人教版九年級上冊數(shù)學(xué)期中考試試題附答案

人教版九年級上冊數(shù)學(xué)期中考試試題一、選擇題。（每小題只有一個正確答案）1．下列方程是一元二次方程的是()A．B．C．D．2．方程是關(guān)于的一元二次方程，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知一元二次方程3(x+5)(x-1)=0的兩根為，，則的值是（）A．4 B．－4 C．5 D．－54．已知，a是關(guān)于m的方程的一個根，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．75．若二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-3（a、b為常數(shù)）的圖象如圖所示，則a的值為（）A．1 B． C．- D．-36．若將拋物線y=x2+2先向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則所得到的拋物線的解析式是（）A． B．C． D．7．下列關(guān)于拋物線有關(guān)性質(zhì)的說法，正確的是（）A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為C．其最大值為 D．當(dāng)時，隨的增大而減小8．由于春季氣溫回暖，某服裝店從3月份開始對冬裝進行“折上折“(兩次打折數(shù)相同)優(yōu)惠活動，已知一件原價1000元的冬裝，優(yōu)惠后實際僅需490元，設(shè)該店冬裝原本打x折，則有()A．490×2x＝1000 B．1000×x2＝490C．1000×()2＝490 D．1000×()2＝4909．在同一直角坐標系中，一次函數(shù)y＝ax﹣b和二次函數(shù)y＝﹣ax2﹣b的大致圖象是（）A．B．C．D．10．已知點，若拋物線與線段有且只有一個公共點，則整數(shù)的個數(shù)是（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空題11．只請寫出一個開口向下，并且與軸有一個公共點的拋物線的解析式__________．12．拋物線與軸的交點坐標為和，則這條拋物線的對稱軸是______.13．若關(guān)于x的一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是0，則______．14．已知二次函數(shù)y=ax2+bx（a≠0）的最小值是﹣3，若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根，則c的最大值是_____．15．對于兩個實數(shù)，規(guī)定表示、中的較大值、當(dāng)時，，當(dāng)時，，例如：.則函數(shù)的最小值是______.三、解答題16．解方程：（1）（2）（3）17．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）請你給賦一個值，并求此時方程的根．18．已知拋物線經(jīng)過點和點，求拋物線的解析式.19．如圖，在四邊形中，對角線、互相垂直，設(shè)的長度為，四邊形的面積隨的變化而變化.（1）求與的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出的取值范圍）；（2）當(dāng)為何值時，這個四邊形的面積有最大值，最大面積是多少？20．二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為，另一個交點為，且與軸交于點.（1）求的值和點的坐標；（2）求的面積.21．如圖，AB是⊙O的直徑，點P是弦AC上一動點（不與A，C重合），過點P作PE⊥AB，垂足為E，射線EP交于點F，交過點C的切線于點D．（1）求證：DC=DP；（2）若∠CAB=30°，當(dāng)F是的中點時，判斷以A，O，C，F(xiàn)為頂點的四邊形是什么特殊四邊形？說明理由．22．已知某種商品的進價為每件30元該商品在第x天的售價是y1（單位：元/件），銷量是y2（單位：件），且滿足關(guān)系式，y2＝200﹣2x，設(shè)每天銷售該商品的利潤為w元．（1）寫出w與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）銷售該商品第幾天時，當(dāng)天銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）該商品銷售過程中，共有多少天日銷售利潤不低于4800元？23．如圖，是的直徑，點為的中點，為的弦，且，垂足為，連接交于點，連接，，．(1)求證：；(2)若，求的長．24．如圖所示，已知拋物線與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點，點是拋物線上不與，重合的一個動點.（1）請求出，，的值；（2）當(dāng)點在直線上方時，過點作軸的平行線交直線于點，設(shè)點的橫坐標為，的長度為，求出關(guān)于的解析式；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)面積為，求出關(guān)于的解析式，并求出當(dāng)取何值時，取最大值，最大值是多少？參考答案1．B【分析】本題根據(jù)一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0．