備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪專題復習全套考點突破和專題檢測專題27等差數(shù)列及其前n項和9題型分類(原卷版+解析)

專題27等差數(shù)列及其前n項和9題型分類1．等差數(shù)列的有關概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)．(2)等差中項由三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有2A＝a＋b.2．等差數(shù)列的有關公式(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d或Sn＝eq\f(na1＋an,2).3．等差數(shù)列的常用性質(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．常用結論1．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2．在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．3．等差數(shù)列{an}的單調性：當d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；當d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；當d＝0時，{an}是常數(shù)列．4．數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．這里公差d＝2A.（一）等差數(shù)列基本量的運算(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”)．(2)確定等差數(shù)列的關鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.題型1：等差數(shù)列基本量的運算1-1．（2024·廣西·模擬預測）設為等差數(shù)列，若，則公差（

）A．－2 B．－1 C．1 D．21-2．（2024高二上·廣東珠?！て谀┮阎炔顢?shù)列的前項和為，，則（

）A．54 B．71 C．80 D．811-3．（2024·安徽安慶·二模）記為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．30 B．28 C．26 D．13（二）等差數(shù)列的判定與證明判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法．(2)等差中項法．(3)通項公式法．(4)前n項和公式法．題型2：等差數(shù)列的判定與證明2-1．（2024·浙江·模擬預測）已知正項等比數(shù)列和數(shù)列，滿足是和的等差中項，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，(2)若數(shù)列的前項積滿足，記，求數(shù)列的前20項和.2-2．（2024·山西晉中·模擬預測）數(shù)列中，，前n項和滿足．（1）證明：為等差數(shù)列；（2）求．2-3．（2024高一下·浙江寧波·期末）已知數(shù)列中，，當時，其前項和滿足：，且，數(shù)列滿足：對任意有.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)設是數(shù)列的前項和，求證：.（三）等差數(shù)列的性質1.等差數(shù)列項的性質的關注點(1)在等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項的和問題，一般先考慮應用項的性質．(2)項的性質常與等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)相結合．2.等差數(shù)列前n項和的常用的性質是：在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.題型3：等差數(shù)列項的性質3-1．（2024·河南·模擬預測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，則等于（

）A．63 B． C．45 D．3-2．（2024·全國）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．153-3．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列中，，則（

）A．30 B．15 C．5 D．10題型4：等差數(shù)列前n項和的性質4-1．（2024高一下·四川成都·階段練習）若兩個等差數(shù)列，的前n項和分別是，，已知，則.4-2．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且前n項和分別為與，若，則．4-3．（2024高三·全國·專題練習）已知等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項的和為40，偶數(shù)項的和為32，則.4-4．（2024高二下·遼寧·期末）等差數(shù)列中，，前項和為，若，則.（四）等差數(shù)列前n項和的最值求等差數(shù)列前項和最值的2種方法（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項和的函數(shù)表達式，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．（2）鄰項變號法：①若，則滿足的項數(shù)使得取得最大值；②若，則滿足的項數(shù)使得取得最小值．題型5：等差數(shù)列前n項和的最值5-1．（2024·河南鄭州·模擬預測）在等差數(shù)列中，已知，且，則當取最大值時，（

）A．10 B．11 C．12或13 D．135-2．（2024·四川成都·模擬預測）設為等差數(shù)列的前n項和，且，都有，若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是5-3．（2024高二上·陜西渭南·期中）設等差數(shù)列的前項和為，已知，，則以下選項中，最大的是（

）A． B． C． D．5-4．（2024高三上·湖南長沙·階段練習）已知數(shù)列滿足:對恒成立,且,其前項和有最大值,則使得的最大的的值是.（五）等差數(shù)列的實際應用(1)與等差數(shù)列前n項和有關的應用題，其關鍵在于構造合適的等差數(shù)列．(2)遇到與正整數(shù)有關的應用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關知識解決相關的問題，是數(shù)學建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．題型6：等差數(shù)列的實際應用6-1．（2024·江蘇南通·模擬預測）現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升6-2．（2024·北京）《中國共產黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．1606-3．（2024高二下·北京昌平·期中）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為尺，前九個節(jié)氣日影長度之和為尺，則谷雨這一天的日影長度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺6-4．（2024·河北唐山·模擬預測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉播了該次世界杯，為紀念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對本網(wǎng)站會員的獎品派發(fā)活動，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個；②對于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個.已知該網(wǎng)站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（

）A．102 B．103 C．104 D．1056-5．（2024·全國）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊（六）關于等差數(shù)列奇偶項問題的討論對于奇偶項通項不統(tǒng)一的數(shù)列的求和問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進行分類．題型7：關于等差數(shù)列奇偶項問題的討論7-1．（2024·全國）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．7-2．（2024高二下·陜西西安·期末）已知數(shù)列滿足，，.(1)若數(shù)列為數(shù)列的奇數(shù)項組成的數(shù)列，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前50項和.7-3．（2024·江蘇南京·一模）已知數(shù)列和滿足：.（1）若，求數(shù)列的通項公式；（2）若.

