87均值與方差在生活中的運用（基礎(chǔ)）（原卷版）

8.7均值與方差在生活中的運用（基礎(chǔ)）1．（2021·貴州高三一模（理））2020年遵義市高中生詩詞大賽如期舉行，甲、乙兩校進入最后決賽的第一環(huán)節(jié)．現(xiàn)從全市高中老師中聘請專家設(shè)計了第一環(huán)節(jié)的比賽方案：甲、乙兩校從6道不同的題目中隨機抽取3道分別作答，已知這6個問題中，甲校選手只能正確作答其中的4道，乙校選手正確作答每道題目的概率均為，甲、乙兩校對每道題的作答都是相互獨立，互不影響的．（1）求甲、乙兩?？偣舱_作答2道題目的概率；（2）請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩校哪所學(xué)校獲得第一環(huán)節(jié)勝利的可能性更大？2．（2021·河北滄州·）在我國，月日的月日數(shù)恰好與火警號碼相同，而且這一天前后，正值風(fēng)干物燥、火災(zāi)多發(fā)之際，全國各地都在緊鑼密鼓地開展冬季防火工作，為增加全民的消防安全意識，于年發(fā)起，公安部將每年的月日定為全國的“消防日”．為切實提高中學(xué)生消防安全知識，增強火災(zāi)的應(yīng)對能力，某市特舉辦以“消防安全進萬家，平安相伴你我他”為主題的知識競賽，甲、乙同學(xué)將代表學(xué)校參加．為取得好成績，二人在消防知識題庫中各隨機選取題練習(xí)，每題答對得分，答錯得分，練習(xí)結(jié)果甲得分，乙得分．若以二人練習(xí)中答題正確的頻率作為競賽答題正確的概率，回答下列問題．競賽第一環(huán)節(jié)，要求甲乙二人各選兩題做答，每題答對得分，答錯不得分，求甲乙二人得分和的概率分布列和期望；第二環(huán)節(jié)中，要求二人自選兩道題或四道題做答，要求一半及一半以上正確才能過關(guān)，那么甲乙二人怎樣選擇，各自過關(guān)的可能性較大．3．（2021·廣東羅湖·深圳第三高中高三月考）某班體育課組織籃球投籃考核，考核分為定點投籃與三步籃兩個項目.每個學(xué)生在每個項目投籃5次，以規(guī)范動作投中3次為考核合格，定點投籃考核合格得4分，否則得0分；三步籃考核合格得6分，否則得0分.現(xiàn)將該班學(xué)生分為兩組，一組先進行定點投籃考核，一組先進行三步籃考核，若先考核的項目不合格，則無需進行下一個項目，直接判定為考核不合格；若先考核的項目合格，則進入下一個項目進行考核，無論第二個項目考核是否合格都結(jié)束考核.已知小明定點投籃考核合格的概率為0.8，三步籃考核合格的概率為0.7，且每個項目考核合格的概率與考核次序無關(guān).（1）若小明先進行定點投籃考核，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先進行哪個項目的考核？并說明理由.4．（2021·河北高三月考）甲、乙、丙三臺機床同時生產(chǎn)一種零件，在10天中，甲、乙機床每天生產(chǎn)的次品數(shù)如下表所示：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天甲0102233120乙2411021101（1）若從這10天中隨機選取1天，設(shè)甲機床這天生產(chǎn)的次品數(shù)為X，求X的分布列；（2）已知丙機床這10天生產(chǎn)次品數(shù)的平均數(shù)為，方差為．以平均數(shù)和方差為依據(jù)，若要從這三臺機床中淘汰一臺，你應(yīng)該怎么選擇？這三臺機床你認(rèn)為哪臺性能最好？5．（2021·廣東揭陽·高三模擬預(yù)測）小田開小汽車上班的道路要經(jīng)過5個紅綠燈路口，若小田到達(dá)每一個路口是相互獨立的，到達(dá)每一個路口遇到紅燈的概率都為，遇到綠燈的概率都為.（1）若小田從出門到第一個路口和最后一個路口到辦公室各需要5分鐘，在路口遇到紅燈的平均等待時間為1分鐘，每兩個路口之間的行駛時間為2分鐘，求小田從出門到辦公室的時間的平均值；（2）小田騎電動車上班的道路只要經(jīng)過3個紅綠燈路口(只有紅燈或綠燈)，隨機到達(dá)第一個路口遇到紅燈?綠燈的概率都為，一個路口遇到紅燈時下一個路口遇到紅燈和一個路口遇到綠燈時下一個路口遇到綠燈的概率都為，求小田遇到紅燈個數(shù)的平均值；（3）若小田騎電動車走道路，從出門到第一個路口和最后一個路口到辦公室各需要4分鐘，在路口遇到紅燈的平均等待時間為1分鐘，每兩個路口之間的行駛時間為5分鐘.