統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)69離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布理含解析北師大版

PAGE課后限時(shí)集訓(xùn)(六十九)離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布建議用時(shí)：40分鐘一、選擇題1．同時(shí)拋擲2枚質(zhì)地勻稱的硬幣4次，設(shè)2枚硬幣均正面對上的次數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望是()A．1 B．2C．eq\f(3,2) D．eq\f(5,2)A[∵一次同時(shí)拋擲2枚質(zhì)地勻稱的硬幣，恰好出現(xiàn)2枚正面對上的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，∴X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,4)))，∴EX＝4×eq\f(1,4)＝1.故選A.]2．在某項(xiàng)測試中，測量結(jié)果ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)，若P(0<ξ<1)＝0.4，則P(0<ξ<2)＝()A．0.4 B．0.8C．0.6 D．0.2B[由正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)得P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.故選B.]3．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ－1012Pxeq\f(1,3)eq\f(1,6)y若Eξ＝eq\f(1,3)，則Dξ＝()A．1 B．eq\f(11,9)C．eq\f(2,3) D．2B[∵Eξ＝eq\f(1,3)，∴由隨機(jī)變量ξ的分布列知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)＋\f(1,6)＋y＝1，,－x＋\f(1,6)＋2y＝\f(1,3)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,18)，,y＝\f(2,9)，))則Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(5,18)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,3)))2×eq\f(2,9)＝eq\f(11,9).]4．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測，直至能確定全部次品為止，記檢測的次數(shù)為ξ，則Eξ＝()A．3 B．eq\f(7,2)C．eq\f(18,5) D．4B[ξ的可能取值為2,3,4，P(ξ＝2)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq\f(A\o\al(3,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋A\o\al(3,3)C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))＝eq\f(3,5)，則Eξ＝2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(3,5)＝eq\f(7,2)，故選B.]5．(2024·全國卷Ⅲ)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))pi＝1，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2B[對于A，當(dāng)p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4時(shí)，隨機(jī)變量X1的分布列為X11234P0.10.40.40.1EX1＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，DX1＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以eq\r(DX1)＝eq\r(0.65).對于B，當(dāng)p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1時(shí)，隨機(jī)變量X2的分布列為X21234P0.40.10.10.4EX2＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，DX2＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，所以eq\r(DX2)＝eq\r(1.85).對于C，當(dāng)p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3時(shí)，隨機(jī)變量X3的分布列為X31234P0.20.30.30.2EX3＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，DX3＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以eq\r(DX3)＝eq\r(1.05).對于D，當(dāng)p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2時(shí)，隨機(jī)變量X4的分布列為X41234P0.30.20.20.3EX4＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，DX4＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，所以eq\r(DX4)＝eq\r(1.45).所以B中的標(biāo)準(zhǔn)差最大．]二、填空題6．設(shè)X為隨機(jī)變量，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，若隨機(jī)變量X的均值EX＝2，則P(X＝2)等于________．eq\f(80,243)[由X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，EX＝2，得np＝eq\f(1,3)n＝2，∴n＝6，則P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))4＝eq\f(80,243).]7．某超市經(jīng)營的某種包裝優(yōu)質(zhì)東北大米的質(zhì)量X(單位：kg)聽從正態(tài)分布N(25,0.22)，隨意選取一袋這種大米，質(zhì)量在24.8～25.4kg的概率為________．(附：若Z～N(μ，σ2)，則P(|Z－μ|＜σ)＝0.6827，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.9545，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.9973)0.8186[∵X～N(25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)×(0.6827＋0.9545)＝0.8186.]8．