求證：數(shù)列為等差數(shù)列；記數(shù)列的前項和為，求滿足的所有正整數(shù)和的值.（七）對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題由正項開始的遞減等差數(shù)列的絕對值求和的計算題解題步驟如下：（1）首先找出零值或者符號由正變負的項（2）在對進行討論，當時，，當時，題型8：對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題8-1．（2024·遼寧大連·模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項；(2)求數(shù)列的前n項和為．8-2．（2024·全國）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．8-3．（2024高三·全國·專題練習）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且，，成等比數(shù)列．(1)求，；(2)若，求（八）等差數(shù)列中的范圍與恒成立問題與數(shù)列有關的恒成立問題主要有兩大類,一是根據(jù)數(shù)列不等式恒成立,求參數(shù)范圍,二是數(shù)列不等式的證明題型9：等差數(shù)列中的范圍與恒成立問題9-1．（2024高三上·重慶九龍坡·期中）等差數(shù)列的前n項和記為，已知，，若存在正數(shù)k，使得對任意，都有恒成立，則k的值為．9-2．（2024·上海楊浦·二模）數(shù)列滿足對任意恒成立，則.．（2024·安徽·模擬預測）已知數(shù)列滿足：，，，從第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數(shù)列．(1)求；(2)設，若恒成立，求的取值范圍．一、單選題1．（2024·河南鄭州·模擬預測）公差不為零的等差數(shù)列中，，則下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024·北京海淀·三模）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024高二上·浙江溫州·期末）在等差數(shù)列中，為的前n項和，，，則無法判斷正負的是（

）A． B． C． D．4．（2024高二·全國·課后作業(yè)）設是等差數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024高三上·北京·階段練習）已知等差數(shù)列單調遞增且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024·江西上饒·模擬預測）2022年10月16日上午10時，舉世矚目的中國共產黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂隆重開幕，某單位組織全體人員在報告廳集體收看，已知該報告廳共有16排座位，共有432個座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（

）A．12 B．26 C．42 D．507．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則等于（

）A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)8．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）如果等差數(shù)列中，，那么（

）A．14 B．12 C．28 D．369．（2024高三下·河南·階段練習）已知數(shù)列滿足，其前n項和為，若，則（

）A． B．0 C．2 D．410．（2024·陜西榆林·模擬預測）設為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．811．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．12．（2024·江西新余·二模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的公差為（

）A． B． C．2 D．413．（2024·四川涼山·三模）在等差數(shù)列中，，，則（

）．A．3 B．5 C．7 D．914．（2024·河北·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和是，則（

）A． B．C． D．15．（2024高三下·云南昆明·階段練習）已知數(shù)列滿足：，且滿足，則（

）A．1012 B．1013 C．2022 D．202316．（2024·北京）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項17．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知數(shù)列中，，當時，，，成等差數(shù)列.若，那么（

）A． B． C． D．18．（2024·全國）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件19．（2024高二下·遼寧·階段練習）設函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．20．（2024·北京·三模）等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的通項公式可能是（

）A． B． C． D．21．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知等差數(shù)列公差不為0，正項等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．22．（2024·海南?？凇ひ荒＃┘彝マr場是指以農戶家庭成員為主要勞動力的新型農業(yè)經營主體．某家庭農場從2019年開始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30萬元，2021年的收益為50萬元．照此規(guī)律，從2019年至2026年該家庭農場的總收益為（

）A．630萬元 B．350萬元 C．420萬元 D．520萬元23．（2024·江西·模擬預測）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2023年是癸卯年，請問：在100年后的2123年為（

）A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年二、多選題24．（2024·福建泉州·模擬預測）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，成等比數(shù)列，則（

）A． B．C．當時，是的最大值 D．當時，是的最小值25．（2024·江蘇鹽城·三模）已知數(shù)列對任意的整數(shù)，都有，則下列說法中正確的有（

）A．若，則B．若，，則C．數(shù)列可以是等差數(shù)列D．數(shù)列可以是等比數(shù)列26．（2024·安徽安慶·二模）已知為等差數(shù)列，前項和為，，公差d=?2，則（

）A．=B．當n=6或7時，取得最小值C．數(shù)列的前10項和為50D．當n≤2023時，與數(shù)列（mN）共有671項互為相反數(shù)．27．（2024·廣東佛山·模擬預測）已知數(shù)列，下列結論正確的有（

）A．若，，則B．若，，則C．若，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若為等差數(shù)列的前項和，則數(shù)列為等差數(shù)列三、填空題28．（2024高二·全國·專題練習）已知等差數(shù)列{an}的首項為3，公差為2，則a10＝．29．（2024高三上·寧夏·期中）設等差數(shù)列的前項和為，若，，則30．（2024·上?！つM預測）已知是公差不為零的等差數(shù)列，且，則31．（2024·全國）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差．32．（2024·上海·模擬預測）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前n項和，若，則中不同的數(shù)值有個.33．（2024·廣東佛山·模擬預測）設隨機變量的分布列如下：123456P其中，，…，構成等差數(shù)列，則.34．（2024·上海黃浦·三模）南宋的數(shù)學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應立體圖形作類比，推導出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則．

