《復(fù)變函數(shù)》課程教學(xué)大綱

《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)大綱課程名稱(chēng)：復(fù)變函數(shù)英文名稱(chēng)：FunctionsofComplexVariables課程編號(hào)：F035091101學(xué)分：2.5總學(xué)時(shí)/課內(nèi)實(shí)踐學(xué)時(shí)：40/0課程性質(zhì)：必修課程開(kāi)課單位：數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院數(shù)學(xué)系基層教學(xué)組織適應(yīng)對(duì)象：信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)一、課程簡(jiǎn)介《復(fù)變函數(shù)》是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)一門(mén)主要的專(zhuān)業(yè)必修課。它的理論和方法，對(duì)于數(shù)學(xué)的其他學(xué)科以及物理，力學(xué)，工程技術(shù)中的一些問(wèn)題有許多重要的應(yīng)用。通過(guò)本課程的教學(xué)，應(yīng)使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論和方法，獲得獨(dú)立地分析和解決某些有關(guān)的理論和實(shí)際問(wèn)題的能力。本課程的內(nèi)容主要包括:復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)，復(fù)變函數(shù)的積分及其性質(zhì)，解析函數(shù)的性質(zhì)、冪級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)的展開(kāi)，孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)，留數(shù)及其應(yīng)用，共形映射的概念及性質(zhì)。本課程的教學(xué)以教師講授為主,輔以習(xí)題練習(xí)與學(xué)生自主自學(xué)?？己朔绞綖槠綍r(shí)作業(yè)（20%）期中考試（30%）和期末考試（50%）。本課程將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于專(zhuān)業(yè)學(xué)科，啟迪學(xué)生數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐相結(jié)合的思維慣性，灌輸科學(xué)技術(shù)能夠改造客觀世界科研情懷。Thiscourseisamajorrequiredcourseformathematicsmajors.Itstheoriesandmethodshavemanyimportantapplicationstootherdisciplinesofmathematicsandsomeproblemsinphysics,mechanicsandengineeringtechnology.Throughtheteachingofthiscourse,studentsshouldmasterthebasictheoriesandmethodsofcomplexvariablefunctions,andacquiretheabilitytoindependentlyanalyzeandsolvesomerelatedtheoreticalandpracticalproblems.Thecontentofthiscoursemainlyincludes:complexnumberandcomplexvariablefunction,derivativeofcomplexvariablefunctionanditsproperties,integralofcomplexvariablefunctionanditsproperties,propertiesofanalyticfunction,expansionofpowerseriesandLaurentseries,classificationofisolatedsingularpoint,residueanditsapplication,conceptandpropertiesofconformalmapping.Thiscourseismainlytaughtbyteachers,supplementedbyexercisesandstudents’self-study.Theassessmentwillincludethehomework,themid-termexaminationandthefinalexamination,whichwillcountfor20%,20%and60%each.Thiscourseappliesmathematicaltheoryknowledgetoprofessionaldisciplines,enlightensstudents’thinkinginertiaofcombiningmathematicaltheorywithpractice,andinstillsscientifictechnologytotransformthescientificresearchfeelingsoftheobjectiveworld.二、課程目標(biāo)1.注重學(xué)生科學(xué)思維方法訓(xùn)練和科學(xué)精神培養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生科技報(bào)國(guó)的家國(guó)情懷和使命擔(dān)當(dāng)。2.理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及復(fù)變函數(shù)解析的概念；熟悉復(fù)變函數(shù)解析的充要條件；了解指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的定義及它們的主要性質(zhì)；了解復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)，會(huì)求復(fù)變函數(shù)的積分；理解柯西-古薩定理，掌握牛頓－萊布尼茲公式、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式，能熟練計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分；掌握留數(shù)的計(jì)算和留數(shù)定理應(yīng)用。3.能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本理論，對(duì)數(shù)學(xué)中的有關(guān)重要事實(shí)、現(xiàn)象和公式給出理論上的解釋與處理，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。1.Payattentiontothetrainingofstudents’scientificthinkingmethodsandscientificspiritandstimulatestudents'feelingsandmissionofservingthecountrythroughscienceandtechnology.2.Understandthederivativesofcomplexfunctionsandtheconceptsofcomplexfunctionanalysis;Familiarwiththesufficientandnecessaryconditionsfortheanalysisofcomplexvariablefunctions;Understandthedefinitionsofexponential,trigonometric,logarithmicandpowerfunctionsandtheirmainproperties;Understandtheconceptandpropertiesoftheintegrationofcomplexvariablefunctions,andbeabletofindtheintegrationofcomplexvariablefunctions;UnderstandtheCauchy-Goursattheorem,mastertheNewton-Leibnizformula,Cauchyintegralformulaanhigherderivativeformula,andbeproficienttocalculatetheintegrationofcomplexvariablefunctions;Masterthecalculationofresidueandapplicationoftheresiduetheorem.3.Beabletoapplythebasictheoriesofmathematics,givetheoreticalexplanationsanddealwithimportantfacts,phenomenaandformulasinmathematics,andimprovetheabilitytoanalyzeandsolveproblems.