課時分層作業(yè)9計算導(dǎo)數(shù)

課時分層作業(yè)(九)(建議用時：60分鐘)[基礎(chǔ)達標(biāo)練]一、選擇題1．下列結(jié)論正確的是()A．若y＝cosx，則y′＝sinxB．若y＝sinx，則y′＝－cosxC．若y＝eq\f(1,x)，則y′＝－eq\f(1,x2)D．若y＝eq\r(x)，則y′＝eq\f(\r(x),2)C[∵(cosx)′＝－sinx，∴A不正確；∵(sinx)′＝cosx，∴B不正確；∵(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴D不正確．]2．在曲線f(x)＝eq\f(1,x)上切線的傾斜角為eq\f(3,4)π的點的坐標(biāo)為()A．(1,1) B．(－1，－1)C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1)D[切線的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，設(shè)切點為(x0，y0)，則f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴－eq\f(1,x\o\al(2,0))＝－1，∴x0＝1或－1，∴切點坐標(biāo)為(1,1)或(－1，－1)．故選D.]3．對任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，則此函數(shù)解析式為()A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝x4－1B[由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4項，然后將x＝1代入選項中驗證可得，選B.]4．已知曲線y＝x3在點(2,8)處的切線方程為y＝kx＋b，則k－b＝()A．4 B．－4C．28 D．－28C[∵y′＝3x2，∴點(2,8)處的切線斜率k＝f′(2)＝12．∴切線方程為y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.]5．若f(x)＝sinx，f′(α)＝eq\f(1,2)，則下列α的值中滿足條件的是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C.eq\f(2,3)π D.eq\f(5,6)πA[∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx.又∵f′(α)＝cosα＝eq\f(1,2)，∴α＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)．當(dāng)k＝0時，α＝eq\f(π,3).]二、填空題6．曲線y＝2lnx在點(1,0)處的切線方程為________．y＝2x－2[∵y＝2lnx，∴y′＝eq\f(2,x)，當(dāng)x＝1時，y′＝2．∴曲線y＝2lnx在點(1,0)處的切線方程為y＝2x－2．]7．直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線f(x)＝lnx(x＞0)的一條切線，則實數(shù)b＝________.ln2－1[設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，則y0＝lnx0.∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，∴f′(x0)＝eq\f(1,x0)，由題意知eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，∴x0＝2，y0＝ln2．由ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1．]8．已知函數(shù)y＝f(x)的圖像在M(1，f(1))處的切線方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，則f(1)＋f′(1)＝__________.3[依題意知，f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，f′(1)＝eq\f(1,2)，∴f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.]三、解答題9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝xeq\r(x)；(2)y＝eq\r(5,x3)；(3)y＝log2x2－log2x；(4)y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4))).[解](1)y′＝(xeq\r(x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up12(eq\f(3,2))))eq\s\up12(′)＝eq\f(3,2)xeq\s\up12(eq\f(3,2)－1)＝eq\f(3,2)eq\r(x).(2)y′＝(eq\r(5,x3))′＝(xeq\s\up12(eq\f(3,5)))′＝eq\f(3,5)xeq\s\up12(eq\f(3,5)－1)＝eq\f(3,5)xeq\s\up15(－eq\f(2,5))＝eq\f(3,5\r(5,x2)).(3)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝eq\f(1,xln2).(4)∵y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))＝2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,4)－1))＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.10．若曲線y＝xeq\s\up12(－eq\f(1,2))在點(a，aeq\s\up12(－eq\f(1,2)))處的切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，求a的值．[解]y′＝－eq\f(1,2)xeq\s\up12(－eq\f(3,2))，所以曲線y＝xeq\s\up12(－eq\f(1,2))在點(a，aeq\s\up12(－eq\f(1,2)))處的切線方程為y－aeq\s\up12(－eq\f(1,2))＝－eq\f(1,2)aeq\s\up12(－eq\f(3,2))(x－a)．由x＝0得y＝eq\f(3,2)aeq\s\up12(－eq\f(1,2))，由y＝0得x＝3a，所以eq\f(1,2)·eq\f(3,2)aeq\s\up12(－eq\f(1,2))·3a＝18，解得a＝64.[能力提升練]1．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2016(x)＝()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosxA[f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4為最小正周期，故f2016(x)＝f0(x)＝sinx．]2．已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實數(shù)k的值為()A．eq\f(1,e) B．－eq\f(1,e)C．－e D．eD[y′＝ex，設(shè)切點為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝keq\s\up8(x0)，,y0＝eeq\s\up8(x0)，,k＝eeq\s\up8(x0)，))∴eeq\s\up8(x0)＝eeq\s\up8(x0)·x0，∴x0＝1，∴k＝e.]3．已知函數(shù)f(x)＝tanx，則f(x)的圖像在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\r(3)))處的切線方程為________．4x－y＋eq\r(3)－eq\f(4π,3)＝0[f′(x)＝eq\f(1,cos2x)，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝4，即所求切線的斜率為4，故切線方程為y－eq\r(3)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即4x－y＋eq\r(3)－eq\f(4π,3)＝0.]4．點P是f(x)＝x2上任意一點，則點P到直線y＝x－1的最短距離是__________．eq\f(3\r(2),8)[與直線y＝x－1平行的f(x)＝x2的切線的切點到直線y＝x－1的距離最?。O(shè)切點為(x0，y0)，則f′(x0)＝2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))到直線y＝x－1的距離最短．∴d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－1)),\r(12＋12))＝eq\f(3\r(2),8).]5．求證：曲線xy＝1上任何一點處的切線與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積為常數(shù)．[證明]由xy＝1，得y＝eq\f(1,x)，所以y′＝－eq\f(1,x2).在曲線xy＝1上任取一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，則過點P的切線的斜率k＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))，切線方程為y－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)，即y＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))x＋eq