35．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知等差數(shù)列的首項，公差為，前項和為．若恒成立，則公差的取值范圍是．36．（2024·云南·三模）已知為等差數(shù)列的前項和.若，，則當取最小值時，的值為.37．（2024高三上·上海嘉定·期中）已知等差數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，則的最小值是38．（2024·全國·模擬預測）已知為等差數(shù)列的前項和，且，，則當取最大值時，的值為.39．（2024高三·全國·對口高考）已知等差數(shù)列的前項和為，若公差，；則的值為.40．（2024高二上·上海長寧·階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則41．（2024·山東）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為．42．（2024·上海嘉定·三模）已知，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則.43．（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，公差d為奇數(shù)，且同時滿足：①存在最大值；②；③．則數(shù)列的一個通項公式可以為．（寫出滿足題意的一個通項公式）44．（2024·江蘇南京·模擬預測）設等差數(shù)列的前n項和為.已知，.若存在正整數(shù)k，使得對任意的都有恒成立，則k的值為．45．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，（），且，.若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.46．（2024高二下·北京·階段練習）設是公差為的無窮等差數(shù)列的前項和，則下列命題正確的是.①若，則數(shù)列有最大項；②若數(shù)列有最大項，則③若數(shù)列對任意的，恒成立，則④若對任意的，均有，則恒成立47．（2024高二下·甘肅定西·期中）已知等差數(shù)列的前n項和為，并且，若對恒成立，則正整數(shù)的值為.48．（2024高二上·上海靜安·期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么當時，的最大值為．49．（2024高二下·北京海淀·期中）已知是等差數(shù)列{}的前n項和，若僅當時取到最小值，且，則滿足的n的最小值為.50．（2024高三·全國·課后作業(yè)）記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當取得最大值時，n＝．51．（2024高二下·湖南衡陽·期末）已知等差數(shù)列的通項公式為，當且僅當時，數(shù)列的前項和最大.則滿足的的最大值為.52．（2024高二上·河南鄭州·開學考試）等差數(shù)列中，，，給出下列命題：①，②，③是各項中最大的項，④是中最大的值，⑤為遞增數(shù)列.其中正確命題的序號是.53．（2024高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列滿足，則的最小值為.54．（2024·新疆烏魯木齊·一模）設是等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列中的最大項是第項.55．（2024高二下·山東濰坊·期中）在數(shù)列中，若，前項和，則的最大值為．56．（2024·福建·模擬預測）在等差數(shù)列中，前m項（m為奇數(shù)）和為70，其中偶數(shù)項之和為30，且，則的通項公式為.57．（2024高二下·遼寧·階段練習）設等差數(shù)列，的前n項和分別為，，且，則.58．（2024高二下·遼寧沈陽·階段練習）兩個等差數(shù)列，的前n項和分別為和，已知，則．四、解答題59．（2024·江蘇·模擬預測）設數(shù)列的前n項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：數(shù)列中的任意不同的三項均不能構成等差數(shù)列.60．（2024·湖南·模擬預測）記等差數(shù)列的前n項和為，已知，．(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前n項和為，若，求m的值．61．（2024·湖南·二模）記為等差數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值．62．（2024高二下·江蘇南京·期末）記為數(shù)列的前項和．(1)從下面兩個條件中選一個，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；①數(shù)列是等差數(shù)列；②(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項和．63．（2024·全國）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．64．（2024·重慶萬州·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，設，求的最小值.65．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知等差數(shù)列滿足，．(1)求；(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，求．66．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項積為，且滿足．(1)求證：為等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前2023項的和M．67．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：是等差數(shù)列，并求出的通項．(2)證明：．68．（2024·福建福州·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.69．（2024高三上·山東濟南·期末）已知數(shù)列滿足：，，.(1)記，求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，求成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉存自動更新永不過期專題27等差數(shù)列及其前n項和9題型分類1．等差數(shù)列的有關概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)．(2)等差中項由三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有2A＝a＋b.2．等差數(shù)列的有關公式(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d或Sn＝eq\f(na1＋an,2).3．等差數(shù)列的常用性質(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．常用結論1．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2．在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．3．等差數(shù)列{an}的單調性：當d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；當d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；當d＝0時，{an}是常數(shù)列．4．數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．這里公差d＝2A.（一）等差數(shù)列基本量的運算(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”)．(2)確定等差數(shù)列的關鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.題型1：等差數(shù)列基本量的運算1-1．（2024·廣西·模擬預測）設為等差數(shù)列，若，則公差（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】D【分析】由等差數(shù)列的基本量法列方程組求解．【詳解】由題意得解得，故選：D.1-2．（2024高二上·廣東珠?！て谀┮阎炔顢?shù)列的前項和為，，則（

）A．54 B．71 C．80 D．81【答案】D【分析】設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意求得，結合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，所以.故選：D.1-3．（2024·安徽安慶·二模）記為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．30 B．28 C．26 D．13【答案】C【分析】根據(jù)條件，列出首項和公差的方程組，即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為，則，，，所以.故選：C（二）等差數(shù)列的判定與證明判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法．(2)等差中項法．(3)通項公式法．(4)前n項和公式法．題型2：等差數(shù)列的判定與證明2-1．（2024·浙江·模擬預測）已知正項等比數(shù)列和數(shù)列，滿足是和的等差中項，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，(2)若數(shù)列的前項積滿足，記，求數(shù)列的前20項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義法判斷即可.（2）由（1）和，求得，，然后表示出的前20項和即可得出答案.【詳解】（1）由題知，是等比數(shù)列，設其公比為，由，可得：當時，，兩式相減得，，故數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由知：當時，，又，所以，由（1）設的公差為，則，由，則，，所以.即數(shù)列的前20項和為.2-2．（2024·山西晉中·模擬預測）數(shù)列中，，前n項和滿足．（1）證明：為等差數(shù)列；（2）求．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)題中遞推關系推出，然后推出，結合等差數(shù)列的定義，即可證明結果．（2）由（1）可知是以1首項，2為公差的等差數(shù)列，可得是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，然后通過求解前101項的偶數(shù)項和，前101項的奇數(shù)項和，再將兩者和相加，即可得到結果．【詳解】解：（1）∵①，∴②，①②：③，∴④，④③：，∴，∴是以1首項，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得是以1首項，2為公差的等差數(shù)列，同理可得是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，又，故，∴前101項的偶數(shù)項和為，前101項的奇數(shù)項和為，∴．【點睛】關鍵點點睛：在解決第二問時，由（1）得是以首項，2為公差的等差數(shù)列，同理得到是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，為后面求求解前101項的偶數(shù)項和，前101項的奇數(shù)項和奠定了重要的基礎，是解決這個問題的關鍵點和突破點.2-3．（2024高一下·浙江寧波·期末）已知數(shù)列中，，當時，其前項和滿足：，且，數(shù)列滿足：對任意有.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)設是數(shù)列的前項和，求證：.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）把代入得，即，從而得證；（2）利用和與項的關系即可求解得；（3）利用放縮法，得，再結合裂項相消求和法即可證明.【詳解】（1），，，即①由題意，將①式兩邊同除以，得，數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知當時，，即，當時，②，則③，②③，，即，因為滿足，所以.（3）由（2）可知，當時，，當時，，所以.所以.（三）等差數(shù)列的性質1.等差數(shù)列項的性質的關注點(1)在等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項的和問題，一般先考慮應用項的性質．(2)項的性質常與等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)相結合．2.等差數(shù)列前n項和的常用的性質是：在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.題型3：等差數(shù)列項的性質3-1．（2024·河南·模擬預測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，則等于（