2024年高考前其次次適應(yīng)性訓(xùn)練結(jié)束后，某校對全市的英語成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)覺英語成果的頻率分布直方圖形態(tài)與正態(tài)分布N(95,82)的密度曲線特別擬合．據(jù)此估計(jì)：在全市隨機(jī)抽取的4名高三同學(xué)中，恰有2名同學(xué)的英語成果超過95分的概率是________．eq\f(3,8)[由題意可知每名學(xué)生的英語成果ξ～N(95,82)，∴P(ξ＞95)＝eq\f(1,2)，故所求概率P＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,8).]三、解答題9．大豆是我國主要的農(nóng)作物之一，因此，大豆在農(nóng)業(yè)發(fā)展中占有重要的地位，隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的不斷發(fā)展，為了使大豆得到更好的種植，就要進(jìn)行超級種培育探討．某種植基地培育的“超級豆”種子進(jìn)行種植測試：選擇一塊養(yǎng)分均衡的可種植4株的試驗(yàn)田地，每株放入三?！俺壎埂狈N子，且至少要有一粒種子發(fā)芽這株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205kg.已知每粒豆苗種子成活的概率為eq\f(1,2)(假設(shè)種子之間及外部條件一樣，發(fā)芽相互沒有影響)．(1)求恰好有3株成活的概率；(2)記成活的豆苗株數(shù)為ξ，收成為η(kg)，求隨機(jī)變量ξ分布列及η的數(shù)學(xué)期望Eη.[解](1)設(shè)每株豆子成活的概率為P0，則P0＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).所以4株中恰好有3株成活的概率P＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))1＝eq\f(343,1024).(2)記成活的豆苗株數(shù)為ξ，收成為η＝2.205ξ，則ξ的可能取值為0,1,2,3,4，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,8)))，所以ξ的分布列如下表：ξ01234PCeq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－,\f(7,8)))4Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))3Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))2Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))1Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))4∴Eξ＝4×eq\f(7,8)＝3.5，Eη＝E(2.205ξ)＝2.205·Eξ＝7.7175(kg)．10．(2024·合肥第一次教學(xué)檢測)“大湖名城，創(chuàng)新高地”的合肥，歷史文化積淀深厚，民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風(fēng)光秀美，成為中小學(xué)生“研學(xué)游”的志向之地．為了將來更好地推動(dòng)“研學(xué)游”項(xiàng)目，某旅游學(xué)校一位實(shí)習(xí)生，在某旅行社實(shí)習(xí)期間，把“研學(xué)游”分為科技體驗(yàn)游、民俗人文游、自然風(fēng)光游三種類型，并在前幾年該旅行社接待的全省高一學(xué)生“研學(xué)游”學(xué)校中，隨機(jī)抽取了100所學(xué)校，統(tǒng)計(jì)如下：研學(xué)游類型科技體驗(yàn)游民俗人文游自然風(fēng)光游學(xué)校數(shù)404020該實(shí)習(xí)生在明年省內(nèi)有意向組織高一“研學(xué)游”的學(xué)校中，隨機(jī)抽取了3所學(xué)校，并以統(tǒng)計(jì)的頻率代替學(xué)校選擇研學(xué)游類型的概率(假設(shè)每所學(xué)校在選擇研學(xué)游類型時(shí)僅選擇其中一類，且不受其他學(xué)校選擇結(jié)果的影響)．(1)若這3所學(xué)校選擇的研學(xué)游類型是“科技體驗(yàn)游”和“自然風(fēng)光游”，求這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率；(2)設(shè)這3所學(xué)校中選擇“科技體驗(yàn)游”學(xué)校數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．[解](1)依題意，學(xué)校選擇“科技體驗(yàn)游”的概率為eq\f(2,5)，選擇“自然風(fēng)光游”的概率為eq\f(1,5)，若這3所學(xué)校選擇研學(xué)游類型為“科技體驗(yàn)游”和“自然風(fēng)光游”，則這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率為P＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＋Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝eq\f(18,125).(2)X的可能取值為0,1,2,3.則P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＝eq\f(8,125)，∴X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)∴EX＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(6,5).1．已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(5,6)B[由題意知a，b，c∈[0,1]，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3)，又函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故對于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3).]2．體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每名學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球勝利，則停止發(fā)球，否則始終發(fā)到3次為止．