第11講正弦定理

第11講正弦定理目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理。1.能借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系并掌握正弦定理；2.能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問題。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01正弦定理1.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)。2.正弦定理的變形公式（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.（2）sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(其中R是△ABC外接圓的半徑).【即學(xué)即練1】在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理即得.【詳解】在中，由正弦定理，∴，，故ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.【即學(xué)即練2】已知a，b，c分別是的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若，，，則a等于（

）．A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用正弦定理即可求出的值．【詳解】由正弦定理得，即，解得．故選：A．知識(shí)點(diǎn)02三角形面積公式=；=；=；（a、b、c是的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊）。=；=；=；（、、是的邊a、b、c上的高）。=。=（r為三角形內(nèi)切圓半徑）?！炯磳W(xué)即練3】在中，若，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的面積公式求解即可【詳解】由題意，故選：D【即學(xué)即練4】在中，分別是角所對(duì)的邊，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理求得，利用面積公式進(jìn)行求解.【詳解】由正弦定理得：，由面積公式得：.故選：B能力拓展能力拓展考法01利用正弦定理解三角形【典例1】在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、．已知，，，．(1)求和的值；(2)求的值．【答案】(1)；或(2)或【分析】（1）根據(jù)正弦定理可以求出，由結(jié)合條件得到，利用余弦定理求得；（2）利用兩角和的正弦公式和二倍角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)（1）討論或，從而得到，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，，則由正弦定理得：，即，又，所以為銳角，則，由余弦定理得：，即，解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)或均能構(gòu)成三角形，所以：或.（2），由（1）得：當(dāng)時(shí)，則，所以為銳角，則，所以，當(dāng)時(shí)，則，所以，故的值為或.考法02三角形的面積公式【典例2】已知在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量，，且．(1)求角；(2)若，，求的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用平行向量的坐標(biāo)關(guān)系得，結(jié)合正弦定理與角度關(guān)系，即可得角；（2）根據(jù)余弦定理求得邊長(zhǎng)，再利用面積公式求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)橄蛄?，，且所以，由正弦定理得，又，則，即，又，所以；（2）解：由余弦定理的，整理得，解得或（舍），所以的面積.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理即可求解.【詳解】由，得.故選：B.2．在中，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理和三角形成立的條件求解.【詳解】由正弦定理知，所以，根據(jù)三角形成立的條件可知，解得，故選:D.3．在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個(gè)解 B．二個(gè)解 C．無解 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)，即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋鐖D所示：所以，即，所以三角形解的情況為二個(gè)解.故選：B4．在中，已知，則此三角形（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．無法判斷有幾解【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正弦定理計(jì)算判斷作答.【詳解】在中，，由正弦定理得，而，有，即A為銳角，所以此三角形有一解．故選：A5．在中，設(shè)、、分別是三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊，，，面積，則內(nèi)角的大小為__．【答案】或【分析】由三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】∵的面積，∴，∵，∴或．故答案為：或.6．在中，若，則的形狀是________．【答案】等腰三角形【分析】首先根據(jù)正弦定理角化邊公式得到，即可得到答案.【詳解】由題知：，則為等腰三角形.故答案為：等腰三角形7．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．，則______．【答案】【分析】根據(jù)題中條件，由正弦定理，即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕?，所以由正弦定理得，故，解得．故答案為?8．在中，a，b，c分別是角A、B，C的對(duì)邊，，．若，求．【答案】【分析】直接由正弦定理可得答案.【詳解】由正弦定理得.9．求解下列問題：(1)在中，若，，，求角B．(2)在中，若，，，求邊c．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理求得正確答案.（2）利用正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理求得正確答案.【詳解】（1）由正弦定理得，由于，所以為銳角，所以.（2），由正弦定理得，，解得.10．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且．(1)求角的大??；(2)若，的面積，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所?（2），所以，由余弦定理得，所以的周長(zhǎng)為．題組B能力提升練1．在中，分別是角所對(duì)的邊，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理求得，再利用面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由正弦定理得：，由面積公式得：.故選：.2．在中，已知，則是（

