第十章　計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第六節(jié)　離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征 2025年高考數(shù)學一輪復習基礎知識隨堂練

計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第六節(jié)離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征1．(2024·聊城模擬)袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是()A．至少取到1個白球B．至多取到1個白球C．取到白球的個數(shù)D．取到的球的個數(shù)2．設離散型隨機變量X的可能取值為1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值E(X)＝3，則a－b＝()A．110 C．－110 D．3．(2024·棗莊模擬)口袋中裝有編號分別為1，2，3的三個大小和形狀完全相同的小球，從中任取2個球，記取出的球的最大編號為X，則D(X)＝()A．29 B．C．227 D．4．(多選題)若隨機變量X服從兩點分布，其中P(X＝0)＝13，E(X)，D(X)分別為隨機變量XA．P(X＝1)＝E(X)B．E(3X＋2)＝4C．D(3X＋2)＝4D．D(X)＝45．設隨機變量X滿足P(X＝i)＝k2i(i＝1，2，3)，則k＝________；P(X≥6．某射擊運動員共有三發(fā)子彈，他射擊一次命中目標的概率是23，擊中目標后射擊停止，射擊次數(shù)X為隨機變量，則方差D(X)＝7．“摸獎游戲”是商場促銷最為常見的形式之一，某摸獎游戲的規(guī)則如下：第一次在裝有2個紅球、2個白球的A袋中隨機取出2個球，第二次在裝有1個紅球、1個白球、1個黑球的B袋中隨機取出1個球，兩次取球相互獨立，兩次取球合在一起稱為一次摸獎，取出的3個球的顏色與獲得的積分對應如下表：所取球的情況三球同色三球均不同色其他情況所獲得的積分100600(1)設一次摸獎所獲得的積分為X，求X的分布列和期望；(2)記甲在這次游戲中獲得0積分為事件M，甲在B袋中摸到黑球為事件N，判斷事件M，N是否相互獨立，并說明理由．8．某投資公司在2024年年初準備將1000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和2項目二：通信設備．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為35，1針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由．高考訓練9．在某次考試中，多項選擇題的給分標準如下：在每題給出的四個選項中，正確選項為其中的兩項或三項，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分．甲、乙、丙三人在完全不會做某個多項選擇題的情況下，分別選了A，AB，ABC，則三人該題得分的數(shù)學期望分別為()A．1，0.8，0.5 B．1.2，0.8，0.6C．1，0.9，0.6 D．1.2，0.9，0.510．(多選題)已知投資A，B兩個項目獲得的收益分別為X，Y，分布列如下表，則()X－102P0.2m0.6Y012P0.30.4nA．m＋n＝0.5B．E(2X＋1)＝4C．投資兩個項目的收益期望一樣多D．投資A項目的風險比B項目高11．(多選題)隨機變量ξ的分布列如表所示，其中xy≠0，下列說法正確的是()ξ012Pxy2A．x＋y＝1B．E(ξ)＝5C．D(ξ)有最大值D．D(ξ)隨y的增大而減小12．游樂場某游戲設備是一個圓盤，圓盤被分成紅色和綠色兩個區(qū)域，圓盤上有一個可以繞中心旋轉(zhuǎn)的指針，且指針受電子程序控制，前后兩次停在相同區(qū)域的概率為14，停在不同區(qū)域的概率為34.某游客連續(xù)轉(zhuǎn)動指針三次，記指針停在綠色區(qū)域的次數(shù)為X，若開始時指針停在紅色區(qū)域，則E(X13．(2024·蘇州模擬)設a，b是從集合{1，2，3，4}中隨機選取的數(shù)，直線l：y＝ax＋b，圓O：x2＋y2＝1，則直線l與圓O有公共點的概率是________；直線l與圓O的公共點個數(shù)的數(shù)學期望是________.14．甲、乙足球愛好者為了提高球技，兩人輪流進行點球訓練(每人各踢一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有一人進球另一人不進球，進球者得1分，不進球者得－1分；兩人都進球或都不進球，兩人均得0分．設甲、乙每次踢球命中的概率均為12，甲撲到乙踢出球的概率為12，乙撲到甲踢出球的概率為(1)經(jīng)過一輪踢球，記甲的得分為X，求X的分布列及數(shù)學期望；(2)求經(jīng)過三輪踢球累計得分后，甲得分高于乙得分的概率．15．(2023·新高考全國Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，則E(∑ni=1Xi)＝∑ni=1qi.記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為答案解析1、C解析：選項A，B表述的都是隨機事件，選項D是確定的值2，并不隨機；選項C是隨機變量，可能取值為0，1，2.2、A解析：由題意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1.又X的均值E(X)＝3，則(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.