高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考模擬試題三

高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考模擬試題三數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、班級(jí)、學(xué)校在答題卡上填寫(xiě)清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試卷上作答無(wú)效.3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回，試卷自行保存.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，進(jìn)而求得的虛部.【詳解】，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D2．在中，設(shè)，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用向量線性運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】∵，∴D為BC的中點(diǎn)，∴，又∵，，∴.故選：A.3．已知中，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖可得是點(diǎn)到的距離，根據(jù)平面向量的基本定理可得當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)取得最小值，利用余弦定理求得即可.【詳解】如圖，由平面向量的加法法則可得是點(diǎn)到的距離，依題意得為等腰直角三角形，斜邊為斜邊的兩個(gè)四等分點(diǎn)，因?yàn)?，且，所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，由圖易得，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，取得最小值，由余弦定理，得，所以.故選：C.4．已知點(diǎn)，，向量，，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，，結(jié)合平面向量的夾角公式即可求得答案．【詳解】由題意，得，，則與的夾角的余弦值為．故選：A．5．鄂州十景之一“二寶塔”中的文星塔位于文星路與南浦路交匯處，至今四百六十多年的歷史，該塔為八角五層樓閣式磚木混合結(jié)構(gòu)塔.現(xiàn)在在塔底共線三點(diǎn)、、處分別測(cè)塔頂?shù)难鼋菫?、、，且米，則文星塔高為（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】B【分析】設(shè)建筑物的高為，用表示、、，利用結(jié)合余弦定理求出的值，即可得解.【詳解】如下圖所示：設(shè)建筑物的高為，則，，，由余弦定理可得，，因?yàn)?，故，即，可?故選：B.6．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足．若為銳角三角形，且a=3，則當(dāng)面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用正弦定理角化邊整理可得，由余弦定理可得，結(jié)合面積公式和基本不等式分析可得當(dāng)為等邊三角形時(shí)，面積取到最大值，再利用等面積法求內(nèi)切圓半徑即可.【詳解】∵，則，整理得，則，∵為銳角三角形，則，故，由面積為，可得當(dāng)面積取到最大值，即為取到最大值，∵，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即為等邊三角形時(shí)等號(hào)成立，故當(dāng)為等邊三角形時(shí)，面積取到最大值，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，解得，故內(nèi)切圓面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形求面積的取值范圍（或最值）的兩種方法：（1）利用余弦定理建立三邊之間的關(guān)系，結(jié)合不等式求取值范圍（或最值）；（2）利用正弦定理將邊化為角，再結(jié)合三角恒等變換和三角函數(shù)求取值范圍（或最值）.7．已知非零向量，滿足，且，則為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】由左右互除得出，再由，得出，即可得出答案.【詳解】，，，，為等腰三角形，又，，，又，所以，為等邊三角形，故選：D.8．如圖所示，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，若P為該正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A．[2，6] B．[2，6] C．[4，12] D．[4，12]【答案】B【分析】以正六邊形的中心為原點(diǎn)，所在的直線為軸，的中垂線所在的直線為軸，建立坐標(biāo)系，利用的運(yùn)算求解.【詳解】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：因?yàn)檎呅蔚倪呴L(zhǎng)為2，所以，，，設(shè)，則，所以，由題意可知，所以，所以，即.故選：B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．設(shè)向量，，則（