）A．直角三角形； B．銳角三角形； C．鈍角三角形； D．等邊三角形．【答案】A【分析】由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知式后確定角大小，判斷三角形形狀．【詳解】解：由已知，所以，因?yàn)椋?，即三角形為直角三角形．故選：A．3．在中，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理可得，.根據(jù)余弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】由以及正弦定理可得，.又因?yàn)?，所?由余弦定理可得，.故選：A.4．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則角的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，求出，再結(jié)合角的取值范圍，即可求解.【詳解】在中，，由正弦定理可得，所以，即，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?故選：D.5．在中，若，則的最大值是____．【答案】【分析】利用正弦定理進(jìn)行角變邊可得，利用余弦定理和角的范圍即可求解【詳解】結(jié)合正弦定理得，即，所以，因?yàn)?，所以，則的最大值是．故答案為：6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，將OA繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OC，則的面積為______．【答案】【分析】由題意得，，利用三角形的面積公式即可得解.【詳解】∵，，∴.故答案為：.7．在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)，已知，，，則邊AB的長(zhǎng)是______．【答案】8【分析】由得，由得，在中使用正弦定理求出AB.【詳解】因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，在中由正弦定理?故答案為：8.8．在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，且，，．(1)求；(2)求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由余弦定理求得的值；（2）由正弦定理求得的值．【詳解】（1）中，，，，由余弦定理得，，解得.（2）由正弦定理，，∴.9．已知在銳角中，M是的中點(diǎn)，且，．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由題意有，，在和中，利用正弦定理，可求的值；（2）由求出的值，再利用面積公式求解即可.【詳解】（1）銳角中，M是的中點(diǎn)，且，，如圖所示：∴，，在中，由正弦定理，有，在中，由正弦定理，有，則（2）銳角中，由，∴，有，，∴，所以的面積為10．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，.(1)求角；(2)求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)余弦定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合（1）的結(jié)論、三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以由余弦定理可知：；?）由正弦定理可知：，，，.題組C培優(yōu)拔尖練1．已知中，，則（

）A．或 B． C． D．或【答案】B【分析】先利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，再利用正弦定理推得為銳角，從而可求得，再利用余弦的和差公式即可求得.【詳解】因?yàn)樵谥?，，所以，所以，由正弦定理可得，故，故為銳角，所以，所以.故選：B.2．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則（

）A．3 B． C．6 D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理可得，由三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式可得，由三角形內(nèi)角的范圍可得，再由面積公式即可求解.【詳解】由正弦定理及得.又因?yàn)樵谥校?，所以，整理?因?yàn)樵冢?，所以，?又因?yàn)?，所?又，所以.故選:A.3．在中，若，則b等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用兩角和的正弦公式求得，再利用正弦定理求解.【詳解】解：在中，因?yàn)椋?，所以，由得．故選：C4．在銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，且，則（

）A． B．角的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是【答案】AD【分析】由正弦定理統(tǒng)一為角可判斷A，由銳角三角形確定角的取值范圍，由正弦定理化為三角函數(shù)求取值范圍判斷BD，由確定A的取值范圍即可判斷C.【詳解】因?yàn)?，所以，，，則，所以或．因?yàn)椋?，所以，則，故A正確；因?yàn)?，所以．因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，解得，所以，則，故B錯(cuò)誤，D正確；因?yàn)?，所以，所以，則C錯(cuò)誤．故選：AD5．在銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由正弦定理將條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，判斷A，結(jié)合內(nèi)角和定理和條件及余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B，C，由余弦定理將條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，判斷D.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，又為銳角三角形，所以，，所以，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，A正確；因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，所以，，，所以，B正確；因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，由余弦定理可得，所以，所以，D正確，故選：ABD.6．在中，已知，，，于D，則AD的長(zhǎng)為______．【答案】【分析】在中，根據(jù)正弦定理求出.然后在中，即可求出AD的長(zhǎng).【詳解】由已知可得，.，在中，由正弦定理，可得，.因?yàn)椋?，在中，，所?故答案為：.7．在中，角所對(duì)的邊分別為，①若，則；②若，則一定為等腰三角形；③若，則為直角三角形；④若為銳角三角形，則.以上結(jié)論中正確的有___________.（填正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③【分析】利用三角形的內(nèi)角和為結(jié)合三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及正弦定理求解即可.【詳解】①因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，正確；②因?yàn)椋以谥?，，所以或，即或，故為等腰三角形或直角三角形，錯(cuò)誤；③由二倍角公式得，化簡(jiǎn)得，由正弦定理得，所以為直角三角形，正確；④若為銳角三角形，則，，當(dāng)時(shí)得，由正弦函數(shù)的單調(diào)性得，則，與為銳角三角形矛盾，錯(cuò)誤.故答案為：①③.8．已知的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，，CD平分ACB交AB于點(diǎn)D，且CD=2，2AD=3BD.(1)求C；(2)求的面積.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由余弦定理及正弦定理得，將角轉(zhuǎn)化為后可求得值；（2）設(shè)AD=3x，BD=2x，在及中由正弦定理得，，在中用正弦定理求得，的值，從而求得的面積.【詳解】（1）由及余弦定理得，，又由正弦定理得，由得，即，即，由得，因?yàn)?＜C＜π，則.（2）設(shè)AD=3x，BD=2x，在中由正弦定理得，，則，在中由正弦定理得，，則，在中由正弦定理得，，則，b=5，所以.9．中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，.(1)求外接圓的直徑；(2)若，求的周長(zhǎng).【答案】(1)；(2)【分析】（1）先利用正弦定理邊角互化結(jié)合三角恒等變換求得，進(jìn)而可得，再利用外接圓的直徑求解即可；（2）由向量數(shù)量積的定義可得，再利用余弦定理求的值即可.【詳解】（1）由及正弦定理可得，，因?yàn)?，，且，所?/p>