17定積分的簡單應(yīng)用-高二數(shù)學(xué)理科選修教學(xué)課件(人教A版)

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用本章內(nèi)容1.1

變化率與導(dǎo)數(shù)1.2

導(dǎo)數(shù)的計算1.3

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.4

生活中的優(yōu)化問題舉例1.5

定積分的概念1.6

微積分基本定理1.7

定積分的簡單應(yīng)用第一章小結(jié)1.7定積分的簡單應(yīng)用

定積分在幾何中的應(yīng)用

定積分在物理中的應(yīng)用復(fù)習(xí)與提高第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.7.1&1.7.2定積分在幾何與物理中的應(yīng)用（兩課時）怎樣用定積分求曲邊圖形的面積?學(xué)習(xí)要點

問題1.

定積分幾何背景是什么?根據(jù)這一背景定積分在幾何中能解決什么樣的問題?定積分的幾何背景是曲邊梯形的面積.

將曲邊梯形的面積細(xì)分,用小矩形面積近似代替后求和取極限.Oxyaby=f(x)f(a)f(b)

由此,我們可以用定積分求一些曲邊圖形的面積.例1.

計算由曲線y2=x,y=x2

所圍圖形的面積S.解:畫出圖形,CABDy=x2xyOy2=x所求面積應(yīng)為OCBA與ODBA的面積之差.曲邊梯形解交點B

得區(qū)間[0,A]=[0,1],∴面積S=

例2.

計算直線y=x-4,曲線y=

以及x

軸所圍圖形的面積S.解:畫出圖形,Cy=x-4ABxyO所求面積應(yīng)為OBC與三解形ABC的面積之差.曲邊梯形解交點得B(8,4),∴面積S=又因為點A

的坐標(biāo)為A(4,0).

例2.

計算直線y=x-4,曲線y=

以及x

軸所圍圖形的面積S.解:畫出圖形,Cy=x-4ABxyO所求面積應(yīng)為ODA的面積S1與圖形ADB的面曲邊梯形解交點得A(4,0),B(8,4).∴面積S=而S2又等于曲邊梯形DACB與△BAC的面積之差.解法二(課本),D積S2之和.S1S2

例(補(bǔ)充).

求曲線y=x2-2x

與曲線y=-x2+2x

所圍成的圖形的面積.解:解兩曲線的交點得(0,0),(2,0).(如圖)AxyO2y=x2-2xy=-x2+2x

這是兩曲線與x

軸圍成的兩曲邊梯形面積的和.=0.圖中面積為0嗎

例(補(bǔ)充).

求曲線y=x2-2x

與曲線y=-x2+2x

所圍成的圖形的面積.AxyO2y=x2-2xy=-x2+2x由定積分定義:用表示小多邊形的面積.當(dāng)圖象在x

軸下邊時,f(xi)<0.所以曲線在x

軸下邊時,定積分是個負(fù)數(shù).則面積要取其相反數(shù).∴此題的面積應(yīng)為練習(xí):(課本58頁)只一題.練習(xí):(課本58頁)求下列曲線所圍成的圖形的面積:(1)

y=x2,y=2x+3;(2)

y=ex,y=e,x=0.解:(1)畫出圖形,CCABy=x2xyOy=2x+3解出交點A(3,9),=9.練習(xí):(課本58頁)求下列曲線所圍成的圖形的面積:(1)

y=x2,y=2x+3;(2)

y=ex,y=e,x=0.解:(2)畫出圖形,解出交點A(1,e),=1.BCA1y=exxyOy=e【小結(jié)】求曲邊圖形的面積(1)將函數(shù)曲線所圍成的曲邊圖形分成幾個曲邊梯形的和或差.(2)每個曲邊梯形的面積等于函數(shù)在給定區(qū)間上的定積分.(3)當(dāng)給定區(qū)間的函數(shù)在x

軸下方時,函數(shù)在此區(qū)間上的定積分為負(fù),曲邊梯形的面積等于定積分的相反數(shù).習(xí)題1.7A組第1題.B組第1、2、3題.習(xí)題1.7A組1.

求下列曲線所圍成圖形的面積:

(1)

曲線y=cosx,y=0;

(2)

曲線y=9-x2,y=x+7.解:(1)畫出圖形,1xyOy=cosx=2.∵圖形在x

軸下邊,習(xí)題1.7A組1.

求下列曲線所圍成圖形的面積:

(1)

曲線y=cosx,y=0;

(2)

曲線y=9-x2,y=x+7.解:