2022年全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)模擬卷四

保密★啟用前2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷四（全國(guó)乙卷·理科）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題號(hào)一二三總分得分注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．評(píng)卷人得分一、單選題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1．(本題5分)下列選項(xiàng)中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分條件的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可知，即方程有實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，由解得的范圍即為“是集合的真子集”成立的充要條件，即為所選選項(xiàng)的真子集，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】若“是集合的真子集”所以，所以方程有實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，由可得，符合題意，當(dāng)時(shí)，由可得，所以且，綜上所述：的充要條件為；即“是集合的真子集”成立充要條件為；所選集合是的必要不充分條件，則應(yīng)是所選集合的真子集，由選項(xiàng)判斷A，B，C都不正確，選項(xiàng)D正確；故選：D.2．(本題5分)設(shè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，若是實(shí)數(shù)，則=（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由是實(shí)數(shù)得到，即得解.【詳解】設(shè)，所以是實(shí)數(shù)，所以.所以.故選：D3．(本題5分)已知{an}，{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值為（）A．－6 B．6 C．0 D．10【答案】B【分析】由于{an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以{an－bn}也是等差數(shù)列，由已知條件可得{an－bn}是常數(shù)列，從而可求得答案【詳解】由于{an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以{an－bn}也是等差數(shù)列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常數(shù)列，故a10－b10＝6.故選：B.4．(本題5分)已知平面向量的夾角為，且，則（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】先求解的平方，因?yàn)?，利用平面向量相關(guān)的運(yùn)算法則求解出結(jié)果，開(kāi)方后求得【詳解】因?yàn)橄蛄康膴A角為，且，所以，故選：B5．(本題5分)角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若把逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的值，由條件可得，由正切的和角公式可得答案.【詳解】角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則把逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到，所以所以故選：B6．(本題5分)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱(chēng)為“曲池”的幾何體，該幾何體為上?下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，其高為3，底面，底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為，弧AD長(zhǎng)度為弧BC長(zhǎng)度的3倍，且，則該曲池的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用柱體體積公式求體積.【詳解】不妨設(shè)弧AD所在圓的半徑為R，弧BC所在圓的半徑為r，由弧AD長(zhǎng)度為弧BC長(zhǎng)度的3倍可知，，即.故該曲池的體積.故選：B7．(本題5分)恩格爾系數(shù)(Engel’sCoefficien)是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重.居民可支配收入是居民可用于最終消費(fèi)支出和儲(chǔ)蓄的總和，即居民可用于自由支配的收入.如圖為我國(guó)2013年至2019年全國(guó)恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線(xiàn)圖.給出三個(gè)結(jié)論：①恩格爾系數(shù)與居民人均可支配收入之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系；②一個(gè)國(guó)家的恩格爾系數(shù)越小，說(shuō)明這個(gè)國(guó)家越富裕；③一個(gè)家庭收入越少，則家庭收入中用來(lái)購(gòu)買(mǎi)食品的支出所占的比重就越小.其中正確的是（）A．① B．② C．①② D．②③【答案】C【分析】通過(guò)對(duì)2013年至2019年全國(guó)恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線(xiàn)圖的分析，了解兩者間的相關(guān)性而作出判斷.