《運籌學》題庫及答案

運籌學習題庫

數(shù)學建模題（5）

1、某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品均需要A、B、C三種資源，每種產(chǎn)品的資源消耗

量及單位產(chǎn)品銷售后所能獲得的利潤值以及這三種資源的儲備如下表所示：

ABC

甲94370

乙4610120

360200300

試建立使得該廠能獲得最大利潤的生產(chǎn)計劃的線性規(guī)劃模型，不求解。

解：設甲、乙產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量應為xl、x2,則xl、x220,設z是產(chǎn)品售后的總利潤，則

maxz=70XI+120X2

s.t.

9x1+4X2<360

+6X2<200

3X1+10X2<300

x2>0

2、某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)所需原材料、工時和零件等有關(guān)數(shù)據(jù)如下：

甲乙可用量

原材料（噸/件）223000噸

工時（工時/件）52.54000工時

零件（套/件）1500套

產(chǎn)品利潤（元/件）43

建立使利潤最大的生產(chǎn)計劃的數(shù)學模型，不求解。

解：設甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為入、x2，

設z為產(chǎn)品售后總利潤，則max2=4X1+3X2

s.t.

2x}+2X2<3000

5X1+2,5x2W4000

'Xj<500

x,,x2>0

3、一家工廠制造甲、乙、丙三種產(chǎn)品，需要三種資源一一技術(shù)服務、勞動力和行政管理。

每種產(chǎn)品的資源消耗量、單位產(chǎn)品銷售后所能獲得的利潤值以及這三種資源的儲備量如下表

所示：

技術(shù)服務勞動力行政管理單位利潤

甲110210

乙1426

丙1564

資源儲備量100600300

建立使得該廠能獲得最大利潤的生產(chǎn)計劃的線性規(guī)劃模型，不求解。

解：建立線性規(guī)劃數(shù)學模型：

設甲、乙、丙三種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量應為XI、X2、x3,則XI、X2、X320,設z是產(chǎn)品售后的總

利潤，則

maxz=10x1+6x2+4x3

Xj+x2+<100

10J,+4X2+5X3<6(X)

2%[+2X2+6巧<300

x2,x3>0

4、一個登山隊員，他需要攜帶的物品有：食品、氧氣、冰鎬、繩索、帳篷、照相器材、通

信器材等。每種物品的重量合重要性系數(shù)如表所示。設登山隊員可攜帶的最大重量為25kg,

試選擇該隊員所應攜帶的物品。

序號1234567

物品食品氧氣冰鎬繩索帳篷照相器材通信設備

重量/Kg55261224

重要性系數(shù)201518148410

試建立隊員所能攜帶物品最大量的線性規(guī)劃模型，不求解。

解：引入0—1變量M,表示應攜帶物品了,,M=0表示不應攜帶物品/

naxz=20X]+15x2+18x3+14A4+8x5+4x6+l0x7

5x,+5X2+2X3+6X4+12X5+2x6+4x7<25

Xj=0或=1,2,...7

5、工廠每月生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，單件產(chǎn)品的原材料消耗量、設備臺時的消耗量、資源

限量及單件產(chǎn)品利潤如下圖所示：

ABC資源限量

資、^品

源

材料（kg）1.51.242500

設備（臺時）31.61.21400

利潤（元/件）101412

根據(jù)市場需求，預測三種產(chǎn)品最低月需求量分別是150、260、120,最高需求量是250、310、

130,試建立該問題數(shù)學模型，使每月利潤最大，為求解。

解：設每月生產(chǎn)A、B、C數(shù)量為4，々，當。

MaxZ=10x）+14.r2+12x3

，1.5X]+1.2X2+4X3<2500

3x1+\.6X2+1.2X3<1400

150<250

260<x2<310

120<x3<130

^xpx2,x3>0

6、A、B兩種產(chǎn)品，都需要經(jīng)過前后兩道工序，每一個單位產(chǎn)品A需要前道工序1小時和后

道工序2小時，每單位產(chǎn)品B需要前道工序2小時和后道工序3小時。可供利用的前道工序

有11小時，后道工序有17小時。每加工一個單位產(chǎn)品B的同時，會產(chǎn)生兩個單位的副產(chǎn)

