34指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

考點3函數(shù)3.4指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高二月考）若存在正數(shù)，使成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將給定不等式變形并分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，再求其值域即可得解.【詳解】存在正數(shù)，成立成立成立，令，顯然在上單調(diào)遞增，，即值域為，依題意有，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C2．（2021·天津高二期末）已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，，，進而可得結(jié)果.【詳解】因為，所以．故選：B.3．（2020·天津市第一中學(xué)濱海學(xué)校高三月考）已知，，，則（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用根式的運算性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性可得a，b的大小關(guān)系，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出c＜1．【詳解】∵，且，∴，．∴．故選：D．4．（2020·天津耀華中學(xué)高三一模）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】又則故選：A.5．（2013·天津高三一模（文））三個數(shù)，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】故選：D6．（2020·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高一期中）已知奇函數(shù)，且在上是增函數(shù).若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定的奇偶性，然后由奇偶性和單調(diào)性比較大小．【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，是偶函數(shù)，，又，所以，即．故選：C．7．（2020·天津耀華中學(xué)高三期中）設(shè).則a.b.c的大小關(guān)系是（）．A．a(chǎn)＞c＞b B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】A【分析】容易得出，從而可得出，，的大小關(guān)系．【詳解】，，；．故選：．【點睛】本題主要考查比較三個數(shù)的大小，解題時要認(rèn)真審題，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運用，屬于基礎(chǔ)題.8．（2021·天津市第八中學(xué)高三月考）已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由奇函數(shù)在上是增函數(shù)，則偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則，則，，即可求得【詳解】解：奇函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)，，且，，則，在單調(diào)遞增，且偶函數(shù)，，則，，由在單調(diào)遞增，則，，故選：．【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．9．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，且，，，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，然后結(jié)合中間值0和1比較冪和對數(shù)的的大小，最后可得結(jié)論．【詳解】由題意知是偶函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在上，函數(shù)單調(diào)遞增，，，，，又，∴．故選：D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查冪與對數(shù)的比較大小，實質(zhì)考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．10．（2020·天津高一期末）當(dāng)a>1時，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖象為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像，即可容易判斷.【詳解】∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是減函數(shù)，y＝logax是增函數(shù)，故選：C.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.11．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高二月考）設(shè)為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用偶函數(shù)的定義經(jīng)計算即可得解.【詳解】因為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，，，所以.故選：C12．（2020·天津高三二模）已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化比較即可．【詳解】解：，是奇函數(shù)，，，，則，當(dāng)時，是增函數(shù)，，即，故選：C．13．（2021·天津高二期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是單調(diào)遞增函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分別判斷．【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，，為奇函數(shù)，但在其區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意；對于B，，其定義域為，不是奇函數(shù)，不符合題意；對于C，，是偶函數(shù)不是奇函數(shù)，不符合題意；對于D，，有，為奇函數(shù)，又是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以是增函數(shù)．滿足題意．故選：D．14．（2021·天津高三其他模擬）已知是定義在上的偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，，因為是定義在上的偶函數(shù)，可得，所以.故選：B.15．（2021·天津高三三模）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)并借助“媒介”數(shù)即可得解.【詳解】指數(shù)函數(shù)分別是R上的增函數(shù)和減函數(shù)，，則，對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，所以有，即.故選：D16．