）A．63 B． C．45 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結合等差數(shù)列性質分析運算.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，則，可得，且，可得，所以.故選：D.3-2．（2024·全國）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項，再根據(jù)前項和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項和公式的性質即可解出．【詳解】方法一：設等差數(shù)列的公差為，首項為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.3-3．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列中，，則（

）A．30 B．15 C．5 D．10【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質計算.【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，，所以∴.故選：B題型4：等差數(shù)列前n項和的性質4-1．（2024高一下·四川成都·階段練習）若兩個等差數(shù)列，的前n項和分別是，，已知，則.【答案】/【分析】利用等差數(shù)列的性質和求和公式，把轉化為求解.【詳解】因為，為等差數(shù)列，所以，因為，所以.故答案為：.4-2．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且前n項和分別為與，若，則．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及性質即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的求和公式得，所以，故答案為：4-3．（2024高三·全國·專題練習）已知等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項的和為40，偶數(shù)項的和為32，則.【答案】8【分析】利用等差數(shù)列前項和公式分別求奇數(shù)項，偶數(shù)項和，再求項數(shù)，最后同樣利用等差數(shù)列的前項和公式求.【詳解】設等差數(shù)列有奇數(shù)項項，，偶數(shù)項為項，公差為．奇數(shù)項和為40，偶數(shù)項和為32，，，，即，解得：即等差數(shù)列共項，且故答案為：8【點睛】本題考查等差數(shù)列奇數(shù)項，偶數(shù)項和，重點考查計算能力，屬于中檔題型.4-4．（2024高二下·遼寧·期末）等差數(shù)列中，，前項和為，若，則.【答案】【分析】由已知結合等差數(shù)列的性質可得為等差數(shù)列，再設公差為及通項公式即可求解．【詳解】設的公差為，由等差數(shù)列的性質可知，因為，故，故為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，設公差為，，，，，則故答案為：（四）等差數(shù)列前n項和的最值求等差數(shù)列前項和最值的2種方法（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項和的函數(shù)表達式，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．（2）鄰項變號法：①若，則滿足的項數(shù)使得取得最大值；②若，則滿足的項數(shù)使得取得最小值．題型5：等差數(shù)列前n項和的最值5-1．（2024·河南鄭州·模擬預測）在等差數(shù)列中，已知，且，則當取最大值時，（

）A．10 B．11 C．12或13 D．13【答案】C【分析】由結合等差數(shù)列的性質可得，再由，可求得結果.【詳解】因為在等差數(shù)列中，所以，所以，又因為，所以可知等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且前12項為正，第13項以后均為負，所以當取最大值時，或13．故選：C．5-2．（2024·四川成都·模擬預測）設為等差數(shù)列的前n項和，且，都有，若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】A【分析】由結合等差數(shù)列的前n項和公式可知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值為.【詳解】由，得，即，所以數(shù)列為遞增的等差數(shù)列.因為，所以，即，則，，所以當且時，；當且時，.因此，有最小值，且最小值為.故選：A.5-3．（2024高二上·陜西渭南·期中）設等差數(shù)列的前項和為，已知，，則以下選項中，最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差數(shù)列前項和公式以及等差數(shù)列下標和性質分析出的單調性以及項的取值正負，從而確定出，由此可得選項.【詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，所以，又，所以，所以為遞減數(shù)列，且前項為正值，從第項開始為負值，所以，故選：C.5-4．（2024高三上·湖南長沙·階段練習）已知數(shù)列滿足:對恒成立,且,其前項和有最大值,則使得的最大的的值是.【答案】15【分析】先根據(jù)遞推關系式得數(shù)列為等差數(shù)列,再根據(jù)前項和有最大值得單調性,由,可得,根據(jù)等差數(shù)列性質,分別判斷的正負,即可得出結果.【詳解】解:由題知,即對恒成立,所以數(shù)列為等差數(shù)列,因為前項和有最大值,所以數(shù)列單調遞減,因為,所以異號,且,所以可化簡為:,即,因為,,所以使得的最大的的值為15.故答案為:15（五）等差數(shù)列的實際應用(1)與等差數(shù)列前n項和有關的應用題，其關鍵在于構造合適的等差數(shù)列．(2)遇到與正整數(shù)有關的應用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關知識解決相關的問題，是數(shù)學建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．題型6：等差數(shù)列的實際應用6-1．（2024·江蘇南通·模擬預測）現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質即可求解.【詳解】設九只茶壺按容積從小到大依次記為，由題意可得，所以，故選：B6-2．（2024·北京）《中國共產黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C【分析】設等差數(shù)列公差為，求得，得到，結合黨旗長與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，設公差為，因為，，可得，可得，又由長與寬之比都相等，且，可得，所以.故選：C.6-3．（2024高二下·北京昌平·期中）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為尺，前九個節(jié)氣日影長度之和為尺，則谷雨這一天的日影長度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】A【分析】根據(jù)題意，分別設十二個節(jié)氣為，再運用等差中項求解.【詳解】設冬至，小寒，大寒，立春，雨水，驚蟄，春分，清明，谷雨，立夏，小滿，芒種這十二個節(jié)氣為：，且其公差為，依題意有：，，，公差，則，所以谷雨這一天的日影長度為尺，故選：A6-4．（2024·河北唐山·模擬預測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉播了該次世界杯，為紀念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對本網(wǎng)站會員的獎品派發(fā)活動，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個；②對于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個.已知該網(wǎng)站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（