據(jù)此即可判斷．【詳解】解：A、含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故選項不符合題意；B、只有一個未知數(shù)且最高次數(shù)為2，是一元二次方程，選項符合題意；C、不是整式方程，則不是一元二次方程，選項不符合題意；D、整理后得，最高次數(shù)為1，不是二次方程，選項不符合題意；故選B．【點睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．2．B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，列出不等式，求出a的取值范圍即可【詳解】∵方程是關(guān)于的一元二次方程，∴a-2≠0，解得：a≠2，故選B.【點睛】本題考查一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．注意二次項系數(shù)不為0的條件.3．B【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得答案.【詳解】∵3(x+5)(x-1)=0，∴x2+4x-5=0，∵一元二次方程3(x+5)(x-1)=0的兩根為，，∴+=-4，故選B【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1、x2，則x1+x2=，x1·x2=，熟練掌握韋達定理是解題關(guān)鍵.4．A【分析】根據(jù)方程的解的定義可得a2-2a=3，把2a2-4a-2變形為2(a2-2a)-2，再把a2-2a=3整體代入即可得答案.【詳解】∵a是關(guān)于m的方程的一個根，∴a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，∴2a2-4a-2=2(a2-2a)-2=2×3-2=4，故選A.【點睛】本題考查一元二次方程的解的應(yīng)用，正確變形，靈活運用整體代入的思想是解題關(guān)鍵.5．C【解析】【分析】根據(jù)圖象可以知道二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-3經(jīng)過點（0，0），因而把這個點代入記得到一個關(guān)于a的方程，就可以求出a的值．【詳解】解：把原點（0，0）代入拋物線解析式，得a2-3=0，解得a=±，∵函數(shù)開口向下，a＜0，∴a=-．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點的坐標，根據(jù)對于函數(shù)圖象的描述能夠理解函數(shù)的解析式的特點，是解決本題的關(guān)鍵．6．D【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律解答即可.【詳解】將拋物線y=x2+2先向右平移2個單位長度所得解析式為y=(x-2)2+2，將拋物線y=(x-2)2+2向下平移3個單位長度所得解析式為y=(x-2)2+2-3=(x-2)2-1，故選D.【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵.7．D【分析】根據(jù)拋物線的表達式中系數(shù)a的正負判斷開口方向和函數(shù)的最值問題，根據(jù)開口方向和對稱軸判斷函數(shù)增減性.【詳解】解：∵a=2>0，∴拋物線開口向上，故A選項錯誤；拋物線的對稱軸為直線x=3，故B選項錯誤；拋物線開口向上，圖象有最低點，函數(shù)有最小值，沒有最大值，故C選項錯誤；因為拋物線開口向上，所以在對稱軸左側(cè)，即x<3時，y隨x的增大而減小,故D選項正確.故選：D.【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，掌握圖象特征與系數(shù)之間的關(guān)系即數(shù)形結(jié)合思想是解答此題的關(guān)鍵.8．C【分析】設(shè)該店冬裝原本打x折，根據(jù)原價及經(jīng)過兩次打折后的價格，可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)該店冬裝原本打x折，依題意，得：1000×()2＝490．故選C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷a、b的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實際是否相符，判斷正誤．【詳解】解：A、由一次函數(shù)y＝ax﹣b的圖象可得：a＞0，﹣b＞0，此時二次函數(shù)y＝﹣ax2﹣b的圖象應(yīng)該開口向下，頂點的縱坐標﹣b大于零，故A正確；B、由一次函數(shù)y＝ax﹣b的圖象可得：a＜0，﹣b＞0，此時二次函數(shù)y＝﹣ax2﹣b的圖象應(yīng)該開口向上，頂點的縱坐標﹣b大于零，故B錯誤；C、由一次函數(shù)y＝ax﹣b的圖象可得：a＜0，﹣b＞0，此時二次函數(shù)y＝-ax2-b的圖象應(yīng)該開口向上，故C錯誤；D、由一次函數(shù)y＝ax﹣b的圖象可得：a＞0，﹣b＞0，此時拋物線y＝﹣ax2﹣b的頂點的縱坐標大于零，故D錯誤；故選A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)y＝kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．