（2021·天津高三二模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指對數(shù)的性質(zhì)，比較指數(shù)式、對數(shù)式的大小.【詳解】，∴.故選：A.17．（2021·天津高三二模）設(shè)，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)、對數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)判斷各數(shù)與“0，1”的大小關(guān)系即可.【詳解】，，而，所以，綜上：故選:C.18．（2020·天津）已知函數(shù)，，設(shè)為實數(shù)，若存在實數(shù)，使，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)已知條件求解出的值域以及的最小值，然后根據(jù)題意得到與值域的端點的大小關(guān)系，由此求解出的取值范圍.【詳解】因為，為實數(shù)，所以，因為，所以當(dāng)時，的最小值為，因為函數(shù)的圖象如下圖，且，所以結(jié)合圖象可知值域為，因為存在實數(shù)，使，所以，即，故選：．【點睛】結(jié)論點睛：若，，有，則的值域是值域的子集．19．（2021·天津耀華中學(xué)高三二模）已知定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上遞減.若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由是偶函數(shù)在上遞減，故在上遞增，然后比較的自變量，進而判斷得結(jié)果.【詳解】因為定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上遞減，所以在上遞增，，，，因為，在上遞增，所以，即，故選:B.【點睛】方法點睛：本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，對于抽象函數(shù)，要靈活掌握并運用圖像與奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)，要注意定義域，還應(yīng)該學(xué)會解決的基本方法與技巧，如對于選擇題，可選用特殊值法、賦值法、數(shù)形結(jié)合等，應(yīng)用分析、邏輯推理、聯(lián)想類比等數(shù)學(xué)思想方法.20．（2020·天津）函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)解析式判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)值的符號是否對應(yīng)，利用排除法進行判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，，則函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除，當(dāng)時，，排除，當(dāng)時，，排除，故選：D.【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.21．（2021·上海高三二模）函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】討論、、：顯然根據(jù)解析式知、，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；，利用基本不等式(注意等號成立的條件)，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可求a的范圍.【詳解】當(dāng)時，在上，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，，∴若，時，等號不成立，此時在內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；若，時，若當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時在內(nèi)單調(diào)遞增，不符合題意.綜上，有時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用分類討論，當(dāng)、時，根據(jù)函數(shù)解析式直接判斷單調(diào)性，當(dāng)時，綜合應(yīng)用基本不等式、對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出參數(shù)范圍.22．（2021·上海高三二模）已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)是奇函數(shù)，且，若，則___________．【答案】【分析】通過計算可得．【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，即，所以．故答案為：．23．（2021·山東高三一模）已知函數(shù)（），若對任意，，，總有，，為某一個三角形的邊長，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】由題意可得，對，，，總有恒成立，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)最值即可.【詳解】由題意可得：對，，，總有恒成立，只需，①當(dāng)時，，滿足題意；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，故需，即；綜上所述，的取值范圍是．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：原問題對任意，，，總有，，為某一個三角形的邊長，轉(zhuǎn)化為對，，，總有恒成立，是解題的關(guān)鍵.24．（2019·山東高考模擬（文））若函數(shù)為偶函數(shù)，則__________．【答案】【分析】利用偶函數(shù)的定義求出的值，在進行對數(shù)運算即可答出答案.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，則，即恒成立，所以，解得：則.故答案為：【點睛】本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.25．（2020·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校高三月考（文））已知函數(shù)，若（a），則實數(shù)的取值范圍是__.【答案】.【分析】判斷的單調(diào)性和奇偶性，脫去“”，即可求解實數(shù)的取值范圍【詳解】函數(shù)，定義域為，那么是奇函數(shù)；由函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)由（a），即（a）得故答案為：.【點睛】本題主要考查利用函數(shù)奇偶性單調(diào)性解不等式，判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵，屬于綜合題.26．（2021·定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高一開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)＝設(shè)a>b≥0，若f(a)＝f(b)，則b·f(a)的取值范圍是________.【答案】【分析】畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合求得的范圍，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再求函數(shù)的值域即可.