第六章　立體幾何與空間向量 第五節(jié)　空間向量及其運算

立體幾何與空間向量第五節(jié)空間向量及其運算1．已知點O，A，B，C為空間不共面的四點，且向量a＝OA+OB+OC，向量b＝OA+OB－A．OA B．OBC．OC D．OA或OB2．(2024·臺州模擬)若向量a＝(1，1，2)，b＝(2，x，y)，且a∥b，則|b|＝()A．2 B．22C．6 D．263．(多選題)已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．下列結(jié)論正確的有()A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．AP是平面ABCD的一個法向量D．AP∥BD4．設(shè)向量a＝(3，5，2)，b＝(－2，1，3)，向量ma＋nb與x軸垂直時，實數(shù)m與n滿足()A．3m＝2n B．3m＝nC．m＝2n D．m＝n5．如圖，在一個120?的二面角的棱上有A，B兩點，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直．若AB＝2，AC＝1，BD＝2，則CD的長為()A．2 B．3C．23 D．46．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為________.7．(2024·西安模擬)在空間四邊形ABCD中，AC與BD是四邊形的兩條對角線，M，N分別為線段AB，CD上的點，且滿足AM＝23AB，DN＝34DC，點G在線段MN上，且滿足MG＝3GN8．已知空間向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，則向量a在向量b上的投影向量的坐標是________.9．在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點，G在棱CD上，且CG＝13CD，H是C1G的中點．(1)求證：EF⊥B1C；(2)求cos〈EF，(3)求FH的長．高考訓(xùn)練10．(多選題)(2024·沈陽模擬)已知空間中三點A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，則()A．AB與AC是共線向量B．與向量AB方向相同的單位向量的坐標是2C．AB與BC夾角的余弦值是55D．BC在AB上的投影向量的模為511．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120?，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A．32 B．C．105 D．12．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，動點P，Q分別在線段C1D，AC上，則線段PQ長度的最小值是()A．23 B．C．23 D．13．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為2，底面邊長為1，M為BC的中點，C1N＝λNC，且AB1⊥14．如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足AM＝kAC1，(1)用向量AB和AA1表示向量MN(2)向量MN與向量AB，15．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60?，AB＝AD＝2，AA1＝1，點P為線段BC的中點．(1)求D1(2)求直線AB1與D1P所成角的余弦值．答案解析1、C解析：因為OC＝12OA+OB+OC－所以O(shè)C與a，b不能構(gòu)成空間的一個基底．2、D解析：由題意，得21＝x1＝y(tǒng)2，解得x＝2，y3、ABC解析：對于A，AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以AP⊥AB，即AP⊥對于B，AP·AD＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以AP⊥AD，即AP⊥對于C，由AP⊥AB，且AP⊥AD，得出AP是平面ABCD的一個法向量，故C正確；對于D，由AP是平面ABCD的法向量，得出AP⊥BD，故D錯誤．4、A解析：ma＋nb＝(3m－2n，5m＋n，2m＋3n)，取x軸的方向向量為e＝(1，0，0)．因為向量ma＋nb與x軸垂直，所以3m－2n＝0，解得3m＝2n.5、B解析：因為CA⊥AB，BD⊥AB所以CA·AB＝0，BD·AB＝0，因為CD＝所以CD2＝CA2+AB2+BD2+2CA所以CD＝3.6、π6解析：因為a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b所以cos〈a，b〉＝a·又因為〈a，b〉∈[0，π]，所以向量a與b的夾角為π67、1112解析：如圖，連接MN，AN，AG由于MG＝3GN，故AG整理得4AG＝3所以AG＝故x＝16所以x＋y＋z＝11128、89，－49，89解析：因為空間向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，所以a·b＝4，b＝4+19、(1)證明：如圖，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，E(0，0，1)，F(xiàn)(1，1，0)，C(0，2，0)，C1所以EF＝(1，1，－1)，B1C＝(－2，0，所以EF·B1C＝1×(－2)＋1×0＋(－1)×(－2)＝0，所以EF⊥B1C，故(2)解：因為C1G＝0，因為EF＝(1，1，－1)，所以EF＝3，EF·C1G＝1×0所以cos〈EF，C1(3)解：因為H是C1G的中點，所以H0，又因為F(1，1，0)，所以HF＝所以HF＝12+－2310、BD解析：由已知得AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，BC＝(－3，1，1)，且－12≠因此AB與AC不共線，故A錯誤；AB＝5，所以與向量AB方向相同的單位向量坐標是15(2，1，0)＝2AB·BC＝－5，BC＝11，cos〈AB，BC在AB上的投影向量的模是BC·11、C解析：如圖，由題意知，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，CC1⊥平面ABC.因為BC?平面ABC，AB?平面ABC，所以BB1⊥BC，CC1⊥AB.因為AB1所以AB1·因為AB1＝5所以cos〈AB1，BC1〉＝AB1·BC1AB12、C解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系(圖略)，則D(0，0，0)，C1(0，1，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，所以DC1＝(0，1，2)，DA＝(1，0，0)，AC＝(－設(shè)DP＝λDC1，AQ所以DP＝λ(0，1，2)＝(0，λ，2λ)，DQ＝DA+AQ＝DA+μAC＝(1，0，0)＋所以PQ＝DQ－DP＝(1－μ，μ－λ，所以PQ＝1－當且僅當λ＝μ5，μ＝5所以線段PQ長度的最小值為2313、15解析：如圖，取B1C1的中點P，連接MP，以MC，MA，MP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．因為底面邊長為1，側(cè)棱長為2，則A0，32設(shè)N12，0，t，因為C所以AB1＝－因為AB1⊥MN，所以AB1所以－14+414、解：(1)因為AN＝AB+BN＝AB＋kAC－AB＝(1－所以MN＝AN－AM＝(1－k)AB+k(2)由(1)可知，MN＝(1－k)AB－所以向量MN與向量AB，15、解：(1)在平行六面