專題01相交線與平行線教材講練-2021-2022學年七年級數(shù)學下冊高頻考點專題突破（北師大版）（原卷版）

專題01相交線與平行線教材同步講練知識點11余角、補角、對頂角的概念和性質1）余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；2）補角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補角．3）性質：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等．4）鄰補角的概念：兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線的兩個角互為鄰補角。（兩條相交線可組成4對鄰補角）5）對頂角的概念：兩個角只有一個公共頂點，一個角的兩條邊是另一個角兩條邊的反向延長線。（兩條相交線組成2對對頂角）6）對頂角的性質：對頂角相等（利用鄰補角的性質可證明）例1．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學七年級階段練習）如圖中，∠1和∠2是對頂角的是（）A．B．C．D．變式1．（2021·廣東揭陽市·七年級期中）下面各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（）A．B．C．D．變式2．（2021·成都·七年級課時練習）如圖所示，有一個破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個扇形零件的圓心角的度數(shù)，你能說出所量的角是____度，你的根據(jù)是____________．例2．（2021·山東臨沂市·七年級期末）已知，，則與的關系為（）A．相等 B．互余 C．互補 D．以上都不對5．（2021·浙江寧波市·七年級期末）如圖，點在直線上，，那么下列說法錯誤的是（）A．與相等B．與互余C．與互補D．與互余例2．（2021·吉林·長春外國語學校七年級階段練習）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOC，若∠BOD：∠BOE=1：2，則∠AOE的大小為（）A．72°B．98°C．100°D．108°變式3．（2021·安徽合肥市·七年級期末）如果和互余，則下列式子中表示補角是（）①180°－；②＋2；③2＋；④＋90°A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④例3．（2021·北京海淀區(qū)·北大附中七年級期末）將一副三角板按如圖所示位置擺放，其中與一定互補的是（）A．B．C． D．變式4．（2021·湖北隨州市·七年級期末）如圖，直線，交于點，射線平分，如果，那么等于（）A．38° B．37° C．36° D．52°變式5.（2021·浙江嘉興市·七年級期末）將一把直尺和一塊三角板如圖疊放，直尺的一邊剛好經(jīng)過直角三角板的直角頂點且與斜邊相交，則與一定滿足的數(shù)量關系是（）A． B． C． D．例4．（2021·江蘇揚州·七年級期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足為O，若∠BOF=38°．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）過點O作射線OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度數(shù)．變式6．（2021·浙江溫州市·七年級期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點O，射線OE在內部，OA平分．（1）當時，寫出圖中所有與互補的角．（2）當時，求的度數(shù)．知識點12垂線的概念和性質1）垂線的概念：當兩條直線相交所形成的四個角中，有一個角為直角時，就稱這兩條直線相互垂直。（實際上，四個角都為直角）2）如下圖，兩條垂線的交點M叫作“垂足”，兩條直線用“⊥”符號表示，讀作“垂直”，表示為：AB⊥CD，讀作：AB垂直于CD3）垂線的性質：在同一平面內，過一點（直線內或直線外）有且只有一條直線與已知直線垂直注：（1）垂線的性質中，有2點需要格外：=1\*GB3①必須強調在同一平面內；=2\*GB3②點可在直線外，也可在直線上。（2）同一平面內，兩條直線只有相交和平行兩種關系，其中垂直是特殊的相交。4）垂線段的性質：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短（簡稱為：垂線段最短）5）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度例1．（2021·河南鄭州·七年級期末）小紅在學習垂線時遇到了這樣一個問題，請你幫她解決：如圖，線段AB和CD相交于點O，則下列條件中能說明AB⊥CD的是（）A．AO＝OB B．