重難專題02平面向量痛點(diǎn)問(wèn)題之三角形“四心”問(wèn)題

專題02平面向量痛點(diǎn)問(wèn)題之三角形“四心”問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：重心定理題型二：內(nèi)心定理題型三：外心定理題型四：垂心定理【知識(shí)點(diǎn)梳理】一、四心的概念介紹：（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1．（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等．（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直．二、三角形四心與推論：（1）是的重心：．（2）是的內(nèi)心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧與總結(jié)】（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上.為的內(nèi)心.（2）外心：為的外心.（3）垂心：為的垂心.（4）重心：為的重心.【典型例題】題型一：重心定理例1．（2023春·山東聊城·高一山東聊城一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)G是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則G點(diǎn)是三角形ABC的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【答案】D【解析】因?yàn)椋?以GA、GB為鄰邊作平行四邊形GADB，連接GD交AB于點(diǎn)O.如圖所示:則，所以，CO是AB邊上的中線，所以G點(diǎn)是△ABC的重心.故選：D例2．（2023春·山東·高一階段練習(xí)）已知G是的重心，點(diǎn)D滿足，若，則為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)镚是的重心，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以.故選：A例3．（2023春·上海金山·高一上海市金山中學(xué)?？计谀┯泝?nèi)角的對(duì)邊分別為，點(diǎn)是的重心，若則的取值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，作出圖形，因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以是的中點(diǎn)，故，由已知得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以，則，又因?yàn)?，所以，則，又由余弦定理得，所以，整理得，因?yàn)?，令，則，所以，則.故選：D.例4．（多選題）（2023春·安徽安慶·高一?？茧A段練習(xí)）在中，D，E，F(xiàn)分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】如圖：對(duì)于選項(xiàng)A，，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，點(diǎn)為的重心，則，即選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，即，即選項(xiàng)D正確，故選：BCD．題型二：內(nèi)心定理例5．（2023春·江蘇宿遷·高一沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)P為的內(nèi)心，，若，則______．【答案】【解析】在，由余弦定理得,設(shè)分別是邊上的切點(diǎn)，設(shè)，則，所以，由得，，即，①同理由,②聯(lián)立①②以及即可解得：，故答案為：例6．（多選題）（2023·高一單元測(cè)試）已知為所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為銳角的外心，且，則C．若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的重心D．若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的內(nèi)心【答案】ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，又因?yàn)闉榈拇剐?，所以，所以，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)榍?，所以，整理得：，即，設(shè)為中點(diǎn)，則，所以三點(diǎn)共線，又因?yàn)?，所以垂直平分，故，正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由正弦定理得，所以，設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，所以三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在邊的中線上，故點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的重心，正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，所以，所以，即，所以，故在中垂線上，故點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的外心，錯(cuò)誤.故選：ABC例7．（多選題）（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列命題正確的是（）A．若A＝30°，，，則△ABC有兩解B．若，則角A最大值為30°C．若，則△ABC為銳角三角形D．若，則直線AP必過(guò)△ABC內(nèi)心【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：bsinA＝4sin30°＝2，則bsinA＜a＜b，所以，△ABC有兩解，A選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)（以為基底），則，∵∴=0則，即∴∵，∴，B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C：∵，∴，又∴C為銳角若C為最大角，則△ABC為銳角三角形，否則△ABC為銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：∵表示與同向的單位向量，表示與同向單位向量