品C,且不需要任何費用，產(chǎn)品C一部分可出售盈利，其余只能加以銷毀。出售A、B、C

的利潤分別為3、7、2元，每單位產(chǎn)品C的銷毀費用為1元。預測表明，產(chǎn)品C最多只能售

出13個單位。試建立總利潤最大的生產(chǎn)計劃數(shù)學模型，不求解。

解：設每月生產(chǎn)A、B數(shù)量為不，々，銷毀的產(chǎn)品C為巧。

MaxZ=3^1+7X2+2(2x2-x3)-x3

"%+2X2?11

2x+3X<17

1It2

2X2-X3<13

<xl,x2,x3>0

7、靠近某河流有兩個化工廠(參見附圖)，流經(jīng)第一化工廠的河流流量為每天500m3,在

兩個工廠之間有一條流量為200萬的支流。第一化工廠每天排放有某種優(yōu)化物質(zhì)的工業(yè)

污水2萬加工第二化工廠每天排放該污水1.4萬63。從第一化工廠的出來的污水在流至

第二化工廠的過程中，有20%可自然凈化。根據(jù)環(huán)保要求，河流中的污水含量不應大于0.2%.

這兩個工廠的都需要各自處理一部分工業(yè)污水。第一化工廠的處理成本是1000元/萬機

第二化工廠的為800元/萬加3。現(xiàn)在要問滿足環(huán)保的條件下，每廠各應處理多少工業(yè)污水,

才能使兩個工廠的總的污水處理費用最少？列出數(shù)學模型，不求解。

解：設第一化工廠和第二化工廠的污水處理量分別為每天西機3和X2萬機3,

minZ=l(XX)x+8()0x

1<x1<2

0.8X]+x>1.6

st?2

x21.4

xI,x2>0

8、消費者購買某一時期需要的營養(yǎng)物（如大米、豬肉、牛奶等），希望獲得其中的營養(yǎng)成分

（如：蛋白質(zhì)、脂肪、維生素等）。設市面上現(xiàn)有這3種營養(yǎng)物，其分別含有各種營養(yǎng)成分

數(shù)量，以及各營養(yǎng)物價格和根據(jù)醫(yī)生建議消費者這段時間至少需要的各種營養(yǎng)成分的數(shù)量

（單位都略去）見下表。

營養(yǎng)物

營養(yǎng)成尸甲乙丙至少需要的營養(yǎng)成分數(shù)量

A462080

B11265

C10370

D21735450

價格252045

問：消費者怎么購買營養(yǎng)物，才能既獲得必要的營養(yǎng)成分，而花錢最少？只建立模型，不用

計算。

解：設購買甲、乙、丙三種營養(yǎng)物的數(shù)量分別為與、/和芻，則根據(jù)題意可得如下線性規(guī)

劃模型：

minz=25%+20x2+45.

4%+6X2+20X3>80

%1+%2+2X3>65

s.t.<X]+3X3>70

21%+7X2+35X3>450

xrx2,x3>0

9、某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品A,B,C和D都要經(jīng)過下列工序：包lj、立銃、鉆孔和裝配。已知每

單位產(chǎn)品所需工時及本月四道工序可用生產(chǎn)時間如下表所示:

刨立銃鉆孔裝配

A0.52.00.53.0

B1.01.0.0.51.0.

C1.01.01.02.0

D0.51.01.03.0

可用生產(chǎn)時間1800280030006000

（小時）

又知四種產(chǎn)品對利潤貢獻及本月最少銷售需要單位如下:

產(chǎn)品最少銷售需要單位元/單位

A1002

B6003

C5001

D4004

問該公司該如何安排生產(chǎn)使利潤收入為最大？（只需建立模型）

解：設生產(chǎn)四種產(chǎn)品分別X1,X2,X3,X4單位

則應滿足的目標函數(shù)為：maxz=2xi+3X2+X3+X4

滿足的約束條件為：

0.5%]+42+玉+05%41800

2x1+x2+Xy+x4<2800

（）.5石+（）.5X2++x4<300（）

3X1+/+2匕+3X4<6000

x,>100

x2>600

x3>500

X4>400

10、某航空公司擁有10架大型客機、15架中型客機和2架小型客機，現(xiàn)要安排從一機場

到4城市的航行計劃，有關(guān)數(shù)據(jù)如表1-5,要求每天到D城有2個航次（往返），到A,B,C

城市各4個航次（往返），每架飛機每天只能完成一個航次，且飛行時間最多為18小時，

求利潤最大的航班計劃。

客機類型到達城市飛行費用（元/次）飛行收入（元/次）飛行時間（h/d）

A600050001

大型B700070002

C8000100005

D100001800010

A100030002

中型B200040004

C400060008

D-■-一-20

A200040001

小型B350055002

C600080006

D————19

解：設大型客機飛往A城的架次為XIA，中型客機飛往A城的架次為X2A，小型客機飛往

A城的架次為X3A，其余依此類推。

資源限制派出的大型客機架次不能超過10架，表示為

X\A+玉8+“IC"1°

同理ZA+ZS+ZCKIS

X3A++^3C—2

班次約束飛往各城的班次要滿足

斗A+%2A+X3A=4

斗8+X2B+X3B=4

xiC+x2C+x3C=4

%。+%。+七。=2

非負性約束4.20且為整數(shù)；（i=l,2,3;j=A,B,C,D）

maxz=-1000玉八+0x+2000x4-8000x+2000x+

目標函數(shù)為IBlc1D24

犬

2(X)02〃+2000%c+2(XX)X3A+2(XX)x3B+2()(Xk3c

11、CRISP公司制造四種類型的小型飛機：ARI型（具有一個座位的飛機）、AR2型（具有

兩個座位的飛機）、AR4型（具有四個座位的飛機）以及AR6型（具有六個座位的飛機）。AR1

和AR2一般由私人飛行員購買，而AR4和AR6一般由公司購買，以便加強公司的飛行編隊。

為了提高安全性，聯(lián)邦航空局（F.A.A）對小型飛機的制造做出了許多規(guī)定。一般的聯(lián)邦航

空局制造規(guī)章和檢測是基于一個月進度表進行的，因此小型飛機的制造是以月為單位進行

的。表說明了CRISP公司的有關(guān)飛機制造的重要信息。

ARIAR2AR4AR6

聯(lián)邦航空局的最大產(chǎn)量（每月生產(chǎn)的飛機數(shù)目）8171115

建造飛機所需要的時間（天）47911

每架K機所需要的生產(chǎn)經(jīng)理數(shù)E1122

每架U機的盈利貢獻（千美元）6284103125

CRISP公司下個月可以得到的生產(chǎn)經(jīng)理的總數(shù)是60人。該公司的飛機制造設施可以同

時在任何給定的時間生產(chǎn)多達9架飛機。因此,下一個月可以得到的制造天數(shù)是270天（9*30,

每月按30天計算）。JonathanKuring是該公司飛機制造管理的主任，他想要確定下個月的

生產(chǎn)計劃安排，以便使盈利貢獻最大化。

解：設*表示下個月生產(chǎn)ARI型飛機的數(shù)目，％表示AR2型，W表示AR4型，&表示

AR6型

目標函數(shù)：maxz-62A-,+84x2+103%4-125x4

4%+lx2+9X3+1lx4<270

%+%2+2X3+2X4<60

x,<8

約束條件：X2<17

<11

x4<15

xpx2,x3,x4>0

%,々，工3，々為整數(shù)

12、永輝食品廠在第一車間用1單位原料N可加工3單位產(chǎn)品A及2單位產(chǎn)品B,產(chǎn)品A可

以按單位售價8兀出售，也可以在第二車間繼續(xù)加工，單位生產(chǎn)費用要增加6兀，加工后單

位售價增加9元。產(chǎn)品B可以按單位售價7元出售，也可以在第三車間繼續(xù)加工，單位生產(chǎn)

費用要增加4元，加工后單位售價可增加6元。原料N的單位購入價為2元，上述生產(chǎn)費用

不包括工資在內(nèi)。3個車間每月最多有20萬工時，每工時工資0.5元，每加工1單位N需

要1.5工時，若A繼續(xù)加工，每單位需3工時，如B繼續(xù)加工，每單位需2工時。原料N

每月最多能得到10萬單位。問如何安排生產(chǎn)，使工廠獲利最大？

解：設西為產(chǎn)品A的售出量；超為A在第二車間加工后的售出量；七表示產(chǎn)品B的售出

量；5表示B在第三車間加工后的售出量；毛為第一車間所用原材料的數(shù)量，

則目標函數(shù)為：maxz=+9.5x2+7x3+8x4-2.75x5

&<100()(X)

3x2+2x44-1.5x5<200000

約束條件:X[+勺-3毛=0

Xj+x4-2X5=0

王，W，馬?"4'*5~°

>化標準形式（5）

1、將下列線性規(guī)劃模型化為標準形式

minz=xl-2x2+3X3

X)4-x2+x3<7

x]-x2+x3>2

一3X]+x2+2X3=-5

X)>0x2>0馬無約束

maxz'=-Xj+2X2-3(x4-x5)+0?x6+0-x7

玉+x2+x4-x5+x6=7

Xj-x2+x4-x5-x7=2

2元3=

3NO

2、將下列線性規(guī)劃模型化為標準形式

minz=%+2x2+3x3

-2xt+x2+x3<9

-3工]+x2+2X3>4

43—2^2—3Xj=-6

Xj<0x2>0芻無約束

M

maxz*=x,-2X2-3x3*+3x3

M

2xJ+x2+X3'-X3+x4=9

M

3x/+x2+2X3-2X3-x5=4

,

4xJ+2X2+3X3'-3X3*=6

%之°

3、將下列線性規(guī)劃變?yōu)樽畲笾禈藴市巍?/p>

minz=-3x]+4x2-2x3+5x4

4玉—x2+2xs—x4=—2

A；1+x2+3X3-x4<14

-2X1+3X2-X3+2X4>2

xpx2,x320,占無約束

解:

maxz=3X]-4x2+2x3-5x4+5x4

一4玉+x2-2xi+x4-x4=2

%+W+3X-X,+X4-XJ=14

st<34

—2百+3x2一七+2/2%4—/=2

xpx2,x3,x4,x4",x5x6>0

>圖解法(5)

1、用圖解法求解下面線性規(guī)劃

minz=-3x1+2x2

2x}+4X2422

-xl+4X2<10

,2x1-X2<7

%)-3x2<1

xpx2>0

可行解域為abcda,最優(yōu)解為b點.。

2X[+4X2=22

由方程組，A解出x】=ll,x2=0

》2=0

CT

AX==(11,0)T

Aminz=-3X11+2X0-33

2、用圖解法求解下面線性規(guī)劃

minz=2XI+X2

一內(nèi)+4X2<24

Xj+x2>8

"5<x,<10

x2>0

解：

%+42=8

:解出Xi=5,X=3

%=52

AX==(5,3)T

VX2)

Aminz=Z*=2X5+3=13

3、已知線性規(guī)劃問題如下：

MaxZ=X[+3X2

0+10x2<50

X1+x2>1

x2<4

xx>0

Ip2

用圖解法求解，并寫出解的情況

解:

X2:二4

5XI+10X2=50

Xi+X2=l

由圖可知：

5x,+10x2=50解之得:X[=2

Y

x=4x=4

221

則maxZ=2+3*4=14

4、用圖解法求解下面線性規(guī)劃問題

maxz=2%+x2

5.415

6x+2X9<24

x2+x2<5

Xj,x2>0

解:

5、用圖解法求解下面線性規(guī)劃問題

maxz=2%+3x9

玉+2X2<8

4x,<16

4X2<12

x>>0J=l,2

圖解如下:

可知,

大值為一=2*4+3*2=14。

二、單純型法(15)

1、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解

maxz=3XJ+3X2+4X3

3X[+4X2+5A3<40

6x+4X2+3X3<66

Xj,x2,x3>0

解：加入松弛變量x.”x5,得到等效的標準模型:

maxz=3XI+3X2+4XQ+0X?+0XS

3X[+4X2+5X3+x4=40

再+

s.t,64X2+3X3+x5=66

X/20,/=1,2,…,5

列表計算如下：

33400

CBXBb0L

xlx2x3x4x5

0x44034(5)108

0x5666430122

00000

334t00

4x383/54/511/5040/3

0x542(21/5)8/50-3/5110

12/516/544/50

3/51-1/50-4/50

4x3204/712/7-1/7

3xl1018/210-1/75/21

324/745/71/7

38

0-3/70-5/7-1/7

/.X*=(10,0,2,0,0)r/.maxz=3X10+4X2=38

2、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解

maxz=70XI+120X2

9xj+4X2<360

+6X2<200

s3Xj+10x2<300

Xpx2>0

解：加入松弛變量X3,X.,X5,得到等效的標準模型:

maxz=70XI+120X2+0X3+Ox?+0X5

s.t.

9x,4-4X2+x3=360

4巧+6X2+x4=200

5

3X[+10x2+x5=300

XjN0,/=12???5

列表計算如下:

70120000

CBXBb0L

xlx2x3x4x5

0x33609410090

0x420046010100/3

0x53003(10)00130

00000

701201000

0x324039/5010-2/5400/13

0x420(11/5)001-3/5100/11

120x2303/101001/10100

361200012

341000-12

0x31860/11001-39/1119/11

70xl100/111005/11-3/11

120x2300/110103/222/11

43000701200170/1130/11

11000-170/11-30/11

*1003001860

?X=(z—,——,0,0)1

111111

10030043000

?maxz=70X——+120X——=---------

111111

3、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解

2x}+2X2<3000

5x.+2.5X2<4000

maxz=4x+3x.s.t.i

1Z<500

x2>0

解：加入松弛變量X3，X4?Xs,得到等效的標準形式：

2X,+2X2+X3=3000

5x,+2,5X2+%=4000

maxz=4X]+3X2+0X+0X4+OX5S.t."

3%+/=500

XjNO,J=1,2,…5

用表解形式的單純形法求解，列表計算如下：

43000

CBXBbBi.

