第11講古典概率（講義）

第11講古典概率【知識梳理】概率性質(zhì)1必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(Φ)=0.概率性質(zhì)2對任意的事件A,都有．互斥:如果A與B沒有共同的基本事件，即兩個子集不相交，那么有A∩B=Φ，則兩個事件不可能同時發(fā)生，或者說互斥。對立事件:事件A發(fā)生的否定就是事件A不發(fā)生，它也是一個事件，稱為事件A的對立事件。簡稱為非A。概率性質(zhì)3（可加性）.兩個不可能同時發(fā)生的事件至少有一個發(fā)生的概率是這兩個事件的概率之和。換言之，如果A∩B=Φ，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)概率性質(zhì)4對任一給定事件，其發(fā)生的概率與不發(fā)生的概率的和總是1.換言之，有P(A)=1P()【例題解析】知識點一：簡單的古典概型例1．在某微信群的“微信搶紅包”活動中，某次所發(fā)的紅包總金額為10元，被隨機(jī)分配為2.13元，3.44元，1.83元，2.60元，現(xiàn)有甲、乙等4人參與搶紅包，每人只能搶一次，則甲、乙兩人搶到的金額之和大于5元的概率為（）A．23 B．12 C．13【解析】解：記甲、乙兩人搶到的金額分別為a，b，甲、乙兩人搶到的金額用有序?qū)崝?shù)對（a，b）表示，則（a，b）的情況有：（2.13，3.44），（2.13，1.83），（2.13，2.60），（3.44，1.83），（3.44，2.60），（1.83，2.60），（3.44，2.13），（1.83，2.13），（2.60，2.13），（1.83，3.44），（2.60，3.44），（2.60，1.83），共12種，符合條件的情況有：（2.13，3.44），（3.44，1.83），（3.44，2.60），（3.44，2.13），（1.83，3.44），（2.60，3.44），共6種，故甲、乙兩人搶到的金額之和大于5元的概率為12故選：B．例2．人的眼皮單雙是由遺傳自父母的基因決定的，其中顯性基因記作B，隱性基因記作b；成對的基因中，只要出現(xiàn)了顯性基因，就一定是雙眼皮（也就是說，“雙眼皮”的充要條件是“基因?qū)κ荁B，bB或Bb”），人的卷舌與平舌（指是否能左右卷起來）也是由一對基因?qū)Q定的，分別用D，d表示顯性基因、隱形基因，基因?qū)χ兄灰霈F(xiàn)了顯性基因D，就一定是卷舌的．生物學(xué)上已經(jīng)證明：控制不同性狀的基因遺傳時互不干擾．若有一對夫妻，兩人決定眼皮單雙和舌頭形態(tài)的基因都是BbDd，不考慮基因突變，他們的孩子是單眼皮且卷舌的概率為（）A．116 B．316 C．716【解析】解：控制不同性狀的基因遺傳時互不干擾．有一對夫妻，兩人決定眼皮單雙和舌頭形態(tài)的基因都是BbDd，不考慮基因突變，基本事件總數(shù)n＝24＝16，他們的孩子是單眼皮且卷舌包含的基本事件有3種情況，分別為：（bbDD），（bbDd），（bb，dD），他們的孩子是單眼皮且卷舌的概率為p=3故選：B．例3．將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的正方體玩具）先后拋擲兩次，則向上的點數(shù)之和為4的概率為（）A．118 B．112 C．19【解析】解：所有的基本事件共6×6＝36個，其中，點數(shù)和為4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3個，∴出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率是336故選：B．【名師點睛】求解古典概率“四步”法：1、讀：反復(fù)閱讀題目，收集整理題目屮的各種信息.2、判：判斷試驗是否為古典概型3、列：求出試驗的樣本空間和所求專件所包的樣本底的個數(shù)4、算：計算出古典概型的概率，對應(yīng)用題還要作答知識點二:較復(fù)雜的古典概型的計算例1．四張卡片上分別寫有“榮”、“八”、“恥”、“八”四個漢字，一個不識字的幼兒隨機(jī)地把它們排成一排，剛好排成“八榮八恥”的概率是（）A．14 B．16 C．112【解析】解：四張卡片上分別寫有“榮”、“八”、“恥”、“八”四個漢字，一個不識字的幼兒隨機(jī)地把它們排成一排，基本事件有：八八榮恥，八八恥榮，八榮八恥，八恥八榮，八榮恥八、八恥榮八，榮八八恥，榮八恥八，榮恥八八，恥榮八八，恥八八榮、恥八榮八，共有12種可能情況，剛好排成“八榮八恥”的情況只有1種，∴剛好排成“八榮八恥”的概率p=1故選：C．例2．從集合A＝{﹣1，12，2}中隨機(jī)選取一個數(shù)記為k，從集合B＝{12，32，2}中隨機(jī)選取一個數(shù)記為a，則aA．13 B．23 C．79【解析】解：分別從集合A，B各取一個數(shù)，共有3×3＝9組實數(shù)對，若a=12，則由ak＞1得k＜0，此時若a=32，則由ak＞1得k＞0，此時k若a＝2，則由ak＞1得k＞0，此時k=1則對應(yīng)的概率P=5故選：D．例3．將一個正四面體沿各棱的中點截去四個小三棱錐后得到一個新幾何體，將此幾何體的任意兩個頂點連成一條線段，則其位于原四面體表面的概率為（）A．15 B．25 C．35【解析】解：根據(jù)題意，新得到的幾何體有6個頂點，從中任取兩點連成直線段，共有C62＝15種情況，其中原四面體的一個面上有3個點，從中任取兩點連成直線段，有C32＝3種情況，這些直線段不在原四面體的內(nèi)部，即在其表面的有4×3＝12種情況；則將此幾何體的任意兩個頂點連成一條線段，則其位于原四面體表面的概率P=12故選：D．【名師點睛】解古典概型問題時，要牢牢抓住它的兩個特點和其計算公式，但是這類問題的解法多樣，技巧性強(qiáng)，在解決此類題時需要注意以下兩個問題：（1）試驗必須具有古典概型的兩大特征—有限性和等可能性.