數(shù)學(xué)素材：教材梳理排序不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)排序不等式SequenceInequality（又稱排序原理)(1）排序原理的內(nèi)容:設(shè)有數(shù)組A：a1≤a2≤…≤an，及數(shù)組B：b1≤b2≤…≤bn。稱a1b1+a2b2+…+anbn為順序和,a1bn+a2bn-1+a3bn—2+…+anb1為倒序和,a1c1+a2c2+…+ancn為亂序和(其中c1，c2，…，cn是b1≤b2≤…≤b順序和≥亂序和≥倒序和，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí)成立。記憶要訣以S=表示順序和，以表示倒序和,以S1=表示亂序和（其中，c1，c2，…，cn是b1≤b2≤…≤bn的任一排列）,則有≤S1≤S.（2）排序原理的本質(zhì)含義：兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)（同時(shí)增或同時(shí)減）時(shí)所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)(一增一減）時(shí)所得兩兩乘積之和最小，注意等號(hào)成立條件是其中一序列為常數(shù)序列。學(xué)法一得由排序原理，我們可以得到這樣一個(gè)推論：對(duì)于實(shí)數(shù)，a1,a2，…，an，設(shè)ai1,ai2,…,ain為其任一個(gè)排列,則有a1ai1+a2ai2+…+anain≤a12+a22+…+an2。證明：不妨設(shè)滿足a1≤a2≤…≤an，取bk=ak(k=1，2，…，n）,因此b1≤b2≤…≤bn,且a1，a2,…，an是b1，b2,…，bn的一個(gè)排列,由排序原理知,a1+a2+…+an≤a1b1+a2b2+…+anbn=a12+a22+…+an2。(3）排序原理的意義：在解各種涉及到若干個(gè)可以比較大小的對(duì)象（如實(shí)數(shù)、線段、角度等)a1,a2,…，an的數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果根據(jù)對(duì)稱性，假定它們按一定的順序排列起來,往往能使問題迎刃而解.這就是數(shù)學(xué)中的排序思想。聯(lián)想發(fā)散根據(jù)排序原理的定義，在處理積問題時(shí)，有時(shí)我們可以通過“逐步調(diào)整”的方法，使最后的積總的最大。而且所進(jìn)行操作的步驟是有限的.排序原理的思想：在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)常常涉及到一些可以比較大小的量,它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序，那么在解答問題時(shí)，不妨可以將它們按一定順序排列起來,往往十分有助于解題，這在不等式中應(yīng)用尤為廣泛。典題·熱題知識(shí)點(diǎn)一：用排序不等式證明不等式例1在△ABC中,ha,hb,hc為邊長(zhǎng)a,b,c上的高，求證:asinA+bsinB+csinC≥ha+hb+hc。思路分析：解題關(guān)鍵是將ha,hb，hc結(jié)合已知量轉(zhuǎn)化為積的形式，進(jìn)而運(yùn)用排序原理去求證.證明:如下圖，ha=bsinC;hb=csinA，hc=asinB,不妨設(shè)a≥b≥c;由大角對(duì)大邊可知A≥B≥C。①若A≤90°,則有sinA≥sinB≥sinC,由順序和≥亂序和，可得asinA+bsinB+csinC≥asinB+bsinC+csinA.②若A〉90°，此時(shí)，sinA=sin(B+C），因?yàn)锽+C為銳角,故亦有sinA≥sinB≥sinC。由順序和≥亂序和，可得asinA+bsinB+csinC≥asinB+bsinC+csinA.綜上可知,asinA+bsinB+csinC≥ha+hb+hc成立。巧妙變式用A、B、C表示△ABC的三內(nèi)角的弧度數(shù)，a、b、c表示其對(duì)邊，求證≥.證明：由對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，于是A≥B≥C，于是由順序和≥亂序和,可得aA+bB+cC=aA+bB+cC,aA+bB+cC≥aB+bC+cA,aA+bB+cC≥aC+bA+cB。將上面三式相加可得3（aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=π（a+b+c）.因?yàn)閍+b+c〉0，所以≥.例2a,b,c∈R+，求證：a+b+c≤。思路分析：本題所證不等式為對(duì)稱式(任意互換兩個(gè)字母，不等式不變），在處理該類式子中，經(jīng)常對(duì)每個(gè)式子采用同樣的處理方法即可（即輪換技巧）。中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和，將它們拆開,再用排序不等式證明.證明：不妨設(shè)a≥b≥c，則a2≥b2≥c2,≥≥,則a2·+b2·+c2·（亂序和）≥a2·+b2·+c2·（倒序和），同理a2·+b2·+c2·(亂序和)≥a2·+b2·+c2·（倒序和）.兩式相加再除以2，即得原式中第一個(gè)不等式.