聯(lián)立10a+4b＝1，30a+10b＝3、A解析：由題意得X的可能取值為2，3，X＝2包含的事件為取出的兩個球為1，2，所以P(X＝2)＝1CX＝3包含的事件為取出的兩個球為1，3或2，3，所以P(X＝3)＝2C32＝23，E(X)＝2×13+34、AB解析：因為隨機變量X服從兩點分布，其中P(X＝0)＝13，所以P(X＝1)＝2E(X)＝0×13+1×23＝對于A，P(X＝1)＝E(X)，故A正確；對于B，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×23＋對于C，D(3X＋2)＝32D(X)＝9×29對于D，D(X)＝295、8737X123Pkkk所以k2+k4+所以隨機變量X的分布列為X123P421所以P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝276、3881解析：由題意知XP(X＝1)＝23，P(X＝2)＝13×23＝2所以X的分布列為X123P221所以E(X)＝1×23(方法一)所以D(X)＝1－(方法二)E(X2)＝1×23+4×29+7、解：(1)X的可能取值有100，60，0，P(X＝100)＝C2P(X＝60)＝C2P(X＝0)＝1－P(X＝100)－P(X＝60)＝23所以X的分布列為X100600P12〖所以E(X)＝100×19(2)由(1)可知P(M)＝23又P(N)＝13，P(MN)＝2×C則P(MN)≠P(M)P(N)，所以事件M，N不相互獨立．8、解：若投資“項目一”，設獲利為X1萬元，X1的所有可能取值為300，－150，則X1的分布列為X1300－150P72所以E(X1)＝300×79＋(－150)×2D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×2若投資“項目二”，設獲利X2萬元，X2的所有可能取值為500，－300，0，則X2的分布列為X2500－3000P311所以E(X2)＝500×35＋(－300)×1D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明雖然項目一、項目二獲利的期望值相等，但項目一更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該投資公司選擇投資項目一．9、D解析：由題意得正確選項若為兩項，則有C4正確選項若為三項，則有C4甲選A，他可能的得分X1為0，2，則他可能得分的情況即正確答案中含有A，有C31＋故P(X1＝2)＝610＝35，則P(X故他得分的數(shù)學期望為E(X1)＝0×25乙選AB，他可能的得分X2為0，2，5，若正確答案為AB，即他可能得5分的情況有1種，此時P(X2＝5)＝110若正確答案為ABC或ABD，他可能得2分的情況有2種，此時P(X2＝2)＝210則P(X2＝0)＝710故E(X2)＝0×710丙選ABC，他可能的得分X3為0，5，若正確答案為ABC，則P(X3＝5)＝110，P(X3＝0)＝9故E(X3)＝0×910即三人該題得分的數(shù)學期望分別為1.2，0.9，0.5.故選D．10、ACD解析：依題意可得0.2＋m＋0.6＝1，所以m＝0.2，0.3＋0.4＋n＝1，所以n＝0.3，所以m＋n＝0.5，故A正確；所以E(X)＝－1×0.2＋0×0.2＋2×0.6＝1，則E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3，故B錯誤；E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，所以E(X)＝E(Y)，故C正確；因為D(X)＝(－1－1)2×0.2＋(0－1)2×0.2＋(2－1)2×0.6＝1.6，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，所以D(X)>D(Y)，所以投資A項目的風險比B項目高，故D正確．故選ACD．11、ABC解析：由題意可知x＋y3+2y3E(ξ)＝0×x＋1×y3D(ξ)＝x0－＝(1－y)0－5y32+因為xy≠0，x＋y＝1，易得0<y<1，而函數(shù)f(y)＝－259y2＋3y的圖象開口向下，對稱軸為直線y＝27所以f(y)在0，2750上單調(diào)遞增，在2750，1上單調(diào)遞減，故f(所以D(ξ)隨著y的增大先增大后減小，當y＝275012、2716解析：則X的分布列為X0123P121393故E(X)＝0×16413、5854解析：由已知可得l：ax－y＋b＝0，圓O：x2＋y2＝1的圓心為O則圓心O(0，0)到直線l的距離d＝ba因為直線l與圓O有公共點，所以d≤1，整理可得a2＋1≥b2.因為a，b∈{1，2，3，4}，所以a≥b，則滿足條件的(a，b)可能為(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(3，3)，(4，3)，(4，4)，共包含10個樣本點，而(a，b)總的樣本點的個數(shù)為4×4＝16，所以直線l與圓O有公共點的概率是1016設直線l與圓O的公共點個數(shù)為隨機變量X，由上可知，X＝0，2.當a≥b時，10個樣本點都滿足a2＋1>b2，即d<1，此時有2個公共點，所以P(X＝2)＝58，P(X＝0)＝1－P(X＝2)＝3所以E(X)＝0×3814、解：(1)記一輪踢球，甲進球為事件A，乙進球為事件B，且A，B相互獨立，由題意得，P(A)＝12×1－13＝甲的得分X的可能取值為－1，0，1，P(X＝－1)＝PAB＝PAP(B)＝1P(X＝0)＝P(AB)＋PAB＝P(A)P(B)＋PAPBP(X＝1)＝PAB＝P(A)PB＝1所以X的分布列為X－101P171E(X)＝－1×16(2)經(jīng)過三輪踢球，甲累計得分高于乙有四種情況：甲三輪各得1分；甲三輪中有兩輪各得1分，一輪得0分；甲三輪中有兩輪各得1分，一輪得－1分；甲三輪中有一輪得1分，兩輪各得0分，甲三輪各得1分的概率為P1＝14甲三輪中有兩輪各得1分，一輪得0分的概率為P2＝C3甲三輪中有兩輪各得1分，一輪得－1分的概率為P3＝C3甲三輪中有一輪得1分，兩輪各得0分的概率為P4＝C3所以經(jīng)過三輪踢球，甲累計得分高于乙的概率P＝16415、解：(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，i＝1，2，3，…，n，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)·P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.(2