CO＝OD C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＝∠BOC變式1．（2021·全國·七年級課時練習）下面四種判斷兩條直線垂直的方法正確的有（）個．（1）兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直．（2）兩條直線相交，有一組鄰補角相等，則這兩條直線互相垂直．（3）兩條直線相交，所成的四個角相等，這兩條直線互相垂直．（4）兩條直線相交，有一組對頂角互補，則這兩條直線互相垂直．A．4 B．3 C．2 D．1變式2．（2021·全國·七年級課時練習）兩條直線相交所成的四個角中，下列條件中能判定兩條直線垂直的是（）．A．有兩個角相等 B．有兩對角相等 C．有三個角相等 D．有四對鄰補角例2．（2021·黑龍江·哈爾濱德強學校七年級期中）已知直線AB、CD相交于點O，且A、B和C、D分別位于點O兩側，OE⊥AB，，則____________．變式3．（2021·安徽·銅陵市第十五中學七年級期中）如果兩個角的兩邊分別垂直，其中一個角比另一個角的2倍少，那么這兩個角的和是__________．例3．（2021·遼寧·營口市老邊區(qū)教師進修學校七年級期中）平面內兩條直線、相交于點，，恰好平分．（1）如圖1，若，求數(shù)；（2）在圖1中，若，請求出的度數(shù)（用含有的式子表示），并寫出和的數(shù)量關系；（3）如圖2，當，在直線的同側時，和的數(shù)量關系是否會發(fā)生改變？若不變，請直接寫出它們之間的數(shù)量關系；若發(fā)生變化，請說明理由．變式4．（2021·江蘇盱眙·七年級期末）如圖，點O在直線AB上，OC．OD是兩條射線，OC⊥OD，射線OE平分∠BOC．（1）若∠DOE＝140°，求∠AOC的度數(shù)．（2）若∠DOE＝α，則∠AOC＝.（請用含α的代數(shù)式表示）；變式5．（2021·浙江湖州市·七年級期末）如圖，已知直線與相交于點為的角平分線．（1）求的度數(shù)；（2）求的度數(shù)．例4．（2021·全國·七年級單元測試）幾何知識可以解決生活中許多距離最短的問題.讓我們從書本一道習題入手進行探索（回顧）（1）如圖①，、是公路兩側的兩個村莊.現(xiàn)要在公路上修建一個垃圾站，使它到、兩村莊的路程之和最小，請在圖中畫出點的位置，并說明理由（探索）（2）如圖②，在村莊附件有一個生態(tài)保護區(qū)，現(xiàn)要在公路上修建一個垃圾站，使它到、兩村莊的路程之和最小，從村莊到公路不能穿過生態(tài)保護區(qū)，請在圖中畫出點的位置（3）如圖③，、是河兩側的兩個村莊，現(xiàn)要在河上修建一座橋，使得橋與河岸垂直，且村到村的總路程最短，請在圖中畫出橋的位置（保留畫圖痕跡）變式6．（2021·浙江湖州市·七年級期末）如圖，汽車站、碼頭分別位于兩點，直線b和波浪線分別表示公路與河流．（1）從汽車站A到碼頭B怎樣走最近？畫出最近路線，并說明理由；（2）從碼頭B到公路b怎樣走最近？畫出最近路線，并說明理由．（請畫在答題卷相對應的圖上）變式7．（2021·浙江寧波市·七年級期末）（1）如圖，過點A畫直線BC的垂線，并注明垂足為G；過點A畫直線AB的垂線，交BC于點H．（2）線段的長度是點A到直線BC的距離．（3）線段AG、AH的大小關系為AGAH．（用符號>，<，=，表示）．理由是．知識點13同位角、內錯角、同旁內角的概念1）同位角概念：兩條直線被第三條直線所截，位置相同的一對角。注：如下圖，位置相同指：=1\*GB3①兩個角都在第三條直線c的同一側；=2\*GB3②且兩個角都在兩條直線a、b的上方（或下方）。例：∠1與∠5都在c的右側，且都在a、b的上方，則∠1與∠5為同位角2）內錯角的概念：兩直線被第三條直線所截，在兩條直線之內，并且分別在第三條直線兩側的一對角（位置完全錯開的角）注：如下圖，位置完全錯開指：=1\*GB3①兩個角在第三條直線c的不同側；=2\*GB3②且兩個角在兩條直線a、b的上下不同位置（即都在兩條直線的內側）。例：∠2與∠8分別在c的左右兩側，且∠2在a的下方，∠8在b的上方（即∠2、∠8在a、b內側），則∠2與∠8為內錯角3）同旁內角：兩直線被第三條直線所截，在第三條直線同側，并且在兩條直線之內的一對角。注：如下圖，同旁內角指：=1\*GB3①兩個角在第三條直線c的同一側；=2\*GB3②且兩個角在a、b兩條直線的內側例：∠2與∠5，兩個角都在直線c的右側，且都在a、b兩條直線的內側，則∠2與∠5為同旁內角。注：同位角、內錯角和同旁內角是3條直線直角的位置關系，且無角度間大小關系。例1．（2021·廣西欽州·七年級期末）如圖，下列各組角中是同位角的是（）A．∠1和∠2 B．∠3和∠4 C．∠2和∠4 D．∠1和∠4變式1．（2021·廣東·深圳市高級中學八年級開學考試）下列四幅圖中，∠1和∠2是同位角的是（）A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4）例2．（2021·黑龍江·哈爾濱德強學校八年級期中）如圖，直線AB與CD被直線AC所截得的內錯角是___．變式2．（2021·遼寧沈河·七年級期末）下列四個圖形中，和是內錯角的是（）A． B．