10．B【分析】根據(jù)題意可以將函數(shù)解析式化為頂點式，由y＝x2?2x?3＋n與線段BC有且只有一個公共點，可以得到頂點的縱坐標為3或當(dāng)x＝?2時y≥3，當(dāng)x＝2時y＜3，列不等式組求解可得．【詳解】①當(dāng)拋物線的頂點在直線y＝3上時，△＝（?2）2?4（n?6）＝0，解得：n＝7；②當(dāng)拋物線的頂點在BC下方時，根據(jù)題意知當(dāng)x＝?2時y≥3，當(dāng)x＝2時y＜3，即，解得：?2≤n＜6，整數(shù)n有?2，?1，0，1，2，3，4，5，7共9個，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．11．【分析】要根據(jù)開口向下且與x軸有惟一的公共點，寫出一個拋物線解析式即可．【詳解】解：∵與x軸只有一個公共點，并且開口方向向下，

∴a＜0，△=0，即b2-4ac=0，滿足這些特點即可．如．

故答案為：（答案不唯一）．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，要了解性質(zhì)與函數(shù)中a，b，c的關(guān)系．12．1【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，其對稱軸必過拋物線與x軸的交點連線的中點，由此易得到對稱軸方程．【詳解】∵拋物線與軸的交點坐標為和，∴拋物線的對稱軸為x==1，故答案為：1【點睛】此題考查了拋物線對稱軸和交點坐標的關(guān)系：若拋物線與x軸交點坐標為（x1，0），（x2，0），則拋物線的對稱軸為x=.13．2【解析】【分析】根據(jù)b，c是常數(shù)且，a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項，利用二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是0列關(guān)于k的方程即可得答案．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是0，∴，解得：．故答案為：2．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：b，c是常數(shù)且，特別要注意的條件這是在做題過程中容易忽視的知識點在一般形式中叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項，其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．14．3【解析】【分析】由一元二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根，可得y=ax2+bx（a≠0）和y=-c有交點，由此即可解答.【詳解】∵一元二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根，∴拋物線y=ax2+bx（a≠0）和直線y=-c有交點，∴-c≥-3，即c≤3，∴c的最大值為3.故答案為：3.【點睛】本題考查了一元二次方程與二次函數(shù)，根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根得到拋物線y=ax2+bx（a≠0）和直線y=-c有交點是解決問題的關(guān)鍵.15．1【分析】先比較x2+2x+2與-x2-1的大小，再求出的最小值即可得答案.【詳解】∵x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，-x2-1≤-1，∴x2+2x+2>-x2-1，∴=x2+2x+2=(x+1)2+1∴的最小值是1，故答案為：1【點睛】本題考查二次函數(shù)的最值，明確題意，得出x2+2x+2與-x2-1的大小再求出所求函數(shù)的最小值是解題關(guān)鍵.16．（1），；（2），；（3），【分析】（1）利用直接開平方法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可；（3）先移項，利用因式分解法解方程即可.【詳解】（1），解得：，；（2），∴，∴，.（3）或解得：，【點睛】本題考查解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟練掌握并靈活運用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}關(guān)鍵.17．（1）見解析；（2）當(dāng)時，，．【分析】（1）進行判別式的值得到，利用非負數(shù)的性質(zhì)得，然后根據(jù)判別式的意義可判斷方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）令時，則方程化為，然后利用因式分解法解方程．【詳解】（1）證明：依題意，得．∵，∴方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：當(dāng)時，解方程．解得，．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．18．【分析】把（1，-4）和（-1，3）代入，解方程組求出b、c的值即可得答案.