從時間來考慮，請問小田上班是開小汽車好，還是騎電動車好？6．（2021·甘肅靖遠(yuǎn)·高三模擬預(yù)測（理））隨著移動網(wǎng)絡(luò)的飛速發(fā)展，人們的生活發(fā)生了很大變化，其中在購物時利用中的支付寶?微信等APP軟件進行掃碼支付也日漸流行開來.某商場對近幾年顧客使用掃碼支付的情況進行了統(tǒng)計，結(jié)果如下表：年份20162017201820192020年份代碼x12345使用掃碼支付的人次y(單位：萬人)512161921（1）觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，使用掃碼支付的人次y與年份代碼x的關(guān)系滿足經(jīng)驗關(guān)系式：，通過散點圖可以發(fā)現(xiàn)y與x之間具有相關(guān)性.設(shè)，利用與x的相關(guān)性及表格中的數(shù)據(jù)求出y與x之間的回歸方程，并估計2021年該商場使用掃碼支付的人次；（2）為提升銷售業(yè)績，該商場近期推出兩種付款方案：方案一：使用現(xiàn)金支付，每滿200元可參加1次抽獎活動，抽獎方法如下：在抽獎箱里有8個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球有3個，黑球有5個)，顧客從抽獎箱中一次性摸出3個球，若摸到3個紅球，則打7折；若摸出2個紅球則打8折，其他情況不打折.方案二：使用掃碼支付，此時系統(tǒng)自動對購物的顧客隨機優(yōu)惠，據(jù)統(tǒng)計可知，采用掃碼支付時有的概率享受8折優(yōu)惠，有的概率享受9折優(yōu)惠，有的概率享受立減10元優(yōu)惠.若小張在活動期間恰好購買了總價為200元的商品.（i）求小張選擇方案一付款時實際付款額X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）試比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個方案更劃算？附：最小二乘法估計公式：經(jīng)過點的回歸直線為相關(guān)數(shù)據(jù)：(其中.7．（2021·河北高三模擬預(yù)測）某市甲?乙兩個企業(yè)都生產(chǎn)某種產(chǎn)品，貿(mào)易部門為將該種產(chǎn)品擴大市場份額，推向國內(nèi)外，創(chuàng)造更高的收益，準(zhǔn)備從甲?乙兩個企業(yè)中選取優(yōu)質(zhì)的產(chǎn)品，參加2021年的廣交會.現(xiàn)從甲?乙兩個企業(yè)中各隨機抽取5件產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測，得到質(zhì)量指數(shù)如下表：甲9089938791乙9189908892規(guī)定：質(zhì)量指數(shù)在90以上(包括90)的視為“優(yōu)質(zhì)品”，質(zhì)量指數(shù)低于90的視為“合格品”以此樣本估計總體，頻率作為概率，求解以下問題：（1）若從甲?乙兩個企業(yè)的優(yōu)質(zhì)品中隨機取出2件去參加2021年的廣交會，求取出的2件優(yōu)質(zhì)品恰好都是甲企業(yè)的優(yōu)質(zhì)品的概率；（2）從乙企業(yè)的5件產(chǎn)品中隨機取出1件，若為合格品則另放入1件優(yōu)質(zhì)品，直到取出的是優(yōu)質(zhì)品，求取得合格品次數(shù)X的分布列和期望；（3）若兩個企業(yè)中只能選一個企業(yè)參加這次廣交會，如果你是該市貿(mào)易部門的負(fù)責(zé)人，從產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性方面考慮，你會選擇哪個企業(yè)？8．（2021·廣州市第一中學(xué)高三月考）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.9．（2021·深圳市龍崗區(qū)龍城高級中學(xué)高三月考）某產(chǎn)品每件成本元，買方收貨前要進行質(zhì)量檢測，檢測方案規(guī)定：每件產(chǎn)品隨機檢測件，若合格，按一等品付款，每件售價元；若檢測到次品，在剩余的產(chǎn)品中再隨機檢測件，若合格則按一等品付款，每件售價元；若仍然檢測到次品，按二等品付款，每件售價元.檢測后的合格品需要重新包裝，每件需花費元；次品不再出售.