）A． B．與的夾角為 C． D．【答案】AD【分析】利用向量的坐標(biāo)即可計(jì)算向量的模長(zhǎng)，向量夾角，利用向量坐標(biāo)與空間位置的關(guān)系即可判斷出兩向量位置關(guān)系.【詳解】，，故，A正確；且，故與的夾角為，B錯(cuò)誤；，由此知：不存在實(shí)數(shù)λ使成立，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：AD10．已知復(fù)數(shù)，則對(duì)任意的復(fù)數(shù)，下列各式始終成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】設(shè)（a，b均不為0），，然后逐一化簡(jiǎn)判斷即可.【詳解】設(shè)，a，b均不為0，設(shè)，則對(duì)于A：，，故A正確；對(duì)于B：，，故B正確；對(duì)于C：，，故C不正確；對(duì)于D：，故D正確.故選：ABD．11．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．“為銳角三角形”是“”的充分不必要條件B．若，則為等腰三角形C．命題“若，則”是真命題D．若，，，則符合條件的有兩個(gè)【答案】AC【分析】由為銳角三角形，可得，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性以及誘導(dǎo)公式可得.取為鈍角，可知滿足題意，即可判斷A項(xiàng)；由已知可得或，即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)正弦定理，即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)余弦定理可求出，即可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若為銳角三角形，則，，且，即，又，，則；反之，若為鈍角，滿足，不能推出為銳角三角形，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，由，得或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，若，則，由正弦定理，可得即成立，故C正確：對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)余弦定理可得，解得（舍去負(fù)值），則符合條件的只有一個(gè)，故D錯(cuò)誤．故選：AC.12．是的重心，，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量等于C．D．的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合重心的性質(zhì)判斷A，根據(jù)投影向量的定義判斷B，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律判斷CD.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)為的重心時(shí)，如圖所示：四邊形為平行四邊形，根據(jù)重心性質(zhì)可得.則，∴A正確；對(duì)于B，∵在方向上的投影為，∴在方向上的投影向量為，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵是的重心，∴，，∴，所以，∴C正確；對(duì)于D，如下圖，取的中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則，，，則，顯然當(dāng)重合時(shí)，，取最小值，∴D正確.故選：ACD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知向量，若，則__________.【答案】3【分析】求出，利用模長(zhǎng)公式列出方程，求出.【詳解】因?yàn)?，所以，解?.故答案為：314．已知，，，則______．【答案】【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)運(yùn)算可求得，代入即可整理求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，，，，，解得：，，.故答案為：.15．在中，過(guò)重心G的直線交邊AB于點(diǎn)P，交邊AC于點(diǎn)Q，設(shè)的面積為，的面積為，且，則的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【分析】利用三角形面積公式求得面積比與參數(shù)之間的等量關(guān)系，結(jié)合向量共線定理的推論，找到之間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，即可求得取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，連接，作圖如下：，在三角形中，因?yàn)闉槠渲匦?，故可得結(jié)合已知條件可得：，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故可得，即，由題設(shè)可知，，又，得，故，令，可得，，則，又在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量共線定理及其推論，處理問(wèn)題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用定理以及推論，同時(shí)要注意參數(shù)范圍的求解以及對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬綜合中檔題.16．在銳角中，角所對(duì)的邊分別為為的面積，且，則的取值范圍___________.【答案】【分析】利用三角形面積公式與余弦定理,可得，再根據(jù)同角關(guān)系式可得，，然后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡(jiǎn)可得出，結(jié)合條件可得的取值范圍，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，由余弦定理得：，所以，又，所以，解得：或，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，因?yàn)椋?，由正弦定理得：，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即,所以，所以，所以，所以，，故.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．已知復(fù)數(shù)，．(1)若z是實(shí)數(shù)，求m的值．(2)若z是純虛數(shù)，求m的值．(3)若z對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，求m的范圍；【答案】(1)或；(2)；(3).【分析】（1）由復(fù)數(shù)的概念可得，解出即可得到結(jié)果；（2）由復(fù)數(shù)的概念可得，解出即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得，解出不等式組即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得或.（2）因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以有，解得.（3）因?yàn)閷?duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，所以有，解得.18．在中，已知．(1)求；(2)若是邊上的一點(diǎn)，且，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用正弦定理角化邊，再由余弦定理邊化角，化簡(jiǎn)得，可求；（2）由，可得，兩邊平方得，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可得，可求面積的最大值.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，由余弦定理得，故，又C為三角形內(nèi)角，.（2），由，則，可得，則有，即，整理得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故面積的最大值為.19．在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，.(1)求角C和邊c的大小.(2)求周長(zhǎng)的范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)等式，結(jié)合角的范圍可得C，再由正弦定理及求得c；（2）結(jié)合正弦定理有，結(jié)合角的關(guān)系及三角恒等變換化簡(jiǎn)求范圍即可.【詳解】（1），∵，，∴，∴.由及正弦定理得；（2）由正弦定理得，∴.∵，∴，∴.∴周長(zhǎng).20．在斜三角形中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角的大??；(2)若，且上的中線長(zhǎng)為，求斜三角形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理將已知式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用余弦定理即可求出角的大??；（2）根據(jù)為為上的中線得，結(jié)合余弦定理求出，進(jìn)而求出面積.【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得：，即，所以，又，所以，所?（2）因?yàn)闉樯系闹芯€，所以，即，所以，即，所以

①，由余弦定理可得：，所以

②①②得：，所以.21．如圖所示，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段靠近的三等分點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的直線與邊分別交于點(diǎn).設(shè)，其中.(1)試用與表示，寫(xiě)出過(guò)程；(2)求證：為定值，并求此定值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由平面向量基本定理可得答案；（2）由平面向量基本定理、向量的三點(diǎn)共線可得答案.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以，；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，可得為定值.22．在學(xué)習(xí)向量三點(diǎn)共線定理時(shí)，我們知道當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)，且時(shí)，（如圖1），小明同學(xué)提出了如下兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們幫助小明解答．(1)當(dāng)或時(shí)，O、P兩點(diǎn)的位置與AB所在直線之間存在什么關(guān)系？寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，射線，點(diǎn)P在由射線OM、線段OA及BA的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，求實(shí)數(shù)x的取值范圍，并求當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)y的取值范圍．【答案】(1)若，則，在直線AB異側(cè)；若，則，在直線AB同側(cè)；理由見(jiàn)解析(2)實(shí)數(shù)的取值范圍是，【分析】（1）運(yùn)用平面向量基本定理、平面共線定理判斷即可；（2）運(yùn)用平面向量基本定理、平面向量加法的平行四邊形法和三點(diǎn)共線的結(jié)論可解決此問(wèn)題．【詳解】（1）若，則，在直線AB異側(cè)；若，則，在直線AB同側(cè)．理由如下：設(shè)，則由，得：，則在直線上有一點(diǎn)，使得，如下圖所示：則，即，當(dāng)時(shí)，則與同向，且，由平面共線定理可得，，在直線AB異側(cè)；當(dāng)時(shí)，與反向，如下圖所示，且，由