）A．102 B．103 C．104 D．105【答案】C【分析】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，求出其通項，結合條件列不等式求出結果.【詳解】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，由已知是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，故為的倍數(shù)，所以首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，令，可得，又解得，且，故獲得精品足球的人數(shù)為.故選：C.6-5．（2024·全國）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，設為的前n項和，由題意可得，解方程即可得到n，進一步得到.【詳解】設第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項和有關的計算問題，考查學生數(shù)學運算能力，是一道容易題.（六）關于等差數(shù)列奇偶項問題的討論對于奇偶項通項不統(tǒng)一的數(shù)列的求和問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進行分類．題型7：關于等差數(shù)列奇偶項問題的討論7-1．（2024·全國）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當為偶數(shù)時，，，當時，，因此，當為奇數(shù)時，，當時，，因此，所以當時，.方法2：由（1）知，，，當為偶數(shù)時，，當時，，因此，當為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數(shù)時，，當時，，因此，所以當時，.7-2．（2024高二下·陜西西安·期末）已知數(shù)列滿足，，.(1)若數(shù)列為數(shù)列的奇數(shù)項組成的數(shù)列，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前50項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題設遞推式可得，據(jù)此可得答案；（2）設為數(shù)列的偶數(shù)項組成的數(shù)列，由題可得數(shù)列是首項為2，公差為的等差數(shù)列，后由分組求和法可得答案.【詳解】（1）由題，，且，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列；（2）設為數(shù)列的偶數(shù)項組成的數(shù)列，注意到，，所以數(shù)列是首項為2，公差為的等差數(shù)列，結合可知，的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是以為公差的等差數(shù)列，所以.7-3．（2024·江蘇南京·一模）已知數(shù)列和滿足：.（1）若，求數(shù)列的通項公式；（2）若.

求證：數(shù)列為等差數(shù)列；記數(shù)列的前項和為，求滿足的所有正整數(shù)和的值.【答案】(1);(2)①見解析②，．【分析】（1）當時，有，得，構造數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列,進而得通項;（2）①當時，有（），按照n被4整除的余數(shù)分四類分別證明數(shù)列為等差數(shù)列;②由①知，，則（）；由，得；按照,和時分別討論,求出正整數(shù)和.【詳解】（1）當時，有，得，令，，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；所以，即，所以（）．

（2）①當時，有（），（）時，，所以為等差數(shù)列；（）；（）時，，所以為等差數(shù)列；（）；（）時，，所以為等差數(shù)列；（）；（）時，，所以為等差數(shù)列；（）；所以（），，所以數(shù)列為等差數(shù)列．

②由①知，，則（）；由，得；當時，；當時，則，因為，所以；從而，因為和為正整數(shù)，所以不存在正整數(shù)；當時，則，因為為正整數(shù)，所以，從而，即，因為為正整數(shù)，所以或；當時，，不是正整數(shù)；當時，，不是正整數(shù)；綜上，滿足題意的所有正整數(shù)和分別為，．（七）對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題由正項開始的遞減等差數(shù)列的絕對值求和的計算題解題步驟如下：（1）首先找出零值或者符號由正變負的項（2）在對進行討論，當時，，當時，題型8：對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題8-1．（2024·遼寧大連·模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項；(2)求數(shù)列的前n項和為．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的性質列方程求出的公差即可求解；（2）由等差數(shù)列的求和公式求出，討論當時，，；當時，，，寫成分段的形式即可.【詳解】（1）設的公差為，則，解得，所以；（2）因為，所以，當時，，此時，，當時，，此時，，綜上所述：.8-2．（2024·全國）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進而可得結果；（2）先求，討論的符號去絕對值，結合運算求解.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因為，令，解得，且，當時，則，可得；當時，則，可得；綜上所述：.8-3．（2024高三·全國·專題練習）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且，，成等比數(shù)列．(1)求，；(2)若，求【答案】(1)或，或；(2)【分析】（1）根據(jù)等比中項列式求出，可得；（2）根據(jù)，得，，分類討論去絕對值，轉化為等差數(shù)列求和可得結果.【詳解】（1）由題意得，得，將代入并整理得，解得或．當時，．當時，．所以或；（2）設數(shù)列的前項和為，因為，由（1）得，．則當時，，則．當時，，則.綜上所述，.（八）等差數(shù)列中的范圍與恒成立問題與數(shù)列有關的恒成立問題主要有兩大類,一是根據(jù)數(shù)列不等式恒成立,求參數(shù)范圍,二是數(shù)列不等式的證明題型9：等差數(shù)列中的范圍與恒成立問題9-1．（2024高三上·重慶九龍坡·期中）等差數(shù)列的前n項和記為，已知，，若存在正數(shù)k，使得對任意，都有恒成立，則k的值為．【答案】9【分析】先根據(jù)條件解出首項與公差，再求取最大值時對應項數(shù).【詳解】，，所以當時取最大值，因為對任意，都有恒成立，所以k的值為故答案為9【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式與求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.9-2．（2024·上海楊浦·二模）數(shù)列滿足對任意恒成立，則.【答案】3031【分析】由已知再寫出，兩式相減可得數(shù)列的偶數(shù)項成等差數(shù)列，求出后，由等差數(shù)列的通項公式可得．【詳解】由，兩式相減得.而，∴.故答案為：3031．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的判斷，解題關鍵是由已知遞推式寫出相鄰式（用代）后兩式相減．9-3．（2024·安徽·模擬預測）已知數(shù)列滿足：，，，從第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數(shù)列．(1)求；(2)設，若恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，求出通項后，利用累加法求；（2）由已知條件求出，作差法判斷數(shù)列單調性，找到數(shù)列最大項，求出的取值范圍．【詳解】（1）由題意得，，，…，數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列，，，，，…，，將所有上式累加可得，．又也滿足上式，．（2）由（1）得，，則，恒成立，，恒成立，，即的取值范圍是．一、單選題1．（2024·河南鄭州·模擬預測）公差不為零的等差數(shù)列中，，則下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項求出，再利用基本不等式即可求出，對于CD選項，利用特殊值法反駁即可.【詳解】因為,所以,因為公差不為零,,所以，B正確，A錯誤，取,則,此時,C,D均不正確,故選：B.2．（2024·北京海淀·三模）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用反例說明充分性不成立，再根據(jù)等差數(shù)列的性質判斷必要性.【詳解】因為，所以且，則，若，不妨令，則，，，，，，顯然不單調，故充分性不成立，若為遞減數(shù)列，則不是常數(shù)數(shù)列，所以單調，若單調遞減，又在，上單調遞減，則為遞增數(shù)列，矛盾；所以單調遞增，則，且，其中當，時也不能滿足為遞減數(shù)列，故必要性成立，故“”是“為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B3．（2024高二上·浙江溫州·期末）在等差數(shù)列中，為的前n項和，，，則無法判斷正負的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列，，，可以求出，且，，，從而判斷出，，的正負，選出正確答案.【詳解】設公差為，因為，，可知：，且，，所以，從而，不確定正負，，故選：B4．（2024高二·全國·課后作業(yè)）設是等差數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調性的判定方法，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意可得公差，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，即充分性成立；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則必有，即必要性成立．故選：C．5．（2024高三上·北京·階段練習）已知等差數(shù)列單調遞增且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設出公差，根據(jù)單調遞增，得到，結合等差數(shù)列的性質得到，變形為，解不等式求出答案.【詳解】因為為等差數(shù)列，設公差為，因為數(shù)列單調遞增，所以，所以，則，解得：，故選：C6．（2024·江西上饒·模擬預測）2022年10月16日上午10時，舉世矚目的中國共產黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂隆重開幕，某單位組織全體人員在報告廳集體收看，已知該報告廳共有16排座位，共有432個座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（