設(shè)某學(xué)生每次發(fā)球勝利的概率為p(0＜p＜1)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望EX＞1.75，則p的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C[由已知條件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，則EX＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞eq\f(5,2)或p＜eq\f(1,2).由p∈(0,1)，可得p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).]3．在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事務(wù)A發(fā)生的概率為p，事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)為ξ，則數(shù)學(xué)期望Eξ＝________，方差Dξ的最大值為________．peq\f(1,4)[記事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)ξ可能的值為0,1.ξ01P1－pp數(shù)學(xué)期望Eξ＝0×(1－p)＋1×p＝p，方差Dξ＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤eq\f(1,4).故數(shù)學(xué)期望Eξ＝p，方差Dξ的最大值為eq\f(1,4).]4．(2024·廣州市調(diào)研檢測)某城市A公司外賣配送員底薪是每月1800元/人，設(shè)每月每人配送的單數(shù)為X，若X∈[1,300]，配送員每單提成3元；若X∈(300,600]，配送員每單提成4元；若X∈(600，＋∞)，配送員每單提成4.5元．B公司外賣配送員底薪是每月2100元/人，設(shè)每月每人配送的單數(shù)為Y，若Y∈[1,400]，配送員每單提成3元；若Y∈(400，＋∞)，配送員每單提成4元．小王安排在A公司和B公司之間選擇一份外賣配送員工作，他隨機(jī)調(diào)查了A公司外賣配送員甲和B公司外賣配送員乙在9月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1：A公司外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量x/單131416171820天數(shù)2612622表2：B公司外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計(jì)日送餐量y/單111314151618天數(shù)4512351(1)設(shè)A公司外賣配送員月工資為f(X)(單位：元/人)，B公司外賣配送員月工資為g(Y)(單位：元/人)，當(dāng)X＝Y(jié)且X，Y∈(300,600]時(shí)，比較f(X)與g(Y)的大?。?2)若將甲、乙9月份的日送餐量的頻率視為對應(yīng)公司日送餐量的概率．(ⅰ)分別計(jì)算外賣配送員甲和乙每日送餐量的數(shù)學(xué)期望；(ⅱ)請利用你所學(xué)的學(xué)問為小王作出選擇，并說明理由．[解](1)因?yàn)閄＝Y(jié)且X，Y∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，當(dāng)X∈(300,400]時(shí)，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300＞0.當(dāng)X∈(400,600]時(shí)，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300＜0.故當(dāng)X∈(300,400]時(shí)，f(X)＞g(X)，當(dāng)X∈(400,600]時(shí)，f(X)＜g(X)．(2)(ⅰ)甲的日送餐量x的分布列為：x131416171820Peq\f(1,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)eq\f(1,15)eq\f(1,15)則Ex＝13×eq\f(1,15)＋14×eq\f(1,5)＋16×eq\f(2,5)＋17×eq\f(1,5)＋18×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,15)＝16.乙的日送餐量y的分布列為：y111314151618Peq\f(2,15)eq\f(1,6)eq\f(2,5)eq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,30)則Ey＝11×eq\f(2,15)＋13×eq\f(1,6)＋14×eq\f(2,5)＋15×eq\f(1,10)＋16×eq\f(1,6)＋18×eq\f(1,30)＝14.(ⅱ)EX＝30Ex＝480∈(300,600]，EY＝30Ey＝420∈(400，＋∞)．估計(jì)A公司外賣配送員月薪平均為1800＋4EX＝3720(元)．估計(jì)B公司外賣配送員月薪平均為2100＋4EY＝3780(元)．因?yàn)?780＞3720，所以小王應(yīng)選擇做B公司外賣配送員．武漢有“九省通衢”之稱，也稱為“江城”，是國家歷史文化名城．其中聞名的景點(diǎn)有黃鶴樓、戶部巷、東湖風(fēng)景區(qū)等等．(1)為了解“五一”勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日江城某旅游景點(diǎn)游客年齡的分布狀況，從年齡在22歲到52歲的游客中隨機(jī)抽取了1000人，制成了如下的頻率分布直方圖：現(xiàn)從年齡在[42,52]內(nèi)的游客中，采納分層抽樣的方法抽取10人，再從抽取的10人中隨機(jī)抽取4人，記這4人中年齡在[47,52]內(nèi)的人數(shù)為ξ，求P(ξ＝3)．(2)為了給游客供應(yīng)更舒適的旅游體驗(yàn)，某旅游景點(diǎn)游船中心安排在2024年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐觀光．由2010年到2024年這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量X(單位：萬人)都大于1.將每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量分成3個(gè)區(qū)間整理得下表：勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5頻數(shù)244以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個(gè)區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率，且每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量相互獨(dú)立．該游船中心希望投入的A型游船盡可能被充分利用，但每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日A型游船最多運(yùn)用量(單位：艘)要受當(dāng)日客流量X(單位：萬人)的影響，其關(guān)系如下表：勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量X1＜