又∵與不共線∴與菱形對(duì)角線向量共線∴直線AP為角A的角平分線，即直線AP必過(guò)△ABC內(nèi)心，D選項(xiàng)正確．故選：ABD．例8．（2023春·上海浦東新·高一?？计谀┮阎c(diǎn)是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】分別表示方向的單位向量，令，，則，即，又，以為一組鄰邊作一個(gè)菱形，則點(diǎn)P在該菱形的對(duì)角線上，所以點(diǎn)P在，即的平分線上，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心.故選：B..例9．（2023春·陜西西安·高一陜西師大附中?？计谥校┮阎狾是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【解析】因?yàn)闉榉较蛏系膯挝幌蛄?，為方向上的單位向量，則的方向與的角平分線一致，由，可得，即，所以點(diǎn)P的軌跡為的角平分線所在直線，故點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的內(nèi)心.故選：C.例10．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知為所在平面上的一點(diǎn)，且.若，則是的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．外心 D．垂心【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以在角A的平分線上，故點(diǎn)I在的平分線上，同理可得，點(diǎn)I在的平分線上，故點(diǎn)I在的內(nèi)心，故選：B.例11．（2023春·四川成都·高一樹(shù)德中學(xué)校考競(jìng)賽）在△ABC中，，O為△ABC的內(nèi)心，若，則x＋y的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖：圓O在邊上的切點(diǎn)分別為，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)設(shè)，則，則設(shè)∵三點(diǎn)共線，則，即即故選：D．題型三：外心定理例12．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高一東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)為銳角的外心（三角形外接圓圓心），．若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取中點(diǎn)，連接，為的外心，，，，三點(diǎn)共線，，，，，，，，即，，，則，解得：.故選：A.例13．（2023·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知是的外心，且滿足，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，所以外心與中點(diǎn)重合，故為直角三角形.設(shè)，則，，，設(shè)為方向上的單位向量，則在上的投影向量為.故選：C.例14．（2023春·廣東深圳·高一?？计谥校┮阎獮榈耐庑模?，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闉榈耐庑?，所以，設(shè)，又，，，且，，且，.故選:C.例15．（2023春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）設(shè)O為的外心，且滿足，，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③.A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，即，所以，故①正確，所以，即，所以，故②正確；因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以，則，所以，所以，即，故③正確；故選：A例16．（2023春·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）在中，是邊上的點(diǎn)，且為的外心，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，則是的中點(diǎn)，所以，設(shè)外接圓的半徑為，所以．故選：B．例17．（2023春·河南許昌·高一統(tǒng)考期末）已知P在所在平面內(nèi)，滿足，則P是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】表示到三點(diǎn)距離相等，為外心．故選：A．例18．（2023春·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為的外心，若AB=1，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，如圖所以.故選：B.題型四：垂心定理例19．（2023春·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)是的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】D【解析】，得，即；，得，即；，，即，所以為的垂心.故選：D.例20．（2023春·河南商丘·高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)H是的垂心，且，則_____．【答案】【解析】∵H是的垂心，∴，，∴，同理可得，，故，∵，∴，∴，同理可求得，∴，，∴，即.故答案為：．例21．（2023春·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）已知在中，，點(diǎn)為的垂心，則=________．【答案】18【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)?，點(diǎn)為的垂心，所以為的中點(diǎn)，，所以，故答案為：18【同步練習(xí)】一、單選題1．（2023·浙江紹興·高三期末）邊長(zhǎng)為2的正中，G為重心，P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．1 B．2C． D．【答案】B【解析】如圖：以所在直線為軸，線段的垂直平分線所在直線為軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意可知：，因?yàn)镚為的重心，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，所以，，則，故選：．2．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考期末）中，為邊上的高且，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】設(shè)，，以為原點(diǎn)，、方向?yàn)?、軸正方向如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，則，，，，則，設(shè)，則，，，即，即點(diǎn)的軌跡方程為，而直線平分線段，即點(diǎn)的軌跡為線段的垂直平分線，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的外心，故選：A.3．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考期末）在△ABC中，O為重心，D為BC邊上近C點(diǎn)四等分點(diǎn)，，則m＋n＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，所以，所以，.故選：B.4．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）在中，，點(diǎn)D，E分別在線段，上，且D為中點(diǎn)，，若，則直線經(jīng)過(guò)的（