（2）計算基本事件的數(shù)目時，須做到不重不漏，常借助坐標(biāo)系、表格及樹狀圖等列出所有基本事件.知識點三：互斥事件、對立事件的概率例1．一臺機(jī)床有的時間加工零件A,其余時間加工零件B,加工A時,停機(jī)的概率是,加工B時,停機(jī)的概率是,則這臺機(jī)床停機(jī)的概率為（）A. B. C. D.【難度】★★【答案】A【解析】機(jī)床停機(jī)的概率就是兩種零件都不能加工的概率，即.例2．盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回地從中任取兩次，每次取一只，試求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一只；（3）取到的2只中至少有一只正品。【難度】★★【答案】（1）；（2）；（3）【解析】從6只燈泡中有放回地任取兩只，共有,種不同取法，（1）取到的2只都是次品情況為種，因而所求概率為；（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有兩種可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率為；（3）由于“取到的兩只中至少有一只正品”是事件“取到的兩只都是次品”的對立事件，因而所求概率為.例3．有朋自遠(yuǎn)方來，已知他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來的概率分別是0.3，0.2，0.1，0.4．（1）求他乘火車或飛機(jī)來的概率；（2）求他不乘輪船來的概率；（3）如果他來的概率為0.4，請問他有可能是乘何種交通工具來的？【難度】★★【答案】（1）0.7；（2）0.8；（3）可能是乘飛機(jī)來，也可能是乘火車或汽車來的【解析】設(shè)“朋友乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來”分別為事件，則，且事件之間是互斥的．（1）他乘火車或飛機(jī)來的概率為.（2）他乘輪船來的概率是，所以他不乘輪船來的概率為．（3）由于，所以他可能是乘飛機(jī)來，也可能是乘火車或汽車來的．例4．甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響.（1）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；（2）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率；（3）假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo),則停止射擊.問:乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？【難度】★★★【答案】（1）；（2）；（3）【解析】本題是一道概率綜合運用問題，第一問中求“至少有一次末擊中問題”可從反面求其概率問題；第二問中先求出甲恰有兩次末擊中目標(biāo)的概率，乙恰有3次末擊中目標(biāo)的概率，再利用獨立事件發(fā)生的概率公式求解．第三問設(shè)出相關(guān)事件，利用獨立事件發(fā)生的概率公式求解，并注意利用對立、互斥事件發(fā)生的概率公式.（1）記“甲連續(xù)射擊4次至少有一次末中目標(biāo)”為事件A1，由題意知，射擊4次，相當(dāng)于作4次獨立重復(fù)試驗，故=答：甲連續(xù)射擊4次至少有一次末中目標(biāo)的概率為：記“甲射擊4次，恰有2次射中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊4次，恰有3次射中目標(biāo)”為事件B2,則,由于甲乙射擊相互獨立，故答：兩人各射擊4次，甲恰有2次擊中目標(biāo)且乙恰有3次擊中目標(biāo)的概率為記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件A3“乙第i次射擊末中”為事件Di（I=1,2,3,4,5）,則A3=，且由于各事件相互獨立，故=答：乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率為【名師點睛】互斥事件、對立事件的概率公式的應(yīng)用：（1）互斥事件的概率加法公式P（A∪B）=P（A）+P（B）是一個非常重要的公式，運用該公式解題時，首先要分清事件間是否互斥，同時要學(xué)會把一個事件分拆為幾個互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出結(jié)果.（2）當(dāng)直接計算符合條件的事件個數(shù)比較煩瑣時，可間接地先計算出其對立事件的個數(shù)，求得對立事件的概率，然后利用對立事件的概率加法公式P（A）+P（B）=1，求出符合條件的事件的概率.知識點四：概率加法公式的應(yīng)用例1．加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為170、169、168，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為【解答】解：加工出來的零件為次品的對立事件為零件是正品，而零件是正品需要三道工序全部是正品．由對立事件公式得，加工出來的零件的次品率．p=1?(1?1故答案為370例2．甲、乙、丙三人射擊同一目標(biāo)，命中目標(biāo)的概率分別為12，13，14，且彼此射擊互不影響，現(xiàn)在三人射擊該目標(biāo)各一次，則目標(biāo)被擊中的概率為【解析】解：目標(biāo)被擊中的概率等于1減去甲、乙、丙三人都沒有擊中目標(biāo)的概率，故目標(biāo)被擊中的概率是1﹣（1?12）（1?13）（1故答案為：34例3．