專題08導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用小題基礎(chǔ)練

【一專三練】專題08導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用小題基礎(chǔ)練新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）一、單選題1．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線垂直的斜率關(guān)系即可求出的值．【詳解】由，得，因為函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，所以，則．故選：A．2．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由奇函數(shù)的性質(zhì)求，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以，所以，所以，故，所以，所以函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率為.故選：D.3．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且是偶函數(shù)，則曲線在原點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)加法法則，可得，結(jié)合偶函數(shù)概念可得，根據(jù)曲線在某點處的導(dǎo)數(shù)幾何意義，可得結(jié)果.【詳解】由所以，又是偶函數(shù)，所以，即所以則，所以曲線在原點處的切線方程為故選：A【點睛】本題重在考查曲線在某點處的切線方程，要審清題干，注意：是在某點處的切線方程，還是過某點的切線方程，屬基礎(chǔ)題.4．（2022·湖南長沙·長沙縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）函數(shù)的圖象在處的切線對應(yīng)的傾斜角為，則sin2=（

）A． B．± C． D．±【答案】C【分析】先求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到函數(shù)在處的切線斜率，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系得到sin2的值．【詳解】因為所以當(dāng)時，，此時，∴．故選：C.5．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若直線與函數(shù)和的圖象都相切，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由切線方程得出切線斜率，進而可由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切點坐標，將兩個函數(shù)的切點分別代入切線方程中，求出．【詳解】設(shè)直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點，則由，得，令，得，將代入中得，由，得，令，得，將代入中得，所以．故選：D6．（2023·云南曲靖·曲靖一中?？寄M預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，證得，則有，再通過作商法比較.【詳解】設(shè)，因為，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，且時，，即.所以，，所以最小，又因為，所以.綜上，.故選：A7．（2023·重慶酉陽·重慶市酉陽第一中學(xué)校?？家荒＃┤艉瘮?shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由求導(dǎo)公式和法則求出，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，列出不等式進行分離常數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)后，利用整體思想和二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，可得a的取值范圍．【詳解】由題意得，，因為在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，所以≤0在[1，+∞）上恒成立，當(dāng)≤0時，則在[1，+∞）上恒成立，即a，設(shè)g（x），因為x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，當(dāng)時，g（x）取到最大值是：，所以a，所以數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，]故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)求導(dǎo)公式和法則，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用分離常數(shù)法，求函數(shù)值域，屬于中檔題．8．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】求得在上單調(diào)遞增的充要條件即可判斷.【詳解】由題若在上單調(diào)遞增，則恒成立，即，故“”是“在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件故選:.9．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，且其圖象在點處的切線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，結(jié)合三角函數(shù)的齊次式的解決方法及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】因為，所以所以，解得，所以由題意可知，，所以.故選：B.10．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知方程求出的關(guān)系，再根據(jù)不等式中“1”的整體代換即可得出答案.【詳解】對求導(dǎo)得，由得，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：D．二、多選題11．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．存在，使得函數(shù)為奇函數(shù)C．任意，D．函數(shù)有且僅有2個零點【答案】ABC【分析】A選項：通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；B選項：取特殊值驗證結(jié)論的存在；C選項：通過放縮，得到函數(shù)值的范圍；D選項：通過函數(shù)值的符號，判斷零點個數(shù).【詳解】對于A：，因為，所以，，因此，故，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B：令，則，令，定義域為，關(guān)于原點對稱，且，故為奇函數(shù)，B正確；對于C：時，；時，；時，；C正確；對于D：時，，時，，時，，所以只有1個零點，D錯誤；故選：ABC12．（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，則（