）.A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】因?yàn)椋褼為中點(diǎn)，，則，又因?yàn)?，則可得四邊形為菱形，即為菱形的對(duì)角線，所以平分，即直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)心故選:A5．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）設(shè)為的重心，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闉橹匦模?，所以，故選：B.6．（2023春·河北邯鄲·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知O是的外心,且滿足,若在上的投影向量為,則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解:由題知,,所以,即,所以三點(diǎn)共線,且是的中點(diǎn),因?yàn)镺是的外心,所以是圓的直徑,故是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形,過(guò)向作垂線,垂足為,連接,如圖所示:因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?所以在上的投影向量為:,而,則.故選:C.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的外心滿足，，則的面積為（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，則可化為即為，三點(diǎn)共線且，為等腰三角形，由垂徑定理得，代入數(shù)據(jù)得,解之：，.故選：B.8．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過(guò)的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】，令，則是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，即在的平分線上，，共線，故點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心，故選：B9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知P是的外心，且，則cosC=（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】因?yàn)镻是的外心，所以，由題知，兩邊平方得即,即，所以，則，又由，得，因?yàn)椋瑒tC與外心P在AB的異側(cè)，即C在劣弧上，所以C為鈍角，即.故選：B10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，為的外心，，，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為D,E，連接OD,OE,則,故，即,即，故,，即,即，故,故,故選：B11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，，，是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若，一定是的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心【答案】C【解析】由題意知，中，，則，即，所以，即，同理，，；所以是的垂心.故選：C12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)是的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】D【解析】，得，即；，得，即；，，即，所以為的垂心.故選：D.13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】記點(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.故選：B14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)O是△ABC的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】C【解析】作BD∥OC，CD∥OB，連接OD，OD與BC相交于點(diǎn)G，則BG=CG(平行四邊形對(duì)角線互相平分)，∴，又，可得=，∴=，∴A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線，同理，BO，CO也在△ABC的中線上.∴點(diǎn)O為三角形ABC的重心.故選：C.15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是平面上的一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（

）A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心【答案】C【解析】設(shè)為的中點(diǎn)，則，則，即，三點(diǎn)共線，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以是邊的中線，所以點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心.故選：C.16．（2023·廣西欽州·高三校考階段練習(xí)）在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【答案】C【解析】設(shè)的中點(diǎn)是，，即，所以，所以動(dòng)點(diǎn)在線段的中垂線上，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的外心，故選：C.17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知H為的垂心，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】依題意，，同理．由H為△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．故選：C．18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是的垂心，延長(zhǎng)交與點(diǎn)，∴，同理可得，∴：，又，∴，又，∴，不妨設(shè)，其中，∵，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則都是鈍角，則，矛盾.故，則，∴是銳角，，于是，解得.故選：A.二、多選題19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則以下說(shuō)法正確的有（）A．若，則點(diǎn)O為的重心B．若，則點(diǎn)為的垂心C．若，則點(diǎn)為的外心D．若，則點(diǎn)為的內(nèi)心【答案】AC【解析】對(duì)于A，設(shè)邊、、的中點(diǎn)分別為、、,則，所以所以、、三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在中線上，同理點(diǎn)在中線上，則是的重心.故A正確對(duì)于B，若，則，所以所以為的外心，故B錯(cuò)誤對(duì)于C，設(shè)邊、、的中點(diǎn)分別為點(diǎn)、、，則,所以為線段的中垂線，同理、分別為線段、的中垂線，所以是的外心，故C正確對(duì)于D，由已知，，即垂直，也即點(diǎn)在邊的高上；同理，點(diǎn)也在邊的高上，所以則是的垂心，故D錯(cuò)誤.故選：AC20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個(gè)定理：“三角形的外心?垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半，”這就是著名的歐拉線定理.設(shè)中，點(diǎn)O?H?G分別是外心?垂心和重心，下列四個(gè)選項(xiàng)中結(jié)論正確的是(

)A． B．C． D．【答案】ABC【解析】如圖：根據(jù)歐拉線定理可知，點(diǎn)O?H?G共線，且.對(duì)于A，∵，∴，故A正確；對(duì)于B，G是重心，則延長(zhǎng)AG與BC的交點(diǎn)為BC中點(diǎn)，且AG