復(fù)變函數(shù)教案第四章

章節(jié)名稱：第四章學(xué)時(shí)安排：6學(xué)時(shí)教學(xué)要求：使學(xué)生掌握復(fù)數(shù)列、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)等概念，以及復(fù)數(shù)列和冪級數(shù)的收斂和發(fā)散的判定方法。教學(xué)內(nèi)容：復(fù)數(shù)列、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)等概念，以及復(fù)數(shù)列和冪級數(shù)的收斂和發(fā)散的判定教學(xué)重點(diǎn)：冪級數(shù)的研究教學(xué)難點(diǎn)：冪級數(shù)收斂圓教學(xué)手段：課堂講授教學(xué)過程：第四章級數(shù)§1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)1，復(fù)數(shù)列的極限：1）定義：設(shè)SKIPIF1<0為一復(fù)數(shù)列，其中SKIPIF1<0，又設(shè)SKIPIF1<0為一確定的復(fù)數(shù)。如果任意給定SKIPIF1<0，相應(yīng)地能找到一個(gè)正數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)成立，那么SKIPIF1<0稱為復(fù)數(shù)列SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)的極限。記作SKIPIF1<0。也稱復(fù)數(shù)列SKIPIF1<0收斂于SKIPIF1<0。2）定理1：復(fù)數(shù)列SKIPIF1<0收斂于SKIPIF1<0的充要條件是SKIPIF1<0，SKIPIF1<02，級數(shù)的概念：1）設(shè)SKIPIF1<0為一復(fù)數(shù)列，表達(dá)式SKIPIF1<0稱為無窮級數(shù)，其最前面SKIPIF1<0項(xiàng)的和SKIPIF1<0稱為級數(shù)的部分和。2）如果部分和數(shù)列SKIPIF1<0收斂，那么級數(shù)SKIPIF1<0稱為收斂。并且極限SKIPIF1<0稱為級數(shù)的和；如果數(shù)列SKIPIF1<0不收斂，那么級數(shù)SKIPIF1<0稱為發(fā)散。3）定理2：級數(shù)SKIPIF1<0收斂的充要條件是級數(shù)SKIPIF1<0和級數(shù)SKIPIF1<0都收斂。注意：定理2將復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題，而由實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0收斂的必要條件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，從而推出復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)SKIPIF1<0收斂的必要條件是SKIPIF1<04）定理3：如果SKIPIF1<0收斂，那么SKIPIF1<0也收斂，且不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立。注意：a）如果SKIPIF1<0收斂，那么稱SKIPIF1<0為絕對收斂；非絕對收斂的收斂級數(shù)為條件收斂。b）SKIPIF1<0絕對收斂的充要條件是級數(shù)SKIPIF1<0和級數(shù)SKIPIF1<0都絕對收斂5）正項(xiàng)級數(shù)的判別法舉例（因?yàn)镾KIPIF1<0的各項(xiàng)都是非負(fù)的實(shí)數(shù)，所以它的收斂性可用正項(xiàng)級數(shù)判別法）：例1，下列數(shù)列是否收斂？如果收斂，求出其極限。1）SKIPIF1<0；2）SKIPIF1<0例2，下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂？1）SKIPIF1<0；2）SKIPIF1<0；3）SKIPIF1<0（練習(xí)）§2、冪級數(shù)1，冪級數(shù)概念：1）復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)：設(shè)SKIPIF1<0為一復(fù)變函數(shù)序列，其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)有定義，表達(dá)式SKIPIF1<0稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，其最前面SKIPIF1<0項(xiàng)的和SKIPIF1<0稱為級數(shù)的部分和。2）如果對于D內(nèi)的某一點(diǎn)SKIPIF1<0，極限SKIPIF1<0存在，那么我們稱復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0收斂。而SKIPIF1<0稱為它的和；如果級數(shù)在D內(nèi)處處收斂，那么它的和一定是SKIPIF1<0的一個(gè)函數(shù)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0稱為級數(shù)SKIPIF1<0的和函數(shù)。3）冪級數(shù)：當(dāng)SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0時(shí)，就得到函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的特殊情形：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0這種級數(shù)稱為冪級數(shù)。4）阿貝爾定理（收斂定理）：如果級數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0收斂，那么對滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，級數(shù)級數(shù)必絕對收斂；如果在SKIPIF1<0發(fā)散，那么對滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，級數(shù)必發(fā)散。2，收斂圓與收斂半徑利用阿貝爾定理，可以得到一個(gè)冪級數(shù)的收斂情況：1）如果一個(gè)冪級數(shù)對所有的正實(shí)數(shù)是收斂的，則級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂；2）如果一個(gè)冪級數(shù)對所有的正實(shí)數(shù)除SKIPIF1<0外都是發(fā)散的，則級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散；3）既存在使級數(shù)收斂的正實(shí)數(shù)，也存在使級數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù)，設(shè)SKIPIF1<0（正實(shí)數(shù)）時(shí)，級數(shù)收斂；SKIPIF1<0（正實(shí)數(shù)）時(shí)，級數(shù)發(fā)散，那么在以原點(diǎn)為中心，SKIPIF1<0為半徑的圓周內(nèi)，級數(shù)絕對收斂；在以原點(diǎn)為中心，SKIPIF1<0為半徑的圓周外，級數(shù)發(fā)散；4）收斂圓與收斂半徑例，求冪級數(shù)SKIPIF1<0的收斂范圍與和函數(shù)3，收斂半徑的求法1）定理2（比值法）如果SKIPIF1<0，那么級數(shù)SKIPIF1<0的收斂半徑為SKIPIF1<0。