）A．是函數(shù)的一個極大值點B．C．函數(shù)在處切線的斜率小于零D．【答案】AB【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性的關(guān)系，以及極值的定義逐項分析判斷.【詳解】令，解得，則在上單調(diào)遞增，令，解得或，則在上單調(diào)遞減，故是函數(shù)的一個極大值點，，A、B正確；∵，則，故函數(shù)在處切線的斜率大于零，C錯誤；又∵，則，但無法確定函數(shù)值的正負，D錯誤；故選：AB.13．（2022·廣東韶關(guān)·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先求導(dǎo)，利用基本不等式求出，從而得到單調(diào)遞增，得到，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到ABD選項，C選項可以舉出反例.【詳解】定義域為R，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，此時，所以恒成立，所以單調(diào)遞增，因為，所以，因為單調(diào)遞增，所以，A正確；因為單調(diào)遞增，所以，B正確；，但與大小不確定，例如，此時滿足，但=，此時，C錯誤；因為，畫出函數(shù)圖像，如下圖：可知單調(diào)遞增，所以，D正確.故選：ABD14．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．有兩個零點C．曲線在點處切線的斜率為D．是奇函數(shù)【答案】AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可判斷零點個數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及奇偶性的定義，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：，定義域為，則，由都在單調(diào)遞增，故也在單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故A正確；對B：由A知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故只有一個零點，B錯誤；對C：，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，C正確；對D：定義域為，不關(guān)于原點對稱，故是非奇非偶函數(shù)，D錯誤.故選：AC.15．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)B．的單調(diào)遞增區(qū)間為和C．的最大值為D．的極值點為【答案】AB【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義即可判斷是奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以無最大值，極大值點為，極小值點為.【詳解】因為對，根據(jù)奇函數(shù)定義可知函數(shù)是上的奇函數(shù)，即A正確；令可得或，即的單調(diào)遞增區(qū)間為和，故B正確；由B可知，在單調(diào)遞增，所以無最大值，即C錯誤；由得，結(jié)合選項B可知，是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，極值點不是點，所以錯誤.故選：AB三、填空題16．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）函數(shù)的圖象在處的切線方程為____________【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，則，而，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為.故答案為：17．（2023·江蘇南通·二模）過點作曲線的切線，寫出一條切線的方程_______．【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，代入點求出未知數(shù)即可得到切線方程.【詳解】，，設(shè)切點坐標為，則切線斜率為，得方程，代入點，得，即，解得或，當(dāng)時，切線方程為；當(dāng)時，切線方程為.故答案為：（或）.18．（2022·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）寫出一個同時滿足下列條件①②的函數(shù)____________．①的圖象關(guān)于點對稱；②曲線在點處的切線方程為【答案】（答案不唯一）【分析】由的圖象的對稱性可構(gòu)造相關(guān)的函數(shù)，再結(jié)合切線方程，可構(gòu)造，經(jīng)檢驗符合要求.【詳解】因為曲線在點處的切線方程為，故切點為，，由的圖象關(guān)于點對稱可得為一個奇函數(shù)向上平移1個單位長度得到，結(jié)合以上條件，故不妨令，定義域為R，且，故的圖象關(guān)于點對稱，又，，且，故在點處的切線方程為，整理得：，滿足題意.故答案為：.（答案不唯一）19．（2022·江蘇鹽城·阜寧縣東溝中學(xué)?？寄M預(yù)測）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)的解析式______．①；②是偶函數(shù)；③在上單調(diào)遞增．【答案】（滿足條件即可）【分析】根據(jù)函數(shù)的三個性質(zhì)，列出符合條件的函數(shù)即可》【詳解】解：如，，，故，是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，故答案為：（滿足條件即可）20．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）函數(shù)的圖象在點處的切線方程為______．【答案】【分析】先求導(dǎo)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點斜式即可求解【詳解】因為，所以．因為，，所以所求切線方程為，即.故答案為：21．（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖象在處的切線的傾斜角為α，則________．【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出答案.【詳解】，，即，，，利用三角函數(shù)定義，．故答案為：.22．（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）若是函數(shù)的極小值點，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為______．【答案】##【分析】求導(dǎo)，根據(jù)極值點可得，進而解得或，代入驗證極值點可確定，進而根據(jù)極大值以及端點處的函數(shù)值進行比較即可求解.【詳解】由，得，因為是函數(shù)的極小值點，所以，即，即，解得或．當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點，不符合題意；當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點，是函數(shù)的極大值點，故又因為，，所以函數(shù)在的最大值為．故答案為：．23．（2023·江蘇·二模）已知曲線與在處的切線互相垂直，則__________【答案】【分析】求導(dǎo)得切線斜率，根據(jù)切線垂直的斜率關(guān)系建立方程即可得解．【詳解】由，得，則曲線在處的切線斜率為，由，得，則曲線在處的切線斜率為，則根據(jù)題意有

，即，得．故答案為：.24．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與曲線相切，則實數(shù)的值為_______．【答案】【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點為，即可得到方程組，解得即可；【詳解】∵，∴，設(shè)切點為，則，解得．故答案為:.25．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）函數(shù)在點處的切線與直線平行，則實數(shù)______．【答案】5【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合平行關(guān)系分析運算.【詳解】∵，則，∴，若切線與直線平行，則，解得.故答案為：5.26．（2023·遼寧鞍山·校聯(lián)考一模）若函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，則實數(shù)______．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)和切線斜率間的關(guān)系求實數(shù)的值.【詳解】，則，依題意有，則實數(shù).故答案為：227．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）曲線在點處的切線的斜率為_________．【答案】##【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與導(dǎo)數(shù)的運算法則即可得解.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，所以在點處的切線的斜率為.故答案為：.28．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）函數(shù)的圖象在處的切線方程為________．【答案】【分析】先對求導(dǎo)，再求出所求切線的斜率與切點，從而由點斜式方程即可得出答案.【詳解】由可得，所以所求切線的斜率為，又當(dāng)時，，即切點為，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為：.故答案為：.29．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）寫出曲線過點的一條切線方程__________．【答案】或（寫出其中的一個答案即可）【分析】首先判斷點在曲線上，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程，再說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極大值，從