的定義即可證明；（3）利用奇偶性和單調(diào)性將不等式化為，解不等式即可求得結(jié)果.【小問1詳解】函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.【小問2詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：，且，有，，，，，即.∴fx在區(qū)間上單調(diào)遞增，【小問3詳解】由題意得是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴fxR上單調(diào)遞增.由得，，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，令.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（3）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)求解，得解；（2）根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求值域；（3）根據(jù)題意問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，法1，分和分類討論求解；法2，要滿足，結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)求解；法3，由可得，分離參數(shù)求解；法4，由，又時(shí)，恒成立，轉(zhuǎn)化為，即在上恒成立，求解.【小問1詳解】由解得或，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，令，由知，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即時(shí)，，，即時(shí)，.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?【小問3詳解】由題意得對(duì)任意恒成立，令，則在上恒成立，法①：當(dāng)時(shí)，在上恒成立；當(dāng)時(shí)，令，，函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為.（i）當(dāng)，，若，則，，解得，；若，則，，解得此時(shí)無解.（ii）當(dāng)，，，解得，；綜上所述，的取值范圍為.法②：當(dāng)時(shí)，在上恒成立；當(dāng)時(shí)，令，，由可得或，（i）當(dāng)時(shí)，要滿足，可知，；（ii）當(dāng)時(shí)，要滿足，可知，；綜上所述，的取值范圍為.法③：由可得，又時(shí)，恒成立，在上恒成立，，，時(shí)，.的取值范圍為.法④：，又時(shí)，恒成立，，即在上恒成立，，，時(shí)，，.的取值范圍為.19.定義符號(hào)函數(shù)為，已知，令，.（1）若函數(shù)在區(qū)間2,3上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）求得的圖象的對(duì)稱軸，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求得，由題意函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，令的取值集合為，當(dāng)時(shí)，令的取值集合為，則由題意得，求得，分和兩種情況求得，結(jié)合，可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以或，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】由題意得又，，當(dāng)時(shí)，