2）定理3（根值法）如果SKIPIF1<0，那么級數(shù)SKIPIF1<0的收斂半徑為SKIPIF1<0。3）應(yīng)用舉例例，求下列冪級數(shù)的收斂半徑：SKIPIF1<0（并討論在收斂圓上的情形）；SKIPIF1<0（并討論在SKIPIF1<0時(shí)的情形）；練習(xí)：求下列冪級數(shù)的收斂半徑：SKIPIF1<0.4，冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)1）展開成冪級數(shù)：例，把函數(shù)SKIPIF1<0表成形如SKIPIF1<0的冪級數(shù)，其中SKIPIF1<0是不相等的復(fù)常數(shù)。2）復(fù)變冪級數(shù)的性質(zhì)：復(fù)變冪級數(shù)也象實(shí)變冪級數(shù)一樣，在其收斂圓內(nèi)具有下列性質(zhì)：定理4：設(shè)冪級數(shù)SKIPIF1<0的收斂半徑為SKIPIF1<0，那么1）它的和函數(shù)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0是收斂圓：SKIPIF1<0內(nèi)的解析函數(shù)；2）SKIPIF1<0在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<03）SKIPIF1<0在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0=SKIPIF1<0§3、泰勒級數(shù)1，泰勒展開定理：設(shè)SKIPIF1<0在區(qū)域D內(nèi)解析，SKIPIF1<0為D內(nèi)一點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離，那么當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0成立，其中SKIPIF1<0注意：1）泰勒展開式SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的右邊即SKIPIF1<0得泰勒級數(shù)；2）泰勒級數(shù)收斂半徑為SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最近奇點(diǎn)的距離。3）任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù)，而且是唯一的。2，應(yīng)用舉例：例1，把SKIPIF1<0展開成SKIPIF1<0的冪級數(shù)。例2，把函數(shù)SKIPIF1<0展開成SKIPIF1<0的冪級數(shù)。例3，求對數(shù)函數(shù)的主值SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的泰勒展開式。練習(xí)題：P.143，12題（1，3，4，5，6）§4、洛朗級數(shù)1，一類特殊級數(shù)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0都是常數(shù)。1）正冪項(xiàng)部分SKIPIF1<0是一個(gè)通常的冪級數(shù)，它的收斂范圍是一個(gè)圓域，設(shè)它的收斂半徑為SKIPIF1<0，那么當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，級數(shù)收斂；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，級數(shù)發(fā)散。2）負(fù)冪項(xiàng)部分對SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)它的收斂半徑為SKIPIF1<0，那么當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，級數(shù)收斂；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，級數(shù)發(fā)散。令SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，級數(shù)收斂；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，級數(shù)發(fā)散。3）級數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0當(dāng)正冪項(xiàng)部分和負(fù)冪項(xiàng)部分同時(shí)收斂時(shí)為收斂；否則為發(fā)散。顯然，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為正冪項(xiàng)部分和負(fù)冪項(xiàng)部分的公共收斂區(qū)域，此時(shí)，圓環(huán)域SKIPIF1<0為上述級數(shù)的收斂域；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，沒有公共收斂區(qū)域，級數(shù)發(fā)散。4）冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)所具有的許多性質(zhì)，級數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有。例如，級數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)其和函數(shù)是解析的，而且可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求積分。2，定理：設(shè)SKIPIF1<0在圓環(huán)域SKIPIF1<0內(nèi)處處解析，那么SKIPIF1<0=SKIPIF1<0成立，其中SKIPIF1<0注意：1）洛朗展開式SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的右邊即洛朗級數(shù)；2）任何解析函數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)展開成級數(shù)的結(jié)果就是洛朗級數(shù)，而且是唯一的。3，應(yīng)用舉例：例1，函數(shù)SKIPIF1<0在圓環(huán)域：1）SKIPIF1<02）SKIPIF1<03）SKIPIF1<0內(nèi)是處處解析的，試把它在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。例2，把函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。4，利用洛朗級數(shù)展開式計(jì)算相關(guān)積分。公式：SKIPIF1<0例3，求下列各積分的值1）SKIPIF1<02）SKIPIF1<0練習(xí)題：P.144，16題（5）教學(xué)小結(jié)：1，復(fù)數(shù)列和復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂定義與實(shí)數(shù)域內(nèi)數(shù)列和級數(shù)的收斂定義完全一樣；2，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)3，泰勒展開