）A．12 B．26 C．42 D．50【答案】C【分析】根據(jù)題意，把各排座位數(shù)看作等差數(shù)列，設等差數(shù)列通項為，首項為，公差為，前項和為，由已知求出，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式求出即可．【詳解】根據(jù)題意，把各排座位數(shù)看作等差數(shù)列，設等差數(shù)列通項為，首項為，公差為，前項和為，則，所以，解得，所以，故選：C．7．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則等于（

）A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質計算.【詳解】因為，所以.故選：B8．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）如果等差數(shù)列中，，那么（

）A．14 B．12 C．28 D．36【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質計算.【詳解】∵，∴，則，又，故.故選:C.9．（2024高三下·河南·階段練習）已知數(shù)列滿足，其前n項和為，若，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【分析】先利用等差中項判定數(shù)列為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列前n項和公式、等差數(shù)列的性質即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以.故選：C．10．（2024·陜西榆林·模擬預測）設為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的中項公式和等差數(shù)列的求和公式，準確運算，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列性質和的求和公式，可得，所以.故選：A.11．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差中項求解即可.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以，故選：A12．（2024·江西新余·二模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的公差為（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】由等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項和公式代入求解即可得出答案.【詳解】由可得：①，由可得：②，由①②可得：或(舍去).故選：A.13．（2024·四川涼山·三模）在等差數(shù)列中，，，則（

）．A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】由等差中項性質得，利用等差數(shù)列通項公式求基本量公差，進而寫出通項公式，即可得.【詳解】由題設，則，而，若等差數(shù)列公差為，則，所以，通項公式為，故.故選：C14．（2024·河北·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和是，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與前項和求解，即可求得.【詳解】由已知設等差數(shù)列的公差為，則，，解得，，所以．故選：D.15．（2024高三下·云南昆明·階段練習）已知數(shù)列滿足：，且滿足，則（

）A．1012 B．1013 C．2022 D．2023【答案】A【分析】變形得到，即中的奇數(shù)項是1為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求出答案.【詳解】因為，所以，兩式相減，得：，所以數(shù)列中的奇數(shù)項是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以.故選：A.16．（2024·北京）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】B【分析】首先求得數(shù)列的通項公式，然后結合數(shù)列中各個項數(shù)的符號和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項和最小項.【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.17．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知數(shù)列中，，當時，，，成等差數(shù)列.若，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得數(shù)列的遞推關系，再一一代入即可求解.【詳解】當時，，，成等差數(shù)列，則，由于，則，故選：D.18．（2024·全國）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結合數(shù)列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C19．（2024高二下·遼寧·階段練習）設函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列得出不等式組，最后通過計算即可得出結果.【詳解】因為，，所以，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，解得，即.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題考查了分段函數(shù)以及遞增數(shù)列的綜合應用，主要考查了分段函數(shù)的單調性，若分段函數(shù)為增函數(shù)，關鍵是函數(shù)在各段上均為增函數(shù)，且滿足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值，本題需要額外注意.20．（2024·北京·三模）等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的通項公式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式，可得出取最大值時對應的的取值，結合已知條件可得合適的選項.【詳解】由題意可知，，，則數(shù)列的最大項為.對于A選項，，當時，且數(shù)列為遞增數(shù)列，此時無最大項，A選項不滿足條件；對于B選項，由，可得，故數(shù)列中最大，B選項不滿足條件；對于C選項，，數(shù)列為遞增數(shù)列且當時，，此時無最大項，C選項不滿足條件；對于D選項，由，可得，故數(shù)列中最大，D選項滿足條件.故選：D.【點睛】方法點睛：在等差數(shù)列中，求的最?。ù螅┲档姆椒ǎ海?）利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和最小（大）；（2）借助二次函數(shù)的圖象及性質求解.21．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知等差數(shù)列公差不為0，正項等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設等差數(shù)列公差為，正項等比數(shù)列公比為，，，由可得出，從而分析出時，，時，．把方程變形為，引入函數(shù)，利用兩個函數(shù)的圖象可得結論．【詳解】設等差數(shù)列公差為，正項等比數(shù)列公比為，因為，所以，即，所以，又，所以，由得，，，所以時，，時，．，，由，，即，（*），令，，（*）式為，其中，且，由已知和是方程的兩個解，記，且，是一次函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質知當它們同增或同減時，圖象才能有兩個交點，即方程才可能有兩解（題中時，，時，，滿足同增減）．如圖，作出和的圖象，它們在和時相交，無論還是，由圖象可得，，，時，，時，，因此，，，，即，故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質，解題時由已知兩項相等得出公差和公比的關系，考慮到方程有兩解，把此方程變形為，引入函數(shù)，通過函數(shù)圖象觀察得到和的關系，從而由數(shù)形結合思想得出結論．22．（2024·海南海口·一模）家庭農場是指以農戶家庭成員為主要勞動力的新型農業(yè)經營主體．某家庭農場從2019年開始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30萬元，2021年的收益為50萬元．照此規(guī)律，從2019年至2026年該家庭農場的總收益為（