【詳解】由折線(xiàn)圖可知，恩格爾系數(shù)在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，故兩者之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，結(jié)論①正確；恩格爾系數(shù)越小，居民人均可支配收入越多，經(jīng)濟(jì)越富裕，結(jié)論②正確；家庭收入越少，人們?yōu)榻鉀Q溫飽問(wèn)題，收入的大部分用來(lái)購(gòu)買(mǎi)食品，結(jié)論③錯(cuò)誤.故選：C8．(本題5分)若a?b?c是空間三條不同的直線(xiàn)，則下列命題正確的是（）A．若，則a?b?c共面 B．若a?b?c過(guò)同一點(diǎn)，則a?b?c共面C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】ABC三項(xiàng)舉出反例即可說(shuō)明，D選項(xiàng)結(jié)合線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系即可判定.【詳解】A設(shè)確定的平面為，當(dāng)時(shí)，a?b?c不共面，故A錯(cuò)誤；B不妨設(shè)a?b?c為三棱錐的三條側(cè)棱所在直線(xiàn)，顯然a?b?c共點(diǎn)，但是a?b?c不共面，故B錯(cuò)誤；C若為平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，且，顯然滿(mǎn)足，但是不一定平行，故C錯(cuò)誤；D若，則，故D正確；故選：D.9．(本題5分)一條鐵路有n個(gè)車(chē)站，為適應(yīng)客運(yùn)需要，新增了m個(gè)車(chē)站，且知，客運(yùn)車(chē)票增加了62種，則現(xiàn)在車(chē)站的個(gè)數(shù)為（）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】由題意得，化簡(jiǎn)計(jì)算可得，由于，，可得，從而可求出，經(jīng)驗(yàn)證可得答案【詳解】原來(lái)個(gè)車(chē)站有種車(chē)票，新增了個(gè)車(chē)站，有種車(chē)票，由題意得，即，整理得，∴，∵，，∴，∴，解得，即.當(dāng)時(shí)，均不為整數(shù)，只有當(dāng)時(shí)，符合題意，∴，故現(xiàn)在有17個(gè)車(chē)站.故選：C.10．(本題5分)已知函數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，點(diǎn)，，是與圖象的連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若是鈍角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)圖象的平移可得，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平面幾何的知識(shí)即可得出，即可得解.【詳解】由條件可得，，作出兩個(gè)函數(shù)圖象，如圖：，，為連續(xù)三交點(diǎn)，(不妨設(shè)在軸下方)，為的中點(diǎn)，.由對(duì)稱(chēng)性可得是以為頂角的等腰三角形，，由，整理得，得，則，所以，要使為鈍角三角形，只需即可，由，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化條件，得到關(guān)于的不等式，運(yùn)算即可.11．(本題5分)設(shè)，，則三個(gè)數(shù)（）A．都小于4 B．至少有一個(gè)不大于4C．都大于4 D．至少有一個(gè)不小于4【答案】D【分析】由題意知利用反證法推出矛盾，即可得正確答案．【詳解】假設(shè)三個(gè)數(shù)且且，相加得：，由基本不等式得：；；；相加得：，與假設(shè)矛盾；所以假設(shè)不成立，三個(gè)數(shù)、、至少有一個(gè)不小于4．故選．【點(diǎn)睛】本題考查反證法和基本不等式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題．12．(本題5分)如圖所示，，是雙曲線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，線(xiàn)段經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，若且，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別設(shè)出坐標(biāo)利用幾何條件將C坐標(biāo)表達(dá)出后代入雙曲線(xiàn)方程，整理出離心率表達(dá)式，并代入選項(xiàng)驗(yàn)證即可得解【詳解】由題意可得在直角三角形中，為斜邊上的中線(xiàn)，所以設(shè)且在第一象限，則滿(mǎn)足解得所以,設(shè)因?yàn)閯t,化簡(jiǎn)得……則將代入后可分別化簡(jiǎn)得即將代入雙曲線(xiàn)方程，可化簡(jiǎn)為因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)中所以上式為即整理為將選項(xiàng)代入驗(yàn)證，D選項(xiàng)滿(mǎn)足等式故選：D評(píng)卷人得分二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．(本題5分)已知的展開(kāi)式中x的系數(shù)等于8，則a等于___________．【答案】【分析】把和展開(kāi)，根據(jù)展開(kāi)式中的系數(shù)等于8，求出的值．【詳解】解：，所以展開(kāi)式中的系數(shù)等于，解得或，因?yàn)?，所以．故答案為：?4．(本題5分)正四面體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)表面積是36π的球面上，則該正四面體的棱長(zhǎng)是__________．【答案】【分析】將正四面體還原為一個(gè)正方體，由正四面體和正方體內(nèi)接同一球求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)檎拿骟w內(nèi)接于球，則相應(yīng)的一個(gè)正方體內(nèi)接球，設(shè)正方體為，則正四面體為，設(shè)球的半徑為R，則，解得，所以則正方體的棱長(zhǎng)為，所以正四面體的棱長(zhǎng)為，故答案為：15．