若出售后發(fā)現(xiàn)一件一等品為次品需換貨并支付售價的倍賠款；根據(jù)以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該產(chǎn)品的次品率為（按每件有件次品計算）.（1）求該產(chǎn)品檢測為一等品的概率；（2）為加大檢測力度，質(zhì)檢部門提出新的檢測方案：每件產(chǎn)品隨機檢測件，若全部合格，按一等品付款；若檢測到次品，在剩余的產(chǎn)品中再隨機檢測件，若全部合格按一等品付款；若仍然檢測到次品，按二等品付款.根據(jù)件產(chǎn)品凈利潤，試比較原檢測方案合理還是新檢測方案合理.10．（2021·合肥市第六中學(xué)高三模擬預(yù)測（理））高一某學(xué)生參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競賽選拔考試，本次考試共有道選擇題組成.得分規(guī)定：做對一道題得分，做錯一道題得分，不做得分，分及格.該學(xué)生的目標(biāo)至少得分，且確定該學(xué)生前道題的均正確，而剩下的道題每道題做對的概率均為.（1）若該學(xué)生道題全都做，求得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）該學(xué)生做多少道題時及格的概率最大？11．（2021·沙坪壩·重慶八中高三模擬預(yù)測）某商店為了吸引顧客，設(shè)計了兩種摸球活動獎勵方案．先制作一個不透明的盒子，里面放有形狀大小完全相同的4個白球和2個紅球．方案一：不放回地從盒子中逐個摸球，消費金額每滿300元摸一次，最終根據(jù)顧客摸到的紅球個數(shù)發(fā)放獎金，如表格所示．紅球個數(shù)012獎金0元30元75元方案二：可放回地從盒子中逐個摸球，消費金額每滿200元摸一次，每摸到一個紅球獎勵15元．（1）若顧客甲消費的金額為600元，且選擇了方案一，求甲獲得獎金數(shù)為30元的概率；（2）若顧客乙消費的金額為800元，但他可以在摸出第一個球后，根據(jù)所摸出球的顏色，再決定執(zhí)行方案一或方案二繼續(xù)摸球．請從獎金數(shù)期望最大的角度為顧客乙制定第一次摸球后的方案選擇，并說明理由．12．（2021·山東濰坊·高三三模）第24屆冬季奧運會將于2022年2月4日至2月20日在中國舉行，其中冰壺比賽項目是本屆奧運會的正式比賽項目之一，1998年中國女子冰壺隊第一次參加奧運會冰壺比賽就獲得了銅牌．冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線的左側(cè)）有一個發(fā)球區(qū)，運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)．某學(xué)校冰壺隊舉行冰壺投擲測試，規(guī)則為：①每人至多投3次，先在點處投第一次，冰壺進入營壘區(qū)得3分，未進營壘區(qū)不得分；②自第二次投擲開始均在點處投擲冰壺，冰壺進入營壘區(qū)得2分，未進營壘區(qū)不得分；③測試者累計得分高于3分即通過測試，并立即終止投擲．已知投擲一次冰壺，甲得3分和2分的概率分別為0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分別為0.2和0.4，甲，乙每次投擲冰壺的結(jié)果互不影響．（1）求甲通過測試的概率；（2）設(shè)為本次測試中乙的得分，求的分布列；（3）請根據(jù)測試結(jié)果來分析，甲，乙兩人誰的水平較高？13．（2021·北京市大興區(qū)精華培訓(xùn)學(xué)校）某工藝坊要將6件工藝原料加工成工藝品，每天完成一件工藝品，每件原料需先后完成1、2、3三道工序，工序1、2、3分別由工藝師甲、乙、丙完成，三位工藝師同時到崗，完成負(fù)責(zé)工序即可離崗，等待時按每小時10元進行補貼，記加工原料時工藝師乙、丙獲得的總補貼為（單位：元），例如：加工原料1時工藝師乙等待1小時，獲得補貼10元，丙等待7小時，獲得補貼70元，則，已知完成各工序所需時長(小時)如下表：原料工序原料1原料2原料3原料4原料5原料6工序1112324工序2643141工序3534632由于客戶催單，需要將每件原料時長最長的工序時間減少1小時，記此時加工原料時工藝師乙、丙獲得的總補貼為（單位：元），例如：.