第八章　平面解析幾何 第三節(jié)　圓的方程

平面解析幾何第三節(jié)圓的方程1．(2024·寧德模擬)已知點(diǎn)M(3，1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則k的取值范圍為()A．－6<k<12 B．k<－6或k>C．k>－6 D．k<12．若一圓的圓心坐標(biāo)為(2，－3)，一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝523．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則“E＝F＝0且D<0”是“圓C與y軸相切于原點(diǎn)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知圓C的半徑為2，圓心在x軸正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝05．自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點(diǎn)P引該圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，PQ的長度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝06．(多選題)若P是圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝kx－1的距離的值可以為()A．4 B．6C．32＋1 D．87．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)為________，半徑為________.8．(新背景)如圖所示，兩根桿(桿足夠長)分別繞著定點(diǎn)A和B(AB＝2a)在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，并且轉(zhuǎn)動時(shí)兩桿保持互相垂直，則桿的交點(diǎn)P的軌跡方程是______________.9．已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1，1)和點(diǎn)B(2，－2)，且圓心C在直線l：x－y＋1＝0上．若線段PQ的端點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5，0)，端點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．高考訓(xùn)練10．曲線x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的點(diǎn)到直線x－y－1＝0的距離的最大值為a，最小值為b，則a－b的值是()A．2 B．2C．22＋1 D．2－11．圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)對稱，則2aA．23 B．20C．323 D．12．(2024·平頂山模擬)已知A，B為圓O：x2＋y2＝4上的兩動點(diǎn)，|AB|＝23，點(diǎn)P是圓C：(x＋3)2＋(y－4)2＝1上的一點(diǎn)，則PA+A．2 B．4C．6 D．813．寫出一個(gè)過點(diǎn)O(0，0)，且與直線x＋y－4＝0相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：__________________.14．已知點(diǎn)P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點(diǎn)P的動直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積．15．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點(diǎn)A，B，曲線Γ與y軸交于點(diǎn)C.(1)是否存在以AB為直徑且過點(diǎn)C的圓？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．(2)求證：過A，B，C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn)．答案解析1、A解析：因?yàn)閳AC：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，所以圓心坐標(biāo)為(1，－2)，半徑r＝1－若點(diǎn)M(3，1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則滿足3－12且1－2k>0，即13>1－2k且k<12，所以－6<k<12、A解析：如圖，由圓的幾何性質(zhì)及直角三角形中線的性質(zhì)，可知圓的半徑r＝22+－32＝13.故此圓的方程為(x－2)23、A解析：若圓C與y軸相切于原點(diǎn)，則圓C的圓心在x軸上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a，0)，則半徑r＝|a|.當(dāng)E＝F＝0且D<0時(shí)，圓心為－D2，0，半徑為D2，圓C與y軸相切于原點(diǎn)；圓(x＋1)2＋y2＝1與y軸相切于原點(diǎn)，但D＝2>0.故“E＝F＝0且D＜0”是“圓C4、D解析：設(shè)圓心為(a，0)(a>0)，由題意知圓心到直線3x＋4y＋4＝0的距離d＝3a+432+42＝3a+45＝r＝2，解得a＝2，所以圓心坐標(biāo)為(2，0)，則圓C的方程為(x－2)5、D解析：由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3，－4)，半徑r＝2，如圖所示．設(shè)P(x0，y0)，由題意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x02+y02＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，即6x06、ABC解析：如圖，圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圓心坐標(biāo)為(－3，3)，半徑為1，直線y＝kx－1過定點(diǎn)(0，－1)．由圖可知，圓心C到直線y＝kx－1距離的最大值為－3－02+3+12＝5，則點(diǎn)P到直線7、(－2，－4)5解析：由圓的一般方程的形式知，a＋2＝a2，解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時(shí)，該方程可化為x2＋y2＋x＋2y＋52因?yàn)镈2＋E2－4F＝12＋22－4×52＜0，所以a當(dāng)a＝－1時(shí)，方程可化為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圓心坐標(biāo)為(－2，－4)，半徑為5.8、x2＋y2＝a2解析：如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－a，0)，B(a，0)．設(shè)P(x，y)，因?yàn)镻A⊥PB，所以yx+a·yx－a＝－1(x≠±a)．化簡得x2＋y2＝a2(x≠±a)．當(dāng)x＝±a時(shí)，點(diǎn)P與A或B重合，此時(shí)y＝0，滿足上式．故桿的交點(diǎn)P的軌跡方程是x9、解：設(shè)點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，直線m為線段AB的垂直平分線，則D32又kAB＝－3，所以km＝13，所以直線m的方程為x－3y－由x－3y－3＝0，x則半徑r＝|CA|＝－3所以圓C的方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，Q(x0，y0)，因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，0)，M為PQ的中點(diǎn)，所以x＝x又點(diǎn)Q(x0，y0)在圓C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上運(yùn)動，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25，整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝254即所求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25410、C解析：因?yàn)閳A心(0，1)到直線x－y－1＝0的距離為22＝2>1，所以半圓x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的點(diǎn)到直線x－y－1＝0的距離的最大值為2＋1，最小值為點(diǎn)(0，0)到直線x－y－1＝0的距離，為12＝22，所以11、C解析：由圓x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－6)2＝39.因?yàn)閳Ax2＋y2＋4x－12y＋1＝0關(guān)于直線ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)對稱，所以該直線經(jīng)過圓心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，所以a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，所以2a+6b＝23(當(dāng)且僅當(dāng)3ba＝3ab，即a＝b＝12、C解析：設(shè)M是AB的中點(diǎn)，因?yàn)閨AB|＝23，所以O(shè)M＝即點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，PA+PB＝PM+MA又|PO|min＝|OC|－1＝－32+42－1＝4，所以PMmin＝|PO所以PA+PBmin＝213、(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一)解析：設(shè)點(diǎn)O(0，0)為圓的直徑的端點(diǎn)，點(diǎn)O(0，0)到直線x＋y－4＝0的距離，d＝0+故滿足條件的一個(gè)圓的半徑為r＝2.由于圓心所在的直線與x＋y－4＝0垂直，且該直線經(jīng)過原點(diǎn)，所以圓心所在的直線方程為y＝x.由y＝x所以圓心的坐標(biāo)為(1，1)．所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.14、解：(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0，4)，半徑為4.設(shè)M(x，y)，則CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．由題設(shè)知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)·(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)N(1，3)為圓心，2為半徑的圓．由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P(2，2)在圓N上，從而ON⊥PM.因?yàn)镺N的斜率為3，所以直線l的斜率為－13故直線l的方程為x＋3y－8＝0.又|ON|＝10，NP＝|NM|＝2，OM＝|O到直線l的距離為0+所以|PM|＝2222－41052故△POM的面積為16515、解：令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，由題意知Δ＝m2－8m>0，得m<0或m>8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，故C(0，2m)．(1)若存在以AB為直徑且過點(diǎn)C的圓，則AC·BC＝0，又AC＝(－x1，2m)，BC＝(－x2，2m)，所以x1x2＋4m即2m＋4m2＝0，解得m＝0或m＝－12因