數(shù)學素材：集合之間的關(guān)系與運算

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習題點撥思考與討論答：A?B.如，A＝{x｜x是6的約數(shù)}，B＝｛x|x是12的約數(shù)｝，即集合A的特征性質(zhì)p(x）是：x是6的約數(shù)；集合B的特征性質(zhì)q(x）是:x是12的約數(shù),顯然“如果p（x)，那么q(x)"是正確命題．因為A＝｛1，2,3,6}，B＝{1，2,3,4，6，12},顯然A?B.探索與研究答：由子集的定義可知：若集合A是集合B的子集，則有A?B，它包含以下幾個方面：A＝;AB；A＝B。由以上知識，可以得到：若B＝{a｝，則其子集可以是,{a}，即集合中若有1個元素，其子集個數(shù)為2；若B＝｛a,b}，則其子集可以是，｛a},{b｝，{a，b}，即集合中若有2個元素,其子集個數(shù)為4；若B＝{a，b，c},則其子集可以是,｛a｝，，{c}，{a,b}，｛a，c},{b，c｝，{a，b,c}，即集合中若有3個元素，其子集個數(shù)為8；若B＝{a，b，c，d}，則其子集可以是,{a}，｛b｝，{c}，{d｝,｛a，b}，｛a，c｝，｛a,d}，{b，c｝，{b，d｝,｛c，d}，{a，b，c｝，｛a，b，d}，｛a,c，d}，｛b,c，d｝，{a，b，c，d｝，即集合中若有4個元素，其子集個數(shù)為16。綜上所述，集合中的元素個數(shù)每增加1個，其子集的個數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍．故從上到下依次填2，4,8,16，32。(1）“元素個數(shù)”與“子集數(shù)目”之間的對應(yīng)關(guān)系為：元素個數(shù)子集數(shù)目12＝2122×21＝2232×22＝2342×23＝24……（2)若集合中有n個元素,則其子集的個數(shù)應(yīng)為2n.非空子集的個數(shù)為2n－1，其真子集的個數(shù)應(yīng)為2n－1，非空真子集的個數(shù)為2n－2。對于上述結(jié)論的證明不作要求．練習A1．(1)∈;（2)∈;（3)；（4)；(5）;（6)；(7)＝；（8）2．（1)AB。x是等邊三角形?x是等腰三角形;(2）AB。x≥2?x＞1；（3）C＝D．x是等腰直角三角形?x是有一個角是45°的直角三角形．3．,{0}，｛1}，{2}，{3｝，｛0,1｝，{0，2｝，｛0,3}，｛1，2}，｛1，3}，{2,3｝,{0,1,2｝，{0,1，3｝，{0，2,3}，｛1，2，3}，{0,1，2，3}．4．如圖，ABCD。練習B1．(1）＝;（2）＝；（3）．2．（1)E＝F，x是兩組對邊分別平行的四邊形?x是一組對邊平行且相等的四邊形；(2)HG，x是能被3整除的數(shù)?x是能被6整除的數(shù)．3．如圖，BA；CA;DA；DB；DC；B∩C＝D.4．（1）正確；（2)錯誤;(3）正確；（4)錯誤；（5)錯誤；（6)正確．思考與討論1．答：可能．例如：A＝{1，2，4｝，B＝{3,5，6｝,則A∩B＝.實際上，兩個非空集合的交集可以用Venn圖進行研究，如圖所示．設(shè)A,B是非空集合,則①若AB，則A∩B＝A②若BC，則A∩B＝B③若A＝B,則A∩B＝A（B）④若A，B互不包含,且有公共部分,則A∩B是A，B中的公共元素⑤若A，B互不包含，且沒有公共部分，則A∩B＝2．答：設(shè)l1,l2為兩條直線（平面內(nèi))．若l1，l2平行，用集合語言表示為l1∩l2＝；若l1，l2重合,用集合語言可表示為l1∩l2＝l1＝l2.探索與研究1．解：A＝{高一年級參加數(shù)學小組的學生}，B＝｛高一年級參加足球隊的學生}，則A∩B是既參加數(shù)學小組又參加足球隊的學生組成的集合，A∪B是參加數(shù)學小組和參加足球隊的所有學生組成的集合．如圖，在相應(yīng)于A∩B的區(qū)域里先填上4（card（A∩B)＝4），再在A中不含A∩B的區(qū)域里填上16(card(A）－card（A∩B)＝16),在B中不含A∩B的區(qū)域里填上4(card(B）－card（A∩B)＝4），最后將這三部分中的數(shù)加起來得24，即card（A∪B)＝24.推廣：容易發(fā)現(xiàn)：card(A∪B）＝card(A）＋card(B)－card(A∩B）．2．解：如圖所示，設(shè)①表示A中不含A∩B的區(qū)域里的元素個數(shù)；②表示B中不含A∩B區(qū)域里的元素個數(shù);③表示A∩B區(qū)域里的元素個數(shù)．