C．D．例3．（2021·浙江嘉興·七年級期末）如圖，直線a，b被直線c所截，∠1的同旁內角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5變式3．（2021·江蘇·七年級期中）如圖所示，直線a,b被直線c所截，則與是（）A．同位角 B．內錯角 C．同旁內角 D．對頂角例4.（2021·鹽城市·七年級月考）如圖，下列說法正確的是（）A．∠2和∠4是同位角B．∠2和∠4是內錯角C．∠1和∠A是內錯角D．∠3和∠4是同旁內角變式4．（2021·四川渠縣·七年級期末）如圖，下列結論：①∠2與∠3是內錯角；②∠1與∠A是同位角；③∠A與∠B是同旁內角；④∠B與∠ACB不是同旁內角，其中正確的是______．（只填序號）例5.（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學七年級期中）如圖所示，用數(shù)字表示的8個角中，若同位角有a對，內錯角有b對，同旁內角有c對，則ab﹣c＝___．變式5．（2020·南通市啟秀中學七年級期末）復雜的數(shù)學問題我們常會把它分解為基本問題來研究，化繁為簡，化整為零這是一種常見的數(shù)學解題思想．（1）如圖1，直線，被直線所截，在這個基本圖形中，形成了______對同旁內角．（2）如圖2，平面內三條直線，，兩兩相交，交點分別為、、，圖中一共有______對同旁內角．（3）平面內四條直線兩兩相交，最多可以形成______對同旁內角．（4）平面內條直線兩兩相交，最多可以形成______對同旁內角．知識點14平行線的概念1）同一平面兩條直線間的關系：=1\*GB3①平行；=2\*GB3②相交2）平行線概念：在同一平面內，不相交的兩條直線注：=1\*GB3①平行的概念，必須加前提條件“在同一平面內”；=2\*GB3②必須是兩條直線間的關系（非“射線”、“線段”）3）平行公理：經(jīng)過線外一點，有且僅有一條直線與這條直線平行注：與垂線性質比較相似，但也存在不同的地方。相同點：過一點都有且僅能作一條線與已知直線平行（垂直）；不同點：垂直性質中，這個點可以在直線外，也可以在直線上，但在平行公理中，這個點必須在直線外。例1．（2021·河北滄縣·七年級期中）在同一平面內，兩條直線的位置關系可能是（）A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．相交或垂直或平行變式1．（2021·陜西寶雞期末）下列說法中正確的個數(shù)為（）①不相交的兩條直線叫做平行線；②平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③平行于同一條直線的兩條直線互相平行；④在同一平面內，兩條直線不是平行就是相交．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例2．（2021·河北平泉·一模）如圖，在平面內作已知直線的平行線，可作平行線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條變式2．（2021·河北興隆·九年級期中）已知直線，在同一平面內，給定一點，過點作直線的平行線，可作平行線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．0條或1條 D．無數(shù)條例3．（2021·牡丹江市田家炳實驗中學初一期中）給出下列說法：（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（2）平面內的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；（3）相等的兩個角是對頂角；（4）三條直線兩兩相交，有三個交點；（5）若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．其中正確的有________個變式3．（2021·遼寧·初一期中）若直線，，則直線與的位置關系是__________．變式4．（2021·云南鎮(zhèn)康·初一期中）已知：如圖，梯形ABCD．（1）過點A畫直線AE∥CD交BC于E；（2）過點A畫線段AF⊥BC于F；比較線段AE與AF的大?。篈EAF（直接用“＞”“＝”或“＜”填空）．知識點15平行線的判定1）判定方法一：同位角相等，兩直線平行2）判定方法二：內錯角相等，兩直線平行3）判定方法三：同旁內角互補，兩直線平行4）在同一平面內，若兩條直線都垂直于同一條直線，則這兩條直線平行。即：若a⊥c，且b⊥c，則a∥b5）平行線的傳遞性：若l1∥l3，l2∥l3，則l1∥l2（用共面知識可證明，此處不證）。例1．（2021·漢中市南鄭區(qū)初一期中）已知平面上五條直線，，，和相交的情形如圖所示，根據(jù)圖中標出的角度，下列敘述正確的是()A．和不平行，和平行，和平行B．和不平行，和不平行，和不平行C．和平行，和平行，和平行D．和平行，和不平行，和不平行變式1．（2021·山西期末）如圖，點，，分別在的邊，，上，連接，，在下列給出的條件中，不能判定的是（）A．