再考慮數(shù)組a3≥b3≥c3及≥≥，仿上可證第二個(gè)不等式.方法歸納證明不等式就是對(duì)不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸，這些操作包括一些添項(xiàng)、拆項(xiàng)，及一定的構(gòu)造,而變形的主要依據(jù)是不等式的性質(zhì).因此在學(xué)習(xí)中,應(yīng)該認(rèn)真把握這個(gè)定理的內(nèi)容形式。知識(shí)點(diǎn)二:用排序不等式證明重要公式例3證明切比雪不等式：若a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn,則≥()·().思路分析：排序原理，運(yùn)用于數(shù)列解題是常見題型，處理該類題目,應(yīng)將數(shù)列進(jìn)行重組,使其成為遞增數(shù)列或者遞減數(shù)列,再由大小關(guān)系應(yīng)用排序原理求解。證明：由排序不等式有：a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn,a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b2+a2b3+…+anb1,a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b3+a2b4+…+anb2，……a1b1+a2b2+…+anbn≥a1bn+a2b1+…+anbn—1。將以上式子相加得:n（a1b1+a2b2+…+anbn)≥a1（b1+b2+…+bn）+a2（b1+b2+…+bn）+…+an(b1+b2+…+bn)，∴≥)·（).巧妙變式a1≤a2≤…≤an且b1≥b2≥…≥bn，則≤（)·（）.例4請(qǐng)利用排序不等式證明Gn≤An.(一般地，對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1,a2，…,an；幾何平均Gn=,算術(shù)平均An=）思路分析：由排序不等式可以衍生出很多的定理與性質(zhì)，及一些有用的式子.證明：令bi=(i=1,2，…,n），則b1b2…bn=1,故可取x1,x2,…,xn〉0,使得b1=，b2=,…，bn-1=，bn=。由排序不等式有：b1+b2+…+bn=(亂序和）≥x1·+x2·+…+xn·（倒序和)=n,∴≥n,即≥Gn。方法歸納對(duì)…，各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，Gn≤An.問題·探究思想方法探究問題如何形象地理解排序原理，并正確地運(yùn)用它?探究過程:理解排序原理的正確性，令a1=2，a2=7,a3=8,a4=9，a5=12,另令b1=3，b2=4，b3=6,b4=10,b5=11,記c1,c2，c3，c4，c5是b1,b2,b3，b4,b5的一個(gè)重排列,來計(jì)算a1c1+a2c2+…+a5c5的值，至多可以得到5！=120個(gè)不同的數(shù).易驗(yàn)證出a1b1+a2b2+…+a5b5最大,值為304；而a1b5+a2b4+…+a5b1最小，值為212.排序不等式應(yīng)用較為廣泛,它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)有序數(shù)組的積的形式，如a,b,c∈R+時(shí),a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2aa2·a+b2·b+c2·c≥a2·b+b2·c+c2·a,此處依據(jù)的是順序和≥亂序和；≥a+b+ca2·+b2·+c2·≥a2·+b2·+c2·，此處依據(jù)的是亂序和≥倒序和。在運(yùn)用排序定理時(shí)，首先要特別注意“序”，應(yīng)注意所給項(xiàng)的一個(gè)大小問題，這是排序不等式與別的不等式的一個(gè)顯著區(qū)別所在。我們以前學(xué)過的一些有用的不等式，如對(duì)a>0，有a+≥2,完全可以改寫為這樣一個(gè)形式,對(duì)a〉0,有a·1+1·≥a·+1·1，這時(shí),運(yùn)用的就是順序和≥反序和，可謂異曲同工.探究結(jié)論：排序不等式也有廣泛的應(yīng)用，許多重要的不等式（如柯西不等式、平均不等式等）都可以由它推得。交流討論探究問題平均的概念，在人們的日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中是經(jīng)常遇到的。除了上述談到的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之外，還常會(huì)用到哪些平均數(shù)？探究過程:同學(xué)甲：設(shè)a1，a2,…,an為正數(shù)，則這n個(gè)數(shù)的平方和的算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)平方根為Qn=.Qn稱為這n個(gè)數(shù)的平方平均數(shù)。平方平均數(shù)在概率統(tǒng)計(jì)及誤差分析中有著重要的作用。同學(xué)乙：而n個(gè)正數(shù)的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)為Hn=.