【詳解】畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知要使a>b≥0，f(a)＝f(b)同時成立，則≤b<1.b·f(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)＝b2＋b＝，所以≤b·f(a)<2.故答案為：.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用，本題中借助函數(shù)圖象求得參數(shù)范圍是重點，屬基礎(chǔ)題.27．（2020·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù)，若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，由分段函數(shù)的解析式和，利用對數(shù)函數(shù)的運算可求出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的運算即可求出.【詳解】解：由題可知，當(dāng)時，，則，所以，由于，則.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)求值問題，涉及指對數(shù)函數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.28．（2020·全國高三專題練習(xí)（理））設(shè)偶函數(shù)滿足，則_____.【答案】【分析】，為增函數(shù)，且，則轉(zhuǎn)化為由偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性，計算即可得出結(jié)果．【詳解】解：因為偶函數(shù)滿足，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，，為增函數(shù)，令函數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可知，或或，所以不等式解集為.故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性在解不等式中的應(yīng)用，屬中檔題．29．（2020·全國高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則________．【答案】【分析】分和兩種情況分別討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性結(jié)合定義域和值域先求出參數(shù)的值，在求.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，此時方程組無解.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，解得：所以，則故答案為：.【點睛】本題考查根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性和值域求參數(shù)的值，進一步求函數(shù)的值，屬于中檔題.30．（2020·全國高三一模（理））已知函數(shù)，則滿足不等式的實數(shù)的取值范圍為_________.【答案】【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再判斷出在上為減函數(shù)，，從而將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可得，解不等式即可.【詳解】函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，∵時，，，同理：，∴為偶函數(shù).易知在上為減函數(shù)，且，即，即，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)時，得.故答案為：【點睛】本題考查了利用分段函數(shù)的性質(zhì)解不等式，需掌握奇偶性定義以及指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.31．（2020·陜西高三二模（文））已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為___________.【答案】.【分析】通過中間量0和1，結(jié)合指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】，，，所以.故答案為：.32．（2021·全國高三其他模擬（文））已知，則___________.【答案】【分析】利用分段函數(shù)解析式先求，再計算即可.【詳解】由知，，故.故答案為：.33．（2021·黑龍江哈九中高三月考（文））已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.【答案】【分析】確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，然后由奇偶性與單調(diào)性解不等式．【詳解】函數(shù)定義域是，，是偶函數(shù)，時，是減函數(shù)，又，所以由得，且，解得且．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式，解題時注意函數(shù)的定義域，否則易出錯．34．（2021·黑龍江鐵人中學(xué)高二期末（理））已知函數(shù)，則方程（是自然對數(shù)的底數(shù)）的實根個數(shù)為__________.【答案】6【分析】令，原方程可得，利用數(shù)形結(jié)合判斷與交點個數(shù)及交點橫坐標(biāo)的范圍，再根據(jù)橫坐標(biāo)判斷時交點的個數(shù)，即為實根的個數(shù).【詳解】令，方程為：，即，與的性質(zhì)如下：1、：在上單調(diào)遞增，值域為；上遞增,上遞減，值域為且、；上單調(diào)遞增，值域為；2、：過定點，定義域上單調(diào)遞減；∴可得函數(shù)圖象如下圖示，∴共有三個交點，橫坐標(biāo)分別為，且，∴當(dāng)，顯然無解；當(dāng)時，有四個實根；當(dāng)時，有兩個實根，∴如下圖示：一共有6個實根.故答案為：6【點睛】關(guān)鍵點點睛：令，原方程可得，討論與的性質(zhì)并畫出函數(shù)圖象，根據(jù)交點橫坐標(biāo)的范圍，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷根的個數(shù).35．（2021·山東高三一模）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的倍，則______.【答案】【分析】分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出關(guān)于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由已知條件可得，，，解得.故答案為：.36．（2021·全國高三專題練習(xí)）若函數(shù)滿足：（1）對于任意實數(shù)，當(dāng)時，都有；（2），則___________.(答案不唯一，寫出滿足這些條件的一個函數(shù)即可)【答案】型的都對【分析】本題屬于開放性題，只需填寫符合題意的答案即可，依題意可以判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，（且，）即可得解；【詳解】解：對于任意實數(shù)，，當(dāng)時，都有，說明該函數(shù)在上單調(diào)遞增，又對數(shù)函數(shù)滿足運算性質(zhì)：，故可選一個遞增的對數(shù)函數(shù)：．故答案為：．