2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè))專題60二項(xiàng)式定理(新高考專用)(原卷版+解析)

專題60二項(xiàng)式定理（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)1】展開式中的通項(xiàng)問題 3【考點(diǎn)2】二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和問題 4【考點(diǎn)3】二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題 5【分層檢測(cè)】 6【基礎(chǔ)篇】 6【能力篇】 8考試要求：能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對(duì)稱性與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞增的當(dāng)k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞減的二項(xiàng)式系數(shù)最大值當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等且取得最大值3.各二項(xiàng)式系數(shù)和(1)(a＋b)n展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.(a＋b)n的展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．二、填空題3．（2024·全國·高考真題）的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為．4．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．5．（2024·上?！じ呖颊骖}）在的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則項(xiàng)的系數(shù)為．6．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為．7．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．8．（2022·浙江·高考真題）已知多項(xiàng)式，則，．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】展開式中的通項(xiàng)問題一、單選題1．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知的展開式中的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．22．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若是一組數(shù)據(jù)的方差，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．3360 C．210 D．16二、多選題3．（2022·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列說法中正確的有（

）A．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84B．的展開式中不含的項(xiàng)C．的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和相等D．的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)和第五項(xiàng)4．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）在的展開式中，x的系數(shù)為．6．（21-22高三下·山東德州·階段練習(xí)）在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和比為，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為．反思提升：(1)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)公式即可.(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識(shí)求解.(3)對(duì)于三項(xiàng)式問題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決，或利用展開式的原理求解.【考點(diǎn)2】二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和問題一、單選題1．（2021·江西·模擬預(yù)測(cè)）在的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，則含的項(xiàng)系數(shù)為（

）A．45 B．-45 C．120 D．-1202．（2022·山東德州·二模）已知，二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．36 B．30 C．15 D．10二、多選題3．（2022·福建龍巖·一模）已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，則下列說法正確的有（

）A．展開式共有7項(xiàng) B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)C．所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128 D．展開式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)4．（2022·廣東深圳·二模）已知，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·遼寧沈陽·一模）在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和的比值為，則二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.6．（2022·湖南長沙·一模）已知，則．反思提升：1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法.2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).【考點(diǎn)3】二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題一、單選題1．（2022·山西臨汾·二模）的展開式中x的系數(shù)等于其二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，則a的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．2．（2024·安徽·二模）已知的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第7項(xiàng) D．第8項(xiàng)二、多選題3．（2022·廣東茂名·二模）已知的展開式共有13項(xiàng)，則下列說法中正確的有（

）A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為 B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng) D．有理項(xiàng)共5項(xiàng)4．（2024高三下·河南·專題練習(xí)）已知的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2187，則下列說法正確的是（

）A．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64B．展開式中存在常數(shù)項(xiàng)C．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為560D．展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為三、填空題5．（21-22高三下·全國·開學(xué)考試）已知的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)值為．6．（2024高三上·全國·競賽）在的展開式中，若的系數(shù)為，則；若展開式中有且僅有項(xiàng)的系數(shù)最大，則的取值范圍是．反思提升：二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，展開式中第eq\f(n,2)＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，展開式中第eq\f(n＋1,2)項(xiàng)和第eq\f(n＋3,2)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為或.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇·二模）已知，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．23．（2024·遼寧·一模）的展開式中的系數(shù)為（

）A．55 B． C．30 D．4．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知能被9整除，則整數(shù)的值可以是（

）A． B．?7 C．9 D．13二、多選題5．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（

）A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)C．有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)D．所有項(xiàng)的系數(shù)的和為6．（2023·山東青島·一模）在的展開式中,下列說法正確的是(

)A．常數(shù)項(xiàng)是 B．第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等C．各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 D．各項(xiàng)的系數(shù)之和為7．（23-24高二上·山東青島·期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（

）A．第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)B．C．第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大D．第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為三、填空題8．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知多項(xiàng)式，則.9．（22-23高二下·湖南·期末）在二項(xiàng)式的展開式中只有第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.10．（2023·江蘇南通·一模）展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．【能力篇】一、單選題1．（2024·遼寧丹東·一模）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．24 B．25 C．48 D．492．（23-24高三下·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）被除的余數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8二、多選題3．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知二項(xiàng)展開式，下列說法正確的有（

）A．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是B．的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為C．的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大值是D．，其中為虛數(shù)單位4．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若的展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)（項(xiàng)中是整數(shù)）可以是（