三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為12，34，34，且是互相獨立的．將它們中某兩個元件并聯(lián)后再和第三元件串聯(lián)接入電路，在如圖的電路中，電路不發(fā)生故障的概率是【解析】解：記T1正常工作為事件A，T2正常工作為事件B，記T3正常工作為事件C，則P（A）=12，P（B）＝P（C）電路不發(fā)生故障，即T1正常工作且T2，T3至少有一個正常工作，T2、T3不發(fā)生故障即T2，T3至少有一個正常工作的概率P1＝1﹣（1?34）（1?3所以整個電路不發(fā)生故障的概率為P＝P（A）×P1=1故答案為：15【名師點睛】（1）概率的一般加法公式與互斥事件的概率加法公式在限制條件上的區(qū)別：在公式P（A∪B）=P（A）+P（B）中，事件A，B是互斥事件；在公式P（AUB）=P（A）+P（B）P（A∩B）中，事件A，B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件，可借助圖形理解.（2）利用概率的一般加法公式P（A∪B）=P（A）+P（B）P（A∩B）求解的關(guān)鍵在于理解兩個事件A，B的交事件A∩B的含義，準(zhǔn)確求出其概率.【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2021·上海高二專題練習(xí)）電子鐘一天顯示的時間是從00：00到23：59，每一時刻都由4個數(shù)字組成，則一天中任一時刻顯示的四個數(shù)字之和為22的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】電子鐘一天顯示的時間共有種,顯示的四個數(shù)字之和為22的有9種,再結(jié)合古典概型概率公式求解即可.【詳解】解:電子鐘一天顯示的時間共有種,顯示的四個數(shù)字之和為22的有08：59，17：59，09：49，18：49，09：58，18：58，19：39，19：48，19：57共9種,即一天中任一時刻顯示的四個數(shù)字之和為22的概率為，故選:B.【點睛】本題考查了古典概型概率公式，重點考查了閱讀能力，屬基礎(chǔ)題.2．（2018·上海師大附中高二期末）從裝有4粒大小、形狀相同，顏色不同的玻璃球的瓶中，隨意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），則倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率比倒出偶數(shù)粒玻璃球的概率A．小 B．大 C．相等 D．大小不能確定【答案】B試題分析：四種不同的玻璃球，可設(shè)為，隨意一次倒出一粒的情況有4種，倒出二粒的情況有6種，倒出3粒的情況有4種，倒出4粒的情況有1種，那么倒出奇數(shù)粒的有8種，倒出偶數(shù)粒的情況有7種，故倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率比倒出偶數(shù)粒玻璃球的概率大.考點：古典概型.3.給出以下結(jié)論:①互斥事件一定對立;②對立事件一定互斥;③互斥事件不一定對立;④事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A與B互斥,則有P(A)=1P(B).其中正確命題的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3答案:C解析:對立必互斥,互斥不一定對立,故②③正確,①錯;又當(dāng)A∪B=A時,P(A∪B)=P(A),故④錯;只有事件A與B為對立事件時,才有P(A)=1P(B),故⑤錯.4.從集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一個,若這個子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是34,則該子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是(A.35 B.25 C.14答案:C解析:該子集恰是{a,b,c}的子集的概率為P=134二、填空題5．（2021·上海高二專題練習(xí)）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值，則隨機(jī)選取1部電影，這部電影沒有獲得好評的概率為_______.【答案】【分析】首先根據(jù)好評率求獲得好評的電影部數(shù)，再求總的電影部數(shù)，最后求比值.【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：獲得好評的電影部數(shù)，且共有部電影，∴沒有獲得好評的電影概率為：.故答案為：6．（2020·上海市七寶中學(xué)高二月考）假設(shè)一個隨機(jī)數(shù)發(fā)生器一次只能從1，2，3，…，9這九個數(shù)學(xué)中等可能地選一個數(shù)，則該隨機(jī)數(shù)發(fā)生器完成了次選擇后，選出的個數(shù)的乘積能被10整除的概率為________（用含的代數(shù)式示）.【答案】【分析】由題意n個數(shù)中，至少有一次選擇了5，至少有一次選擇了偶數(shù)2、4、6、8之一，設(shè)事件A表示沒有一次選擇了5，事件B表示沒有一次選擇了偶數(shù)，則所求概率是，再利用加法公式計算即可.【詳解】為使選出的n個數(shù)的乘積能被10整除，其中至少有一次選擇了5，并且至少有一次選擇了偶數(shù)2、4、6、8之一，設(shè)事件A表示沒有一次選擇了5，事件B表示沒有一次選擇了偶數(shù)，則所求概率是，從而.故答案為：【點睛】本題考查古典概型的概率計算以及概率的加法公式，考