°B．C．D．例2．（2021·上海市市西初級中學初一期中）如圖，是我們學過的用直尺和三角板畫平行線的方法示意圖，畫圖的原理是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．同位角相等，兩直線平行C．內錯角相等，兩直線平行 D．同旁內角互補，兩直線平行變式2．（2021·山西初一月考）工人師傅在工程施工時，在圖紙上畫了一條管道的示意圖（如圖所示），經(jīng)測量得到，，那么（）A． B． C． D．與相交例3．（2021·山西模擬）下列圖形中，根據(jù)，能得到的是（）A．B．C．D．變式3．（2021·洛陽市第四職業(yè)高中期中）如圖，下列條件中，不能判斷直線a∥b的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°變式4．（2021·沈陽市第一二七中學初一期中）如圖，下列條件：①；②；③；;⑤；其中能判斷直線的有（）A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④變式5．（2020·江蘇徐州市·七年級期末）如圖，給出下列條件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠B；④AD∥BE，且∠D=∠B．其中能說明AB∥DC的條件有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個知識點16平行線的性質1）兩直線平行，同位角相等;2）兩直線平行，內錯角相等;3）兩直線平行，同旁內角互補注：=1\*GB3①僅當兩直線平行式，3類角才有數(shù)量關系；當兩直線不平行是，3類角只有位置關系，沒有大小關系。=2\*GB3②3類角若有大小關系，也可用于證明兩條直線平行。4）同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段長度，叫作這兩條平行線間的距離。注：a.只有平行線間才存在距離這一說法。（重疊，距離為0）；b.平行線間的距離，處處相等；c.垂直于一條直線，一定垂直于另一條平行線（易證）例1．（2021·山東濟南市·八年級期末）如圖，如果∠1=∠3，∠2=60°，那么∠4的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．140° D．150°變式1．（2021·山東濰坊市·八年級期末）一把直尺與30°的直角三角板如圖所示，，則（）A．50° B．60° C．70° D．80°例2．（2021·河北張家口·初三二模）如圖，直線，以直線上的點A為圓心、適當長為半徑畫弧，分別交直線、于點B、C，連接AC、若，則A． B． C． D．變式2．（2021·陜西初三其他）如圖，直尺一邊AB與量角器的零刻度線CD平行，若量角器的一條刻度線OF的讀數(shù)為70°，OF與AB交于點E，那么∠AEF＝（）A．70° B．110° C．20° D．120°例3．（2021·河北初三其他）光線在不同介質中的傳播速度不同，因此當光線從空氣射向水中時，會發(fā)生折射．如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，則∠2＝（）A．61° B．58° C．48° D．41°變式3．（2021·山西初一月考）小林乘車進入車庫時仔細觀察了車庫門口的“曲臂直桿道閘”，并抽象出如圖所示的模型，已知垂直于水平地面．當車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的段繞點緩慢向上旋轉，段則一直保持水平狀態(tài)上升（即與始終平行），在該過程中始終等于（）A． B． C． D．例4．（2021·深圳市高級中學初二月考）已知：如圖，，則，，之間的關系是A．B．C．D．變式4．（2021·海安市白甸鎮(zhèn)初級中學七年級月考）如圖，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝()A．∠1＋∠2B．∠2－∠1C．180°－∠1＋∠2D．180°－∠2＋∠1例5．（2020·四川郫都·期末）如圖，五邊形ABCDE中，AE∥BC，則∠C+∠D+∠E的度數(shù)為（）A．180° B．270° C．360° D．450°變式5．（2021·河南沁陽·初一期末）已知，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，若∠E=66°，則∠F為（）A．23° B．33° C．44° D．46°例6．（2021·山東新泰·七年級期末）（1）已知：如圖1，．求證：（2）如圖2，已知，在的平分線上取兩個點M、N，使得，求證：．變式6．（2021·湖北十堰·七年級期末）已知ABCD，點E、F分別在AB、CD上，點G為平面內一點，連接EG、FG．（1）如圖1，當點G在AB、CD之間時，請直接寫出∠AEG、∠CFG與∠G之間的數(shù)量關系；（2）如圖2，當點G在AB上方時，且∠EGF＝90°，求證：