XXX

123X4X5

0x33000221003000/2=1500

0x4400052.50104000/5=800

0xs500(1)0001500/1=500

00000

4t3000

0x320000210-22000/2=1000

0X415000(2.5：>01-51500/2.5=600

4X150010001

40004

03f00-4

0x3800001-0.8(2)800/2=400

3x26000100.4-2

4X150010001500/1=500

4301.2-2

000-1.22f

0X5400000.5-0.41

3X21400011-0.40

410010-0.50.40

4310.40

4600

00-1-0.40

據(jù)上表，X*=(100,1400,0,0,400)'maxz=4X100+3X1400=460

4、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解

maxz=10XI+6X2+4X3

x1+x2+x3<100

lOx,+4X2+5X3<600

<

2X[+2X2+<300

X],X29x3>0

解：加入松弛變量X.”X5,X6,得到等效的標準模型：

maxz=10XI+6X2+4XJ+0XJ+OX5+0X6

Xj+x2+x3+X4=100

10%1+4X2+5X3+X5=600

V

s.t.

2X|+2X2+6七+x6=300

XjNO,/=1,2,…6

列表計算如下：

1064000

CBXBb0L

xlx2x3x4x5x6

0x4100111100100

0x5600(10)4501060

0x6300226001150

000000

lOt64000

0x4400(3/5)1/21-1/100200/3

10Xl6012/51/201/100150

0x618006/550-1/51150

1045010

02t-10-10

6x2200/3015/65/3-1/60

10xl100/3101/6-2/31/60

0x6100004-201

220010620/310/32/30

300-8/3-10/3一2/30

100200

(3'3，°0,0,100)'

1002002200

z=10X——+6X----二------

333

5、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解

MaxZ=4x]-2x2+2x3

r3^1+x2+x3<60

-x2+2X3<10

2xj+2X2-2X3<40

<X],X2,X3>0

用單純形法求解，并指出問題的解屬于哪一類。

解：(1)、將原問題劃為標準形得：

MaxZ=-2X2+2x3+0x4+0x5+0x6

'3X]+x2+x3+x4=60

%1—x2+2X3+X5=10

2x)+2X2-2X3+x6=40

x1,x2,x3,x4,x5,x6>0

Cj4-22009

b

CBXB工2Z%/

060311100

匕

0&10[1]-12013

0%402-22001

4-22009

bj

Cj4-2200,

b

CBXB,x2￡z%

03004-51-39

4101-121

*03

0200[4]-60-21

02-60-43

%

Cj4-22000

b

CBXB王x2工3五4%

0100011-1-1

415101/201/21/4

-2501-3/20-1/21/4

%2

00-30-3-1/2

所以X=(15,5,0,10,0,0)為唯一最優(yōu)解

MaxZ=4*15-2*5=50

6、用單純形法求解下述LP問題。

maxz=2.5x,+x2

+5X2<15

5%+2%410

xpx2>0

解：引入松弛變量與、%4,化為標準形式:

maxz=2.5x}+x2

3x}+5X2+x3=15

5X[+2X2+X4=10

xpx2,x3,x4>0

構(gòu)造單純形表,計算如下:

CJ2.5100

4

CBXBh演z與①

0W1535105

0%10[5]2012

Oj2.5100

090[19/5]1一3/545/19

2.5212/501/55

*000-1/2

1九245/19015/19-3/19

2.520/1910-2/195/19

000-1/2

由單純形表，可得兩個最優(yōu)解X⑴=(2,0,9,0),、X⑵=(20/19,45/19,0,0)、所以

兩點之間的所有解都是最優(yōu)解，即最優(yōu)解集合為：aX(,)+(l-a)X(2),其中OKaKl。

7、用單純形法解線性規(guī)劃問題

maxz=2玉+x2

5X2<15

6Xj+2X<24

<2

玉+x2<5

Xj>0x2>0

解：化為標準型

maxz=+x2+0x3+0x4+0x5

5元2+x3=15

6項+2X2+x4=24

+x2+尤5=5

Xl-5-。

列出單純形表

Cj21000

CHXRbX\X2照X,lA5

0X31505100

0Xi24[6]20104

0X55110015

-z021000

0X315051003

2X\411/301/6012

0禹10[2/3]0-1/613/2

-z-801/30-1/30

0Xi15/20015/4-15/2

2X\7/21001/4-1/2

1Xz3/2010-1/43/2

-z-20000-1/4-1/2

Z*=17/2,X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)'

8、用單純型法求解下面線性規(guī)劃問題的解

maxz=x1+x2

X-2X2<2

-2x,+x<2

<