(本題5分)已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則的通項(xiàng)公式_______________________.【答案】【分析】由已知條件可得，從而有是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可得，最后利用累加法及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】解：由,得，則，由得，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以，故答案為：.16．(本題5分)蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)運(yùn)算體系的研究，最終找到了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，發(fā)明了對(duì)數(shù)，這是數(shù)學(xué)史上的大事件．他的朋友布里格斯構(gòu)造了現(xiàn)在常用的以10為底的常用對(duì)數(shù)，并出版了常用對(duì)數(shù)表，以下是部分?jǐn)?shù)據(jù)（保留到小數(shù)點(diǎn)后三位），瑞士數(shù)學(xué)家歐拉則在1770年指出了“對(duì)數(shù)源于指數(shù)”，根據(jù)下表中的參考數(shù)據(jù)和指對(duì)數(shù)之間關(guān)系，判斷下面的結(jié)論，其中正確的序號(hào)是_______．①在區(qū)間內(nèi)；②是15位數(shù)；③若，則；④若是一個(gè)70位正整數(shù)，則．參考數(shù)據(jù)如下表：真數(shù)x235711131719（近似值）0.3010.4770.6990.8451.0411.1141.2301.279【答案】①④【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，由此分析求解即可．【詳解】解：，則，所以，故①正確；因?yàn)?，所以，即?6位數(shù)，故②錯(cuò)誤；因?yàn)?，即，所以，則，則③錯(cuò)誤；因?yàn)?，因?yàn)槭且粋€(gè)70位正整數(shù)，所以，所以，所以，故④正確故答案為：①④評(píng)卷人得分三、解答題(共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．)（一）必考題：共60分17．(本題12分)已知△ABC中，asinA=bsinB.（1）證明：a=b；（2）若c=1，acosA=sinC，求△ABC的面積.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解1（2）或【分析】（1）利用正弦定理即可得證；（2）利用正弦定理求出，利用余弦定理求出，利用三角形的面積公式可得解.（1）證明：在三角形△ABC中，根據(jù)正弦定理又，即，得證（2）解：由上式可知，根據(jù)正弦定理又，即故或根據(jù)余弦定理有或代入上面式子可得或所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，18．(本題12分)正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景，生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來(lái)描述．例如，同一種生物體的身長(zhǎng)、體重等指標(biāo)．隨著“綠水青山就是金山銀山”的觀念不斷的深入人心，環(huán)保工作快速推進(jìn)，很多地方的環(huán)境出現(xiàn)了可喜的變化．為了調(diào)查某水庫(kù)的環(huán)境保護(hù)情況，在水庫(kù)中隨機(jī)捕撈了100條魚(yú)稱(chēng)重．經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，魚(yú)的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知．（1）若從水庫(kù)中隨機(jī)捕撈一條魚(yú)，求魚(yú)的重量在內(nèi)的概率；（2）從捕撈的100條中隨機(jī)挑出6條魚(yú)測(cè)量體重，6條魚(yú)的重量情況如表．重量范圍（單位：）條數(shù)132①為了進(jìn)一步了解魚(yú)的生理指標(biāo)情況，從6條魚(yú)中隨機(jī)選出3條，記隨機(jī)選出的3條魚(yú)中體重在內(nèi)的條數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；②若將選剩下的94條魚(yú)稱(chēng)重微標(biāo)記后立即放生，兩周后又隨機(jī)捕撈1000條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)其中帶有標(biāo)記的有2條．為了調(diào)整生態(tài)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)種群的優(yōu)化，預(yù)備捕撈體重在內(nèi)的魚(yú)的總數(shù)的40%進(jìn)行出售，試估算水庫(kù)中魚(yú)的條數(shù)以及應(yīng)捕撈體重在內(nèi)的魚(yú)的條數(shù)．【答案】（1）0.22；（2）①分布列見(jiàn)詳解；1；②47000；4136.【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性有，計(jì)算后即可得出答案；（2）①隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，根據(jù)超幾何分布的概率求法求出各種情況的概率，可得到其分布列，再由公式求出數(shù)學(xué)期望；②設(shè)水庫(kù)中共有條魚(yú)，根據(jù)題意有，先求出，又由（1）可知，從而可求出應(yīng)捕撈體重在內(nèi)的魚(yú)的條數(shù).