人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊學案：2 3 2 兩點間的距離公式

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊PAGEPAGE12．3.2兩點間的距離公式學習目標1.掌握兩點間距離公式并會應用.2.用坐標法證明簡單的平面幾何問題．知識點兩點間的距離公式：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特別提醒：(1)此公式與兩點的先后順序無關．(2)原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).1．點P1(0，a)，點P2(b，0)之間的距離為a－b.(×)2．當A，B兩點的連線與坐標軸平行或垂直時，兩點間的距離公式不適用．(×)3．點P1(x1，y1)，點P2(x2，y2)，當直線平行于坐標軸時|P1P2|＝|x1－x2|.(×)一、兩點間的距離例1如圖，已知△ABC的三個頂點A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，試判斷△ABC的形狀．解方法一∵|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(1－32＋7＋32)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．延伸探究題中條件不變，求BC邊上的中線AM的長．解設點M的坐標為(x，y)，因為點M為BC的中點，所以x＝eq\f(3＋1,2)＝2，y＝eq\f(－3＋7,2)＝2，即點M的坐標為(2,2)．由兩點間的距離公式得|AM|＝eq\r(－3－22＋1－22)＝eq\r(26)，所以BC邊上的中線AM的長為eq\r(26).反思感悟計算兩點間距離的方法(1)對于任意兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)對于兩點的橫坐標或縱坐標相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．跟蹤訓練1已知點A(－1,2)，B(2，eq\r(7))，在x軸上求一點P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．解設P(x，0)，|PA|＝eq\r(x＋12＋－22)，|PB|＝eq\r(x－22＋－\r(7)2)，∵|PA|＝|PB|，∴eq\r(x＋12＋4)＝eq\r(x－22＋7)，解得x＝1，∴P(1,0)，∴|PA|＝eq\r(1＋12＋4)＝2eq\r(2).二、運用坐標法解決平面幾何問題例2在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．證明設BC邊所在直線為x軸，以D為原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，設A(b，c)，C(a，0)，則B(－a，0)．因為|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．反思感悟利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟：(1)建立坐標系，盡可能將有關元素放在坐標軸上；(2)用坐標表示有關的量；(3)將幾何關系轉化為坐標運算；(4)把代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何關系．跟蹤訓練2已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD.求證：|AC|＝|BD|.證明如圖所示，建立平面直角坐標系，設A(0,0)，B(a，0)，C(b，c)，則點D的坐標是(a－b，c)．∴|AC|＝eq\r(b－02＋c－02)＝eq\r(b2＋c2)，|BD|＝eq\r(a－b－a2＋c－02)＝eq\r(b2＋c2).故|AC|＝|BD|.1．已知M(2,1)，N(－1,5)，則|MN|等于()A．5B.eq\r(37)C.eq\r(13)D．4〖答案〗A〖解析〗|MN|＝eq\r(2＋12＋1－52)＝5.2．直線y＝x上的兩點P，Q的橫坐標分別是1,5，則|PQ|等于()A．4B．4eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)〖答案〗B〖解析〗∵P(1,1)，Q(5,5)，∴|PQ|＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).3．到A(1,3)，B(－5,1)的距離相等的動點P滿足的方程是()A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0〖答案〗B〖解析〗設P(x，y)，則eq\r(x－12＋y－32)＝eq\r(x＋52＋y－12)，即3x＋y＋4＝0.4．(多選)直線x＋y－1＝0上與點P(－2,3)的距離等于eq\r(2)的點的坐標是()A．(－4,5) B．(－3,4)C．(－1,2) D．(0,1)〖答案〗BC〖解析〗設所求點的坐標為(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且eq\r(x0＋22＋y0－32)＝eq\r(2)，兩式聯(lián)立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝2.))5．已知△ABC的頂點坐標為A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，則BC邊上的中線長為_____