三、課程目標(biāo)與畢業(yè)要求對(duì)應(yīng)關(guān)系本課程的課程目標(biāo)對(duì)信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)的支撐情況如表1所示：表1：課程目標(biāo)與畢業(yè)要求對(duì)應(yīng)關(guān)系畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)課程目標(biāo)畢業(yè)要求1：知識(shí)要求具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，掌握信息科學(xué)、計(jì)算科學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的基本理論和基本知識(shí)。課程目標(biāo)2畢業(yè)要求2：能力要求通過(guò)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，掌握數(shù)學(xué)科學(xué)的思想方法，具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力。課程目標(biāo)2課程目標(biāo)3能運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)知識(shí)解決某些科研或生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題。畢業(yè)要求3：素質(zhì)要求具有正確的人生觀、價(jià)值觀和道德觀，愛(ài)國(guó)、誠(chéng)信、友善、守法，具有高度的社會(huì)責(zé)任感；具有良好的心理素質(zhì)和積極的人生態(tài)度。課程目標(biāo)1四、課程教學(xué)安排課程共有6項(xiàng)教學(xué)內(nèi)容，具體安排如下。表2：課程教學(xué)安排表序號(hào)教學(xué)內(nèi)容思政元素課堂教學(xué)學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)/實(shí)踐教學(xué)學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)小計(jì)1復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)函數(shù)職業(yè)教育和愛(ài)國(guó)教育662解析函數(shù)——663柯西定理與柯西公式科學(xué)精神培養(yǎng)884解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)——885留數(shù)定理與輻角原理家國(guó)情懷和使命擔(dān)當(dāng)886分式線性變換——44合計(jì)4040教學(xué)安排1.復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)函數(shù)教學(xué)要求：掌握復(fù)數(shù)的各種表示方法及其運(yùn)算，了解區(qū)域的概念。了解復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的概念。理解復(fù)函數(shù)的基本概念,掌握復(fù)函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念，掌握幾個(gè)基本的初等復(fù)函數(shù)。重點(diǎn)難點(diǎn)：函數(shù)的基本概念，幾個(gè)基本的初等復(fù)函數(shù)。教學(xué)內(nèi)容：復(fù)數(shù)的各種表示方法及其運(yùn)算，復(fù)平面上的拓?fù)渑c復(fù)數(shù)域的完備性，區(qū)域的概念，復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的概念。復(fù)函數(shù)的基本概念，復(fù)函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念，復(fù)變量函數(shù)的形式偏導(dǎo)數(shù)掌握幾個(gè)基本的初等復(fù)函數(shù)。思政元素：引入當(dāng)代科學(xué)家事跡，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情懷。2.解析函數(shù)教學(xué)要求：理解復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及復(fù)函數(shù)解析的概念，掌握復(fù)變函數(shù)解析的充要條件。重點(diǎn)難點(diǎn)：解析函數(shù)的概念，可導(dǎo)的充要條件。教學(xué)內(nèi)容：解析函數(shù)的定義，可導(dǎo)的充要條件，解析映射的幾何意義。3.柯西定理與柯西公式教學(xué)要求：了解復(fù)變函數(shù)積分的定義及性質(zhì)，會(huì)求復(fù)變函數(shù)的積分。理解柯西積分定理，掌握柯西積分公式和解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式。了解解析函數(shù)無(wú)限次可導(dǎo)的性質(zhì)，理解解析函數(shù)的最大模定理。重點(diǎn)難點(diǎn)：柯西積分定理，最大模定理。教學(xué)內(nèi)容：復(fù)變量函數(shù)的曲線積分，柯西定理，柯西積分公式及其應(yīng)用，解析函數(shù)的最大模定理。思政元素：引入當(dāng)代數(shù)學(xué)家事跡，弘揚(yáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，以及數(shù)學(xué)家治之以恒的科研情懷。4.解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)教學(xué)要求：理解復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散及絕對(duì)收斂等概念。了解冪級(jí)數(shù)收斂的概念，會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。理解冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的一些基本性質(zhì)，理解泰勒定理，會(huì)利用它們將一些簡(jiǎn)單的解析函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。理解洛朗展開(kāi)及孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)(包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)),會(huì)用間接方法將簡(jiǎn)單的函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)附近展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。重點(diǎn)難點(diǎn)：解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，解析函數(shù)的洛朗展開(kāi)。教學(xué)內(nèi)容：解析函數(shù)的序列與冪級(jí)數(shù)，解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，洛朗展開(kāi)，解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，整函數(shù)與亞純函數(shù)。5.留數(shù)定理與輻角原理教學(xué)要求：留數(shù)概念，掌握極點(diǎn)處留數(shù)的求法，掌握留數(shù)定理。掌握用留數(shù)求圍道積分的方法。會(huì)用留數(shù)求一些實(shí)函數(shù)的積分。理解輻角原理。重點(diǎn)難點(diǎn)：輻角原理，利用留數(shù)定理計(jì)算一些定積分。教學(xué)內(nèi)容：留數(shù)定理，亞純函數(shù)的輻角原理，留數(shù)定理在定積分計(jì)算中的應(yīng)用。思政元素：講授留數(shù)定理應(yīng)用時(shí)，在用Fourier變換描述和證明海森堡量子不確定性原理時(shí)，介紹我國(guó)科學(xué)家潘建偉團(tuán)隊(duì)在量子通訊和量子計(jì)算機(jī)上的成就。6.分式線性變換教學(xué)要求：理解解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及共形映射的概念，掌握線性映射的性質(zhì)和分式性映射的保圓性及保對(duì)稱(chēng)性，了解函數(shù)w=zα(α為正有理數(shù))重點(diǎn)難點(diǎn)：共形映射，分式線性變換。教學(xué)內(nèi)容：解析映射的幾何特征，分式線性變換。五、課內(nèi)實(shí)踐教學(xué)內(nèi)容及要求無(wú)六、課程考核與評(píng)價(jià)表3：成績(jī)?cè)u(píng)定方式表考核環(huán)節(jié)分值考核/評(píng)價(jià)細(xì)則平時(shí)作業(yè)和考勤10根據(jù)平時(shí)作業(yè)