（1）解：已知魚(yú)的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可知，，所以從水庫(kù)中隨機(jī)捕撈一條魚(yú)，魚(yú)的重量在內(nèi)的概率為0.22.（2）解：①挑出6條魚(yú)中，體重在內(nèi)有2條，則從6條魚(yú)中隨機(jī)選出3條，得隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，；；；所以的分布列為：012數(shù)學(xué)期望.②設(shè)水庫(kù)中共有條魚(yú)，根據(jù)題意有，則（條），所以估計(jì)水庫(kù)中有47000條魚(yú)；由（1）可知，則體重在內(nèi)的魚(yú)應(yīng)捕撈（條）.19．(本題12分)如圖，在四棱錐EABCD中，ABCE，AECD，，AB=3，CD=4，AD=2BC=10.（1）證明：∠AED是銳角；（2）若AE=10，求二面角ABEC的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)M，結(jié)合已知條件利用線(xiàn)面垂直判定定理和性質(zhì)證明平面，然后利用勾股定理和余弦定理即可證明；（2）結(jié)合已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，然后利用二面角的空間向量公式求解即可.（1）延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)M，連接EM，如下圖所示：因?yàn)?，，所以為的中位線(xiàn)，從而，，，所以，故，又因?yàn)锳BCE，AECD，，，所以平面，平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，所以平面，令，則，，所以，所以是銳角.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系：由題意可知，，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，，從而，因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，由圖可知，二面角為鈍二面角，故，從而二面角ABEC的余弦值.20．(本題12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓上的一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為6，過(guò)焦點(diǎn)的弦中最短的弦長(zhǎng)為3；橢圓的右焦點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)．（1）求橢圓與拋物線(xiàn)的方程；（2）過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)Q的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線(xiàn)、分別交橢圓于C、D兩點(diǎn)，的面積為，以A、C、D、B為頂點(diǎn)的四邊形的面積為，問(wèn)是否存在直線(xiàn)l使得？若存在，求出直線(xiàn)/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）橢圓的方程，拋物線(xiàn)的方程為（2）存在直線(xiàn)l，方程為或者．【分析】（1）由焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)，通徑和橢圓的關(guān)系式可求，進(jìn)而求解，；（2）設(shè)l的方程為，設(shè)、、、，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，得出關(guān)于的韋達(dá)定理，再通過(guò)直線(xiàn)方程聯(lián)立橢圓方程求出，結(jié)合正弦面積公式進(jìn)一步化簡(jiǎn)即可求解.（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程，拋物線(xiàn)的方程為；（2）由題意得直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，設(shè)、、、，由，得，∵，∴，∵，∴直線(xiàn)的斜率為，即直線(xiàn)的方程為，由，得，同理可得，，∴，得，所以存在直線(xiàn)l，方程為或者．21．(本題12分)已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（1）（2）當(dāng)或時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn).【分析】（1）通過(guò)求導(dǎo)判斷出的單調(diào)性，即可求出的值域；（2）對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，通過(guò)討論每種情況下的單調(diào)性，進(jìn)而判斷出極值的情況.（1）因?yàn)椋?，設(shè)，，因?yàn)?，所以，單調(diào)遞減，則，即，所以在上單調(diào)遞減，，所以的值域?yàn)椋海?）因?yàn)?，所以，設(shè)，，因?yàn)?，則，（1）當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞減，，即，單調(diào)遞減，無(wú)極值，（2）當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增，，即，單調(diào)遞增，無(wú)極值，（3）當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則存在，使得，即，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，，①?dāng)，即時(shí)，，即恒成立，即，單調(diào)遞增，無(wú)極值，②當(dāng)，即時(shí)，，則存在，使得，時(shí)，，，單調(diào)遞增，時(shí)，，，單調(diào)遞減，是的極大值點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)