）A．630萬元 B．350萬元 C．420萬元 D．520萬元【答案】D【分析】分析可知該家庭農場的收益依次成等差數(shù)列，求出公差，利用等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】依題意，該家庭農場每年收益依次成等差數(shù)列，設為，可得，，所以公差為，所以2019年至2026年該家庭農場的總收益為，故選：D23．（2024·江西·模擬預測）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2023年是癸卯年，請問：在100年后的2123年為（

）A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【分析】根據(jù)題意，天干和地支的年份分別是以和為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質即可求解.【詳解】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，余數(shù)為0，故100年后天干為癸，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為未，綜上：100年后的2123年為癸未年.故選：A.二、多選題24．（2024·福建泉州·模擬預測）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，成等比數(shù)列，則（

）A． B．C．當時，是的最大值 D．當時，是的最小值【答案】ACD【分析】根據(jù)等比中項的性質得到方程，即可得到，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式、求和公式及單調性判斷即可.【詳解】因為，，成等比數(shù)列，所以，即，整理得，因為，所以，所以，則，故A正確、B錯誤；當時單調遞減，此時，所以當或時取得最大值，即，故C正確；當時單調遞增，此時，所以當或時取得最小值，即，故D正確；故選：ACD25．（2024·江蘇鹽城·三模）已知數(shù)列對任意的整數(shù)，都有，則下列說法中正確的有（

）A．若，則B．若，，則C．數(shù)列可以是等差數(shù)列D．數(shù)列可以是等比數(shù)列【答案】BC【分析】利用賦值，遞推式以及假設法，即可逐一選項進行判斷.【詳解】若，當時，，解得，故A錯；若，，當時，，解得，當時，，解得，，根據(jù)遞推關系可知，當為奇數(shù)，即時，，故B正確；若，則成立，故數(shù)列可以是等差數(shù)列，即C正確；若數(shù)列是等比數(shù)列，假設公比為，則由，得，兩式相除得，，即，解得，不符合題意，則假設不成立，故D錯.故選：BC26．（2024·安徽安慶·二模）已知為等差數(shù)列，前項和為，，公差d=?2，則（

）A．=B．當n=6或7時，取得最小值C．數(shù)列的前10項和為50D．當n≤2023時，與數(shù)列（mN）共有671項互為相反數(shù)．【答案】ACD【分析】由等差數(shù)列的首項和公差求出等差數(shù)列的通項公式，即可結合等差數(shù)列的性質判斷ACD,由數(shù)列的單調性可判斷B.【詳解】對于A，等差數(shù)列中，，公差，則，，故A正確；對于B，由A的結論，，則，由d=?2當時，，，當時，，則當或6時，取得最大值，且其最大值為，B錯誤；對于C,,故C正確，對于D，由，則，則數(shù)列中與數(shù)列中的項互為相反數(shù)的項依次為：，，，，，，可以組成以為首項，為公差的等差數(shù)列，設該數(shù)列為，則，若，解可得，即兩個數(shù)列共有671項互為相反數(shù)，D正確．故選：ACD．27．（2024·廣東佛山·模擬預測）已知數(shù)列，下列結論正確的有（

）A．若，，則B．若，，則C．若，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若為等差數(shù)列的前項和，則數(shù)列為等差數(shù)列【答案】ABD【分析】直接利用累加法可判斷選項A項；構造為等比數(shù)列可判斷B項；利用與的關系可求得通項公式即可判斷C項；利用等差數(shù)列的前n項和公式及定義法判斷等差數(shù)列即可判斷D項.【詳解】對于選項A，由，得，則，故A項正確；對于選項B，由得，所以為等比數(shù)列，首項為，公比為2，所以，所以，故B項正確；對于選項C，因為，當時，，當時，，將代入，得，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C項錯誤.對于選項D，設等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列前項和公式可得，所以與n無關，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D項正確.故選：ABD.三、填空題28．（2024高二·全國·專題練習）已知等差數(shù)列{an}的首項為3，公差為2，則a10＝．【答案】21【分析】應用等差數(shù)列的通項公式直接求第10項．【詳解】∵等差數(shù)列{an}的首項為3，公差為2，∴a10＝a1+9d＝3+9×2＝21．故答案為：21．29．（2024高三上·寧夏·期中）設等差數(shù)列的前項和為，若，，則【答案】27【分析】根據(jù)的定義，可得答案.【詳解】.故答案為：.30．（2024·上?！つM預測）已知是公差不為零的等差數(shù)列，且，則【答案】【分析】根據(jù)已知結合等差數(shù)列的通項公式，求出首項與公差的關系，將所求的式子用公差表示，即可求解.【詳解】由條件可知，.故答案為：【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式基本量的計算，以及等差數(shù)列性質的應用，考查計算求解能力，屬于基礎題.31．（2024·全國）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差．【答案】2【分析】轉化條件為，即可得解.【詳解】由可得，化簡得，即，解得.故答案為：2.32．（2024·上海·模擬預測）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前n項和，若，則中不同的數(shù)值有個.【答案】98【分析】由等差數(shù)前項和公式求出，從而，由此能求出結果．【詳解】解：等差數(shù)列的公差不為零，為其前項和，，，解得，，，，1，，中，，，其余各項均不相等，，1，，中不同的數(shù)值有：．故答案為：98．33．（2024·廣東佛山·模擬預測）設隨機變量的分布列如下：123456P其中，，…，構成等差數(shù)列，則.【答案】【分析】由等差數(shù)列的性質和離散型隨機變量的性質可求得結果.【詳解】因為，，…，構成等差數(shù)列，所以，因為，所以，故答案為：34．（2024·上海黃浦·三模）南宋的數(shù)學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應立體圖形作類比，推導出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則．