（1）從6件原料中任選一件，求的概率；（2）從6件原料中任選三件，記為滿足“”的件數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）記數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差為，試比較，的大小.（只需寫出結(jié)果）14．（2021·中區(qū)·山東省實驗中學(xué)高三一模）2020年春天隨著疫情的有效控制，高三學(xué)生開始返校復(fù)課學(xué)習(xí).為了減少學(xué)生就餐時的聚集排隊時間，學(xué)校食堂從復(fù)課之日起，每天中午都會提供、兩種套餐（每人每次只能選擇其中一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇類套餐的概率為、選擇類套餐的概率為．而前一天選擇了類套餐第二天選擇類套餐的概率為、選擇套餐的概率為；前一天選擇類套餐第二天選擇類套餐的概率為、選擇類套餐的概率也是，如此往復(fù)．記某同學(xué)第天選擇類套餐的概率為．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）記高三某宿舍的3名同學(xué)在復(fù)課第二天選擇類套餐的人數(shù)為，求的分布列并求；（3）為了貫徹五育并舉的教育方針，培養(yǎng)學(xué)生的勞動意識，一個月后學(xué)校組織學(xué)生利用課余時間參加志愿者服務(wù)活動，其中有20位學(xué)生負(fù)責(zé)為全體同學(xué)分發(fā)套餐．如果你是組長，如何安排分發(fā)、套餐的同學(xué)的人數(shù)呢，說明理由．15．（2021·山西太原·高三一模（理））某地區(qū)為了實現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展，利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點，決定大力發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，一方面對現(xiàn)有旅游資源進行升級改造，另一方面不斷提高旅游服務(wù)水平．為此該地區(qū)旅游部門，對所推出的報團游和自助游項目進行了深入調(diào)查，如表是該部門從去年某月到該地區(qū)旅游的游客中，隨機抽取的100位游客的滿意度調(diào)查表．滿意度老年人中年人青年人報團游自助游報團游自助游報團游自助游滿意121184156一般2164412不滿意116232（1）由表中的數(shù)據(jù)分析，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇報團游？（2）為了提高服務(wù)水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的游客中，隨機抽取3人征集整改建議，記表示這3人中老年人的人數(shù)，求的分布列和期望；（3）若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會建議他選擇哪種旅游項目？16．（2021·遼寧朝陽·高三一模）選手甲分別與乙、丙兩選手進行象棋比賽，如果甲、乙比賽，那么每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，如果甲、丙比賽，那么每局比賽甲、丙獲勝的概率均為．（1）若采用局勝制，兩場比賽甲獲勝的概率分別是多少？（2）若采用局勝制，兩場比賽甲獲勝的概率分別是多少？你能否據(jù)此說明賽制與選手實力對比賽結(jié)果的影響？17（2021·河南高三月考（文））某果園新采摘了一批蘋果，從中隨機抽取個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），將重量按照，，，進行分組，得到頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）．（1）估計這批蘋果的重量的平均數(shù)．（2）該果園準(zhǔn)備把這批蘋果銷售給一家超市，據(jù)市場行情，有兩種銷售方案：方案一：所有蘋果混在一起，價格為元/千克；方案二：將不同重量的蘋果分開，重量不小于克的蘋果的價格為元/千克，重量小于克的蘋果的價格為元/千克，但果園需支付每個蘋果元的分揀費．分別估計并比較兩種方案下果園銷售個蘋果的收入．18．（2021·沙坪壩·重慶南開中學(xué)高三月考）某單位規(guī)定每位員工每年至少參加兩項專業(yè)技能測試，測