）A．第2項(xiàng) B．第3項(xiàng) C．第4項(xiàng) D．第5項(xiàng)三、填空題5．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）展開式中項(xiàng)系數(shù)為.6．（22-23高三下·四川成都·開學(xué)考試）二項(xiàng)式的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過期專題60二項(xiàng)式定理（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 6【考點(diǎn)1】展開式中的通項(xiàng)問題 6【考點(diǎn)2】二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和問題 9【考點(diǎn)3】二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題 13【分層檢測(cè)】 16【基礎(chǔ)篇】 16【能力篇】 22考試要求：能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對(duì)稱性與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞增的當(dāng)k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞減的二項(xiàng)式系數(shù)最大值當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等且取得最大值3.各二項(xiàng)式系數(shù)和(1)(a＋b)n展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.(a＋b)n的展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．二、填空題3．（2024·全國·高考真題）的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為．4．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．5．（2024·上?！じ呖颊骖}）在的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則項(xiàng)的系數(shù)為．6．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為．7．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．8．（2022·浙江·高考真題）已知多項(xiàng)式，則，．參考答案：題號(hào)12答案AB1．A【分析】寫出二項(xiàng)展開式，令，解出然后回代入二項(xiàng)展開式系數(shù)即可得解.【詳解】的二項(xiàng)展開式為，令，解得，故所求即為.故選：A.2．B【分析】利用賦值法可求的值.【詳解】令，則，令，則，故，故選：B.3．5【分析】先設(shè)展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則根據(jù)通項(xiàng)公式有，進(jìn)而求出即可求解.【詳解】由題展開式通項(xiàng)公式為，且，設(shè)展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則，，即，又，故，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為.故答案為：5.4．20【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解即可.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：20.5．10【分析】令，解出，再利用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)合理賦值即可.【詳解】令，，即，解得，所以的展開式通項(xiàng)公式為，令，則，．故答案為：10．6．【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出其通項(xiàng)公式，令確定的值，然后計(jì)算項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：60.7．-28【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以的展開式中含的項(xiàng)為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-288．【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．【詳解】含的項(xiàng)為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】展開式中的通項(xiàng)問題一、單選題1．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知的展開式中的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．22．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若是一組數(shù)據(jù)的方差，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．3360 C．210 D．16二、多選題3．（2022·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列說法中正確的有（

）A．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84B．的展開式中不含的項(xiàng)C．的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和相等D．的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)和第五項(xiàng)4．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）在的展開式中，x的系數(shù)為．6．（21-22高三下·山東德州·階段練習(xí)）在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和比為，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為．參考答案：題號(hào)1234答案BBACABD1．B【分析】因?yàn)?，結(jié)合二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，，∵，∴，解得，故選：B.2．B【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)信息，求解出方差的值，代入二項(xiàng)式中，求解二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求解常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】解：數(shù)據(jù)0，2，0，2的平均值為1，故方差，故二項(xiàng)式為，其展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為.故選：B.3．AC【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式，所以當(dāng)，A正確；當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，C正確；根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，最大，所以，的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)和第六項(xiàng)，D錯(cuò)誤.故選：AC.4．ABD【分析】令，可求得，判斷A；寫出的求解式子，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)化簡，即可判斷B；令，即可求得的值，判斷C;對(duì)兩邊求導(dǎo)數(shù)，令，即可求得，判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故A對(duì)；，B對(duì)；令，則，∴，故C錯(cuò)；對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，即令，則，∴，故D對(duì)，故選：ABD．5．17【分析】利用二項(xiàng)式定理寫出兩個(gè)二項(xiàng)式的展開式，再分析計(jì)算作答.【詳解】因，，則在的展開式中，含x的項(xiàng)為：，所以所求x的系數(shù)為17.故答案為：176．【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知各項(xiàng)系數(shù)和為，二項(xiàng)式系數(shù)和為，可求出，然后在判斷展開式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】解：由題意得：令，則，所以的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為又二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以，解得．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令，得所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：．反思提升：(1)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)公式即可.(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識(shí)求解.(3)對(duì)于三項(xiàng)式問題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決，或利用展開式的原理求解.【考點(diǎn)2】二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和問題一、單選題1．（2021·江西·模擬預(yù)測(cè)）在的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，則含的項(xiàng)系數(shù)為（

）A．45 B．-45 C．120 D．-1202．（2022·山東德州·二模）已知，二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．36 B．30 C．15 D．10二、多選題3．（2022·福建龍巖·一模）已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，則下列說法正確的有（

