專題61平面向量的概念及其運算（知識點講解）-2023年高考數(shù)學一輪復習知識點講解真題測試（新教材新高考）(原卷版)

專題6.1平面向量的概念及其運算（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1.結合平面向量的有關概念，考查對向量特性的理解，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．2．結合向量的線性運算，考查用向量刻畫平面圖形的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．結合向量的線性運算的幾何意義，考查數(shù)形結合的思想，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．4.與向量線性運算相結合，考查共線向量定理及其應用，凸顯數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．5.與向量線性運算相結合，考查數(shù)量積、向量的夾角、模的計算，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．6．以平面圖形為載體，考查向量數(shù)量積的應用，凸顯數(shù)學運算、數(shù)學建模、直觀想象的核心素養(yǎng)．【知識點展示】（一）平面向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的．3．單位向量：長度等于1個單位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．5．相等向量：長度相等且方向相同的向量．6．相反向量：長度相等且方向相反的向量．（二）平面向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則①交換律：a＋b＝b＋a；②結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算①|λa|＝|λ||a|；②當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb（三）共線向量定理1.共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.提醒：當a≠0時，定理中的實數(shù)λ才唯一，否則不唯一．2.平面向量共線定理的三個應用（四）兩個向量的夾角1．定義已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．2．范圍向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°a與b同向時，夾角θ＝0°；a與b反向時，夾角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a與b的夾角是90°，則a與b垂直，記作a⊥b.（五）平面向量的數(shù)量積定義設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積規(guī)定0·a＝0.（六）數(shù)量積的運算律1．交換律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．對λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．（七）向量數(shù)量積的性質1．如果e是單位向量，則a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，.4．cosθ＝.(θ為a與b的夾角)5．|a·b|≤|a||b|.【?？碱}型剖析】題型一：平面向量的有關概念例1.（2008·寧夏·高考真題（理））平面向量，共線的充要條件是()A．，方向相同B．，兩向量中至少有一個為零向量C．，D．存在不全為零的實數(shù)，，例2．（2022·安徽·模擬預測（理））給出下列命題：①若同向，則有；

②與表示的意義相同；③若不共線，則有；④恒成立；⑤對任意兩個向量，總有；⑥若三向量滿足，則此三向量圍成一個三角形．其中正確的命題是__________填序號【易錯提醒】有關平面向量概念的注意點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混淆．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量，－eq\f(a,|a|)是與a反方向的單位向量．(5)兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大?。?6)兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件．題型二：平面向量的線性運算例3.（2022·全國·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．例4.（2020·海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點，則=（

）A． B． C． D．例5.（2018·全國·高考真題（文））在△中，為邊上的中線，為的中點，則（）A． B．C． D．例6.（2022·青海·海東市第一中學模擬預測（理））已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．1【規(guī)律方法】1.平面向量的線性運算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解．(2)含圖形的情況：將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質，把未知向量用已知向量表示出來求解．2．利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置．(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉化，轉化為要求的向量形式．(3)比較、觀察可知所求．【特別提醒】關于平面向量的線性運算的考查，命題角度主要有兩個：一是平面向量的線性運算，二是利用向量線性運算求參數(shù).解題過程中應注意：①常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．②找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉化到同一個平行四邊形或三角形中求解．題型三：共線向量定理及其應用例7.（2022·內蒙古·包鋼一中一模（文））已知向量，是兩個不共線的向量，與共線，則（

）A．2 B． C． D．例8．（2020·全國·高三專題練習（文））如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，.(1)用表示；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．【總結提升】求解向量共線問題的注意事項(1)向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運用．(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線．(3)直線的向量式參數(shù)方程：A，P，B三點共線?eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))(O為平面內任一點，t∈R)．題型四：平面向量數(shù)量積的運算例9.（2022·全國·高考真題（理））已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2例10.（2018·天津·高考真題（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，若點E為邊CD上的動點，則的最小值為A． B． C． D．例11．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件例12．（2019·江蘇高考真題）如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是_____.【總結提升】1.計算向量數(shù)量積的三種常用方法(1)定義法：已知向量的模與夾角時，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法：計算由基底表示的向量的數(shù)量積時，應用相應運算律，最終轉化為基向量的數(shù)量積，進而求解．(3)坐標法：若向量選擇坐標形式，則向量的數(shù)量積可應用坐標的運算形式進行求解．2.總結提升：（1）.公式a·b＝|a||b|cos<a，b>與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數(shù)量積的，沒有本質區(qū)別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導．若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知兩向量的坐標，則可選用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．題型五：平面向量的模、夾角例13.(2019·全國卷Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)例14.（2020·全國高考真題（理））已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．例15.（2020·全國高考真題（理））設為單位向量，且，則______________.例16.（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為____________；的最小值為____________．【總結提升】1.求向量夾角問題的方法(1)當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關系；(2)提醒：〈a，b〉∈[0，π]．數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0說明不共線的兩向量的夾角為鈍角．注意共線時，數(shù)量積為±1的特殊情況！2．平面向量模問題的類型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a，b是以非坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的模可應用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運算求解．(2)求向量模的最值(范圍)的方法①代數(shù)法：把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．②幾何法(數(shù)形結合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結合動點表示的圖形求解．題型六：兩個向量垂直問題例17．（2020·全國高考真題（文））已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（）A． B． C． D．例18．(2020·福州模擬)已知向量|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝3，|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝2，eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))，若eq\o(OA,\s\up7(→))與eq\o(OB,\s\up7(→))的夾角為60°，且eq\o(OC,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))，則實數(shù)eq\f(m,n)的值為()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C．6D．4例19．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（理））已知兩非零向量，滿足，且，