第7章-極小值原理

第七章極小值原理§7－1極小值原理用經(jīng)典變分法求泛函極值時(shí)，假定控制量不受約束，即為任意,為使性能指標(biāo)泛函,可得獲得最優(yōu)控制所需滿足的控制方程。而當(dāng)控制量存在約束時(shí)，不能任意取值，控制方程不成立。

極小值原理：設(shè)受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為始端條件為控制約束為,終端約束為,自由§7－1極小值原理2）在最優(yōu)軌線上有：與最優(yōu)控制相應(yīng)的H函數(shù)取絕對最小值性能指標(biāo)為：則實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制的必要條件為：最優(yōu)控制、最優(yōu)軌線和最優(yōu)協(xié)狀態(tài)變量，滿足如下關(guān)系：1)沿最優(yōu)軌線滿足正則方程：§7－1極小值原理3)H函數(shù)在最優(yōu)軌線終點(diǎn)處的值決定于4)協(xié)狀態(tài)終值滿足橫截條件5)滿足邊界條件§7－1極小值原理例.給定受控系統(tǒng)：控制變量滿足如下不等式求最優(yōu)控制和最優(yōu)軌跡，使如下性能指標(biāo)取得極小值。解：哈密爾頓函數(shù)為協(xié)狀態(tài)方程：§7－1極小值原理由協(xié)狀態(tài)方程得：運(yùn)用極小值原理：得到：橫截條件為：§7－1極小值原理由此得出：于是有最優(yōu)控制為：代入狀態(tài)方程最優(yōu)軌跡為：§7－2時(shí)間最優(yōu)控制問題問題：已知受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：式中：求滿足如下不等式約束條件的控制，使系統(tǒng)自某一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)的時(shí)間最短。即使如下性能指標(biāo)取極小值：§7－2時(shí)間最優(yōu)控制問題可得最優(yōu)控制為：哈密爾頓函數(shù)為：協(xié)狀態(tài)方程為：運(yùn)用最小值原理可得：§7－2時(shí)間最優(yōu)控制問題由協(xié)狀態(tài)方程可得：

當(dāng)：有：

狀態(tài)方程為：

解得：消去t可得：§7－2時(shí)間最優(yōu)控制問題當(dāng)：有：

狀態(tài)方程為：

解得：消去t可得：§7－2時(shí)間最優(yōu)控制問題通過原點(diǎn)的曲線為：當(dāng)：當(dāng)：合并為一個(gè)方程為稱為開關(guān)曲線：故最優(yōu)控制規(guī)律與初始狀態(tài)的位置有關(guān)，當(dāng)初始狀態(tài)在的上半支上：在的下半支上：在的上方：在的下方：§7－2時(shí)間最優(yōu)控制問題最優(yōu)時(shí)間的計(jì)算步驟：

1)根據(jù)初始狀態(tài)的位置確定的取值。

2)將代入狀態(tài)方程求出狀態(tài)軌線。

3)計(jì)算狀態(tài)軌線與開關(guān)曲線的交點(diǎn)，并計(jì)算從初始狀態(tài)到交點(diǎn)處的時(shí)間。4)計(jì)算從狀態(tài)軌線與開關(guān)曲線的交點(diǎn)，到座標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)間。

5)將兩段時(shí)間加起來就是總的最優(yōu)控制時(shí)間。第八章

線性二次型最優(yōu)控制問題

一.線性二次型最優(yōu)控制問題的數(shù)學(xué)描述問題LQ：給定線性定常系統(tǒng)：尋找最優(yōu)控制，使得系統(tǒng)由指定初始狀態(tài)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致如下二次型性能指標(biāo)取得極小值。其中，為終端時(shí)間，S、Q為n×n階半正定對稱權(quán)矩陣；R為r×r階對稱權(quán)矩陣。●目標(biāo)函數(shù)的物理意義：應(yīng)用最小的控制能量使得系統(tǒng)在指定時(shí)間區(qū)間內(nèi)的狀態(tài)與平衡狀態(tài)的偏差最小。第一項(xiàng)，強(qiáng)調(diào)了終端時(shí)刻與平衡狀態(tài)的偏差最??；第八章

線性二次型最優(yōu)控制問題

第二項(xiàng)希望系統(tǒng)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡與平衡狀態(tài)的偏差最??；第三項(xiàng)表明希望控制能量最?。弧窬€性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)的分類：1.當(dāng)終端時(shí)刻是固定的且為有限值時(shí)，稱為有限時(shí)間線性二次型最優(yōu)控制問題；2.當(dāng)終端時(shí)刻，稱為無限時(shí)間線性二次型最優(yōu)控制問題；此時(shí)3.當(dāng)尋找最優(yōu)控制的目的是將系統(tǒng)由初始狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到平衡狀態(tài)，同時(shí)使二次型性能指標(biāo)最小，稱為線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)問題；第八章

線性二次型最優(yōu)控制問題

4.當(dāng)尋找最優(yōu)控制的目的是使系統(tǒng)的輸出跟蹤已知或未知的參考信號(hào)，同時(shí)使二次型性能指標(biāo)最小，稱為線性二次型最優(yōu)跟蹤問題；有限時(shí)間問題與無限時(shí)間問題，對控制及控制系統(tǒng)的要求有著顯著的不同；而跟蹤問題則可以看作是調(diào)節(jié)問題的一種推廣。二.有限時(shí)間LQ調(diào)節(jié)問題

1．結(jié)論：對于有限時(shí)間LQ調(diào)節(jié)問題，為具有最優(yōu)控制的充要條件是其具有如下形式：

最優(yōu)軌跡為下述狀態(tài)方程的解：

而最優(yōu)性能值為：

第八章

線性二次型最優(yōu)控制問題

其中，為下述黎卡提微分方程的半正定對稱解陣：第八章

線性二次型最優(yōu)控制問題

2.有時(shí)限線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)步驟(1).根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)和性能分析，確定權(quán)矩陣S，Q，R；步驟(2).求解黎卡提方程(3).計(jì)算反饋增益陣及最優(yōu)控制(4).計(jì)算最優(yōu)狀態(tài)軌跡(5).計(jì)算最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值第八章

線性二次型最優(yōu)控制問題

三.無限時(shí)間LQ調(diào)節(jié)問題

1．結(jié)論：對于無限時(shí)間LQ調(diào)節(jié)問題，為具有最優(yōu)控制的充要條件是其具有如下形式：

最優(yōu)軌跡為下述狀態(tài)方程的解：

而最優(yōu)性能值為：

其中，為下述黎卡提代數(shù)方程的正定對稱解陣：第八章

線性二次型最優(yōu)控制問題