則card(A∪B）表示A和B區(qū)域里所有的不同的元素個數(shù)，即card（A∪B)＝①＋②＋③；card（A)表示集合A表示的區(qū)域里的元素個數(shù)，即card(A)＝①＋③；card（B)表示集合B所示的區(qū)域里的元素個數(shù)，即card(B)＝②＋③；注意到card(A)＋card(B）中③出現(xiàn)過兩次，故需減掉一次，故有card(A)＋card（B）－card（A∩B）＝（①＋③）＋(②＋③)－③＝①＋②＋③＝card（A∪B),公式得證．練習A1．（1）A∩B＝｛3,4}，（2)A∩C＝{1，3，4｝,(3)A∪B＝{1,2，3，4,5,6｝；(4）A∪C＝｛1,2，3，4，6}；(5）B∩C＝｛3，4,6｝；(6)A∩＝；(7）B∪C＝{1，3,4,5,6}；（8）C∪＝{1，3，4,6}．2．A∩B＝{b,d};A∪B＝{a，b，c，d，e，f｝．3．如圖，顯然A∩B＝A，A∪B＝B。4．A∩B＝{x|x2－16＝0}∩｛x｜x2－x－12＝0｝＝｛x|x2＝16}∩｛x|(x－4)(x＋3）＝0}＝｛－4,4}∩{－3，4}＝｛4}，A∪B＝{－4，4｝∪｛－3,4｝＝{－4,－3，4｝．5．A∪N＋＝｛x|x＝0或x是正整數(shù)}＝N。練習B1．成立．2．A∩B＝,A∪B＝{x|x為斜三角形}．3．A∩B＝｛(x，y）｜2x＋3y＝1｝∩{（x,y）|3x－2y＝3｝＝eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（(x，y）\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝1，，3x－2y＝3））)）))＝eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(（x，y)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f(11，13），,y＝－\f（3,13)）))）)）＝eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(11,13),－\f(3,13)））））.4．滿足A∪B＝A的集合有8個,滿足A∩B＝B的集合有8個．練習A1．?UA＝{4，5，6，7，8}，?UB＝{1，2,7，8}．2．?UA＝｛x|x≥2}．3．?UA＝{x|x≤－1或x≥1｝，?UA∩U＝{x｜x≤－1或x≥1}＝?UA，?UA∪U＝U＝R，A∩?UA＝，A∪?UA＝U＝R.4．?UA＝B，?UB＝A。練習B1．?UA＝{3，4,6}，?UB＝{1,6},?UA∩?UB＝｛6｝，?UA∪?UB＝{1,3,4，6}．2．A＝｛α|0°＜α＜90°}，B＝｛α|90°＜α＜180°}，?UA＝｛α｜90°≤α＜180°｝，?UB＝{α｜0°＜α≤90°}，?UA∩B＝｛α|90°＜α＜180°}＝B，?UA∪?UB＝U＝{α｜0°＜α＜180°｝．∵A∪B＝｛α｜0°＜α＜90°或90°＜α＜180°}，∴?U(A∪B）＝{α｜α＝90°}＝{x|x是直角｝．3．B∩?UA＝{x｜x是10的正整數(shù)倍｝．習題1－2A1．（1)不正確,應(yīng)是集合與集合間關(guān)系的符號，應(yīng)改為2∈{x∈R｜x≤10｝；（2）正確；(3)正確；(4）不正確，空集應(yīng)是任何非空集合的真子集，應(yīng)改為{x∈R|x≤10｝；(5)不正確，原因同(4）；(6）正確．2．（1）A?B；(2）B?A。3．(1)A∩B＝{3,4｝；B∩C＝｛6,7}；A∩C＝.（2)A∪B＝{1,2，3,4,5，6,7};B∪C＝｛3,4,5,6,7，8,9｝；A∪C＝｛1,2,3，4，6,7，8,9｝．4．5．A∩B＝{x｜x既是菱形又是矩形｝＝｛x｜x是正方形｝．6．A∩B＝B，A∪B＝A。7．A∩B＝{2，3,5,7｝∩｛1,3，5，7，9}＝{3，5,7}；A∪B＝{2，3,5,7}∪｛1,3,5，7,9}＝｛1，2，3,5，7,9｝．8．∵A∪B＝A，∴B?A，∴m2∈A且m2≠1，∴m2＝3或m2＝m。解得m＝±eq\r（3）或m＝0或m＝1.又m≠±1，∴m＝±eq\r（3)或m＝0。9．（1）?UA＝{1，2，6，7,8｝，?UB＝{1，2，3，5,6｝,?UA∩?UB＝｛1,2,6},?UA∪?UB＝｛1，2,3，5,6,7，8｝．（2）∵A∩B＝{4},∴?U（A∩B）＝{1,2,3，5，6，7，8}．∵A∪B＝｛3，4,5，7,8｝,∴?U（A∪B)＝{1，2，6}．故有?U（A∩B）＝?UA∪?UB,?U（A∪B）＝?UA∩?UB.習題1－2B1．A∩B＝{0，2，4},A∪B＝｛0,1，2,3，4，5,6，8｝．(1）A∩B∩C＝{0,2，4｝∩{4，5,6｝＝{4}；(2)A∪B∪C＝{0，1,2,3,4，5，6,8}∪{4,5，6}＝{0，1,2,3，4，5,6,8}；（3）(A∩B）∪C＝｛0,2,4｝∪｛4,5，6}＝｛0,2,4,5，6｝；（4）(A∪B）∩C＝{0，1，2，3,4,5,6,8｝∩{4，5，6}＝{4，5，6｝．2．