）A．展開式共有7項(xiàng) B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)C．所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128 D．展開式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)4．（2022·廣東深圳·二模）已知，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·遼寧沈陽·一模）在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和的比值為，則二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.6．（2022·湖南長沙·一模）已知，則．參考答案：題號(hào)1234答案ACCDAD1．A【分析】先由只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求出n=10；再由展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，用賦值法求出a=-1,用通項(xiàng)公式求出的項(xiàng)的系數(shù).【詳解】∵在的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴在的展開式有11項(xiàng)，即n=10；而展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，令x=1，代入，即，所以a=-1.∴是展開式的通項(xiàng)公式為：，要求含的項(xiàng)，只需10-2r=6，解得r=2，所以系數(shù)為.故選：A【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理類問題的處理思路：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)進(jìn)行分析．2．C【分析】先根據(jù)“所有項(xiàng)的系數(shù)和”求得，然后利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】令，則可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為且，解得，∵的展開式中的通項(xiàng)，∴當(dāng)時(shí)，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：C3．CD【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和公式、通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，所以令可得：.A：因?yàn)?，所以展開式共有項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說法不正確；B：因?yàn)?，所以二?xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說法不正確；C：因?yàn)?，所以所有二?xiàng)式系數(shù)和為，所以本選項(xiàng)說法正確；D：由B可知：，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)，故本選項(xiàng)說法正確，故選：CD4．AD【分析】結(jié)合賦值法、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算以及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】由，令得，A選項(xiàng)正確.令得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，由此可知是負(fù)數(shù)，為正數(shù)，所以令得，，即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤由，兩邊求導(dǎo)得，令得，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD5．240【分析】由已知求得，再根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式的展開式求出常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為，令，得的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為，由題意可得，即，解得，所以的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：2406．0【分析】利用賦值法可得答案.【詳解】根據(jù)題意，今，得，令，得，因此，故答案為：0.反思提升：1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法.2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).【考點(diǎn)3】二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題一、單選題1．（2022·山西臨汾·二模）的展開式中x的系數(shù)等于其二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，則a的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．2．（2024·安徽·二模）已知的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第7項(xiàng) D．第8項(xiàng)二、多選題3．（2022·廣東茂名·二模）已知的展開式共有13項(xiàng)，則下列說法中正確的有（

）A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為 B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng) D．有理項(xiàng)共5項(xiàng)4．（2024高三下·河南·專題練習(xí)）已知的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2187，則下列說法正確的是（

）A．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64B．展開式中存在常數(shù)項(xiàng)C．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為560D．展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為三、填空題5．（21-22高三下·全國·開學(xué)考試）已知的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)值為．6．（2024高三上·全國·競賽）在的展開式中，若的系數(shù)為，則；若展開式中有且僅有項(xiàng)的系數(shù)最大，則的取值范圍是．參考答案：題號(hào)1234答案ACBDACD1．A【分析】根據(jù)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大值為，再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式賦值即可求出．【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，令，即時(shí)，x的系數(shù)為，而二項(xiàng)式系數(shù)最大值為，所以，即．故選：A．2．C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和可得，即可根據(jù)通項(xiàng)特征，列舉比較可得最大值.【詳解】由已知，故，故通項(xiàng)為（，1，…，8），故奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，故最大，因此第七項(xiàng)的系數(shù)最大，故選：C．3．BD【分析】根據(jù)展開式的通向公式以及二項(xiàng)式系數(shù)的的性質(zhì)求解判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，所有奇?shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A錯(cuò)誤，令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故B正確，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)，故C錯(cuò)誤，因?yàn)檎归_式通項(xiàng)為，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，，3，6，9，12，共有5項(xiàng)，故D正確．故選：BD．4．ACD【分析】利用通項(xiàng)公式結(jié)合第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可知，可推出，再由各項(xiàng)系數(shù)和為2187，利用賦值可得，解得，從而得到一個(gè)已知的二項(xiàng)式，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和方法去判斷各選項(xiàng).【詳解】由二項(xiàng)式的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，又展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2187，即當(dāng)時(shí)，，解得，所以二項(xiàng)式的系數(shù)之和為，又由奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故A正確；由的展開式的通項(xiàng)，令，解得，故展開式中不存在常數(shù)項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；又令，解得，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，故正確；由得，，又，所以5，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為，故D正確.故選：ACD.5．【分析】寫出通項(xiàng)公式，然后得第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)，列式求解，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解答案.【詳解】由題意，的展開式的通項(xiàng)為，所以展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)為，倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)為，所以，即，得，所以展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)值為或.故答案為：6．－1【分析】第一空，根據(jù)二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)，列式求解，可得a的值；第二空，討論a的取值范圍，結(jié)合題意，列出不等式組，求解即可得答案.【詳解】由題意知在的展開式中，的系數(shù)為，即，若展開式中有且僅有項(xiàng)的系數(shù)最大，不合題意，當(dāng)時(shí)，所以項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)，則需滿足，即得；當(dāng)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為負(fù)數(shù)，則此時(shí)需滿足，解得，綜合可得的取值范圍是，故答案為：-1；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二空解決的關(guān)鍵是，注意時(shí)，二項(xiàng)展開式中系數(shù)的正負(fù)情況，從而列式得解.反思提升：二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，展開式中第eq\f(n,2)＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，展開式中第eq\f(n＋1,2)項(xiàng)和第eq\f(n＋3,2)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為或.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇·二模）已知，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．23．（2024·遼寧·一模）的展開式中的系數(shù)為（