【詳解】∵拋物線經(jīng)過點和點，∴，解得∴拋物線的解析式為【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，把拋物線上的點的坐標代入解析式確定字母的值是解題關(guān)鍵.19．（1）；（2）當(dāng)時，有最大值，最大值為50【分析】（1）根據(jù)四邊形的面積=AC·BD即可得答案；（2）利用配方法求出最大值即可．【詳解】（1）設(shè)，∵AC+BD=20cm，∴，∵對角線AC、BD互相垂直，∴.（2）∵，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為50.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式并掌握利用配方法求最大值是解題關(guān)鍵．20．（1），；（2）的面積是24.【分析】（1）把A點坐標代入求出m的值，即可得二次函數(shù)解析式，令y=0，求出x的值即可得B點坐標；（2）令x=0，可得C點坐標，即可得OC的長，根據(jù)A、B坐標可得AB的長，即可求出△ABC的面積.【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為，∴，∴，∴該二次函數(shù)的解析式是，當(dāng)時，，解得：，.∴點坐標為.（2）∵由（1）知，，∴當(dāng)時，，∵二次函數(shù)圖象與軸交于點∴.∵，.∴，∴，即的面積是24.【點睛】本題考查了待定系數(shù)法的運用和拋物線與x軸的交點坐標．解題時注意，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0的根之間的關(guān)系．21．（1）證明見解析；（2）菱形，理由見解析．【分析】（1）連接BC、OC，利用圓周角定理和切線的性質(zhì)可得∠B=∠ACD，由PE⊥AB，易得∠APE=∠DPC=∠B，等量代換可得∠DPC=∠ACD，可證得結(jié)論；（2）由∠CAB=30°易得△OBC為等邊三角形，可得∠AOC=120°，由F是的中點，易得△AOF與△COF均為等邊三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形．【詳解】解：（1）連接BC、OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，∴∠OAC+∠B=90°，∵CD為切線，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵PE⊥AB，∴∠APE=∠DPC=∠B，∴∠DPC=∠ACD，∴AP=DC；（2）以A，O，C，F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形．理由如下：∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴△OBC為等邊三角形，∴∠AOC=120°，連接OF，AF，∵F是的中點，∴∠AOF=∠COF=60°，∴△AOF與△COF均為等邊三角形，∴AF=AO=OC=CF，∴四邊形OACF為菱形．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)；垂徑定理．22．(1)；(2)銷售該商品第天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是元；(3)該商品在銷售過程中，共有天每天銷售利潤不低于元．【解析】【分析】（1）根據(jù)單價乘以數(shù)量，可得利潤，可得答案；

（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可分別得出最大值，根據(jù)有理數(shù)的比較，可得答案；

（3）根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于4800，一次函數(shù)值大于或等于48000，可得不等式，根據(jù)解不等式組，可得答案．【詳解】(1)①當(dāng)時，．②當(dāng)時，．所以(2)①當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線，那么當(dāng)時，．②當(dāng)時，隨的增大而減小，綜上，銷售該商品第天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是元．(3)①當(dāng)時，，解得，因此利潤不低于元的天數(shù)是，共天．②當(dāng)時，，解得．因此利潤不低于元的天數(shù)是，共天．所以該商品在銷售過程中，共有天每天銷售利潤不低于元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用單價乘以數(shù)量求函數(shù)解析式，利用了函數(shù)的性質(zhì)求最值．也考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.23．(1)證明見解析；(2).【分析】(1)根據(jù)點為的中點和垂徑定理可證CD=BF，再利用即可證得結(jié)論；(2)解法一：連接，設(shè)的半徑為，由列出關(guān)于的方程就能求解；解法二：如圖，作輔助線，構(gòu)建角平分線和全等三角形，證明，得，再證明，得，進而可得和的長，易證，列比例式可求得的長，也就是的長；解法三：連接，根據(jù)垂徑定理和三角形的中位線定理可