【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的遞推關系，利用累加法求出通項，再利用裂項相消法求和作答.【詳解】依題意，在數(shù)列中，，當時，，滿足上式，因此，，數(shù)列的前項和為，則，所以.故答案為：35．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知等差數(shù)列的首項，公差為，前項和為．若恒成立，則公差的取值范圍是．【答案】【分析】由題可得且，即可求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的前項和滿足恒成立，可知且，所以且，解得．故答案為：.36．（2024·云南·三模）已知為等差數(shù)列的前項和.若，，則當取最小值時，的值為.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標和性質得到，，即可判斷.【詳解】因為，所以，又，所以，則所以為遞增的等差數(shù)列，且，所以，即當取最小值時，的值為.故答案為：37．（2024高三上·上海嘉定·期中）已知等差數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，則的最小值是【答案】4【分析】若等差數(shù)列的各項均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，公差，從而表示出，根據(jù)其增減性，求得最小值.【詳解】若等差數(shù)列的各項均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，則公差，故為正整數(shù)，關于d單減，，則當時，故取得最小值為4，故答案為：438．（2024·全國·模擬預測）已知為等差數(shù)列的前項和，且，，則當取最大值時，的值為.【答案】7【分析】根據(jù)條件，由等差數(shù)列通項公式及求和公式求得首項和公差，從而變成函數(shù)問題，找到最大值.【詳解】方法一：設數(shù)列的公差為，則由題意得，解得則.又，∴當時，取得最大值.方法二：設等差數(shù)列的公差為.∵，∴，∴，解得，則，令解得，又，∴，即數(shù)列的前7項為正數(shù)，從第8項起各項均為負數(shù)，故當取得最大值時，.故答案為：7.39．（2024高三·全國·對口高考）已知等差數(shù)列的前項和為，若公差，；則的值為.【答案】【分析】設等差數(shù)列的奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項之和為，可得出，再由可求出、的值，即為所求結果.【詳解】設，，因為數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，，所以，解得，，所以.故答案為：.40．（2024高二上·上海長寧·階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則【答案】【分析】由等差數(shù)列片段和的性質知成等差數(shù)列，再由等差中項的性質求結果.【詳解】由題設成等差數(shù)列，所以，則，所以.故答案為：41．（2024·山東）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為．【答案】【分析】首先判斷出數(shù)列與項的特征，從而判斷出兩個數(shù)列公共項所構成新數(shù)列的首項以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結果.【詳解】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項和為，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關數(shù)列的問題，涉及到的知識點有兩個等差數(shù)列的公共項構成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡單題目.42．（2024·上海嘉定·三模）已知，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則.【答案】【分析】分析可知是正奇數(shù)列，根據(jù)題意求得，然后利用裂項相消法求和即可.【詳解】因為數(shù)列是正奇數(shù)列，對于數(shù)列，當為奇數(shù)時，設，則為偶數(shù)；當為偶數(shù)時，設，則為奇數(shù)，所以，則，所以.故答案為：.43．（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，公差d為奇數(shù)，且同時滿足：①存在最大值；②；③．則數(shù)列的一個通項公式可以為．（寫出滿足題意的一個通項公式）【答案】（答案不唯一）【分析】由可得，由存在最大值可得，結合d為奇數(shù)且可得的取值，從而可得.【詳解】由得，即．因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的性質可知．設等差數(shù)列的公差為d，則，．因為存在最大值，所以公差，又因為d為奇數(shù)且，故可?。敃r，，；當時，，；當時，，．故答案為：（答案不唯一）44．（2024·江蘇南京·模擬預測）設等差數(shù)列的前n項和為.已知，.若存在正整數(shù)k，使得對任意的都有恒成立，則k的值為．【答案】10【分析】根據(jù)等差數(shù)列解出首項與公差，寫出，找到取最大值時的值即為答案.【詳解】解：因為為等差數(shù)列，所以.所以，最大值為，．故答案為:10.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和的最值.屬于基礎題.熟練掌握等差數(shù)列的通項公式與前項和公式是解本題的關鍵.45．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，（），且，.若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由得，兩式相減可證明數(shù)列為等差數(shù)列，繼而可求出，令，通過可知，當時，數(shù)列單調遞減，故可求出最大值，進而可求的取值范圍.【詳解】由，可得.兩式相減，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列.因為，，所以，所以，，則.令，則.當時，，數(shù)列單調遞減，而，，，所以數(shù)列中的最大項為1，故，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為:.46．（2024高二下·北京·階段練習）設是公差為的無窮等差數(shù)列的前項和，則下列命題正確的是.①若，則數(shù)列有最大項；②若數(shù)列有最大項，則③若數(shù)列對任意的，恒成立，則④若對任意的，均有，則恒成立【答案】①②④【分析】①當時，分和討論判斷；②由時，存在，當時，判斷；③舉例判斷；④由對任意的，均有，得到，再分和判斷.【詳解】①當時，若，則數(shù)列有最大項為，若，則存在，有，所以數(shù)列有最大項為，故正確；②當時