）A．55 B． C．30 D．4．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知能被9整除，則整數(shù)的值可以是（

）A． B．?7 C．9 D．13二、多選題5．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（

）A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)C．有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)D．所有項(xiàng)的系數(shù)的和為6．（2023·山東青島·一模）在的展開式中,下列說法正確的是(

)A．常數(shù)項(xiàng)是 B．第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等C．各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 D．各項(xiàng)的系數(shù)之和為7．（23-24高二上·山東青島·期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（

）A．第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)B．C．第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大D．第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為三、填空題8．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知多項(xiàng)式，則.9．（22-23高二下·湖南·期末）在二項(xiàng)式的展開式中只有第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.10．（2023·江蘇南通·一模）展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．參考答案：題號(hào)1234567答案ADCBABACABD1．A【分析】由二項(xiàng)式定理得展開通項(xiàng)并整理，令，求出回代到展開通項(xiàng)即可求解.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，由題意令，解得，從而常數(shù)項(xiàng)是.故選：A.2．D【分析】先根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得，再利用賦值法，令，進(jìn)而即可求解．【詳解】由，則，得，令，得，左右兩邊除以，得，所以．故選：D．3．C【分析】借助二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)，有，令，有，令，有，則，故的展開式中的系數(shù)為.故選：C.4．B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，則能被整除，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)?，又能被整除，所以能被整除，由選項(xiàng)知當(dāng)時(shí)符合，當(dāng)，或時(shí)均不符合.故選：B．5．AB【分析】先求出二項(xiàng)式系數(shù)和，奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和，即可確定A；二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，即為中間項(xiàng)，可確定B；整理出通項(xiàng)公式，再對(duì)賦值，即可確定C；令，可求出所有項(xiàng)的系數(shù)的和，從而確定D.【詳解】對(duì)于A,二項(xiàng)式系數(shù)和為，則所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故A正確；對(duì)于B,二項(xiàng)式系數(shù)最大為，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故B正確；對(duì)于C,，為有理項(xiàng)，可取的值為，所以有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,令，則所有項(xiàng)系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.6．AC【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)公式為,對(duì)于A,令進(jìn)行判斷;對(duì)于B,令和計(jì)算判斷即可;對(duì)于C,因?yàn)?所以各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為可進(jìn)行判斷;對(duì)于D,令即可進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)公式為,對(duì)于A,常數(shù)項(xiàng)為,故A正確;對(duì)于B,第四項(xiàng)的系數(shù)為,第六項(xiàng)的系數(shù)為,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)?所以各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,故C正確;對(duì)于D,令,各項(xiàng)的系數(shù)之和為,故D錯(cuò)誤.故選:AC.7．ABD【分析】根據(jù)楊輝三角讀出數(shù)據(jù)即可判斷A，利用組合數(shù)公式判斷B，分析各行數(shù)據(jù)的特征，即可判斷C，求出第行中從左到右第個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：第行，第行，第行的第個(gè)數(shù)字分別為：，，，其和為；而第行第個(gè)數(shù)字就是，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以，故B正確；對(duì)于C：由圖可知：第行有個(gè)數(shù)字，如果是偶數(shù)，則第（最中間的）個(gè)數(shù)字最大；如果是奇數(shù)，則第和第個(gè)數(shù)字最大，并且這兩個(gè)數(shù)字一樣大，所以第行的第個(gè)數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：依題意：第行從左到右第個(gè)數(shù)為，第行從左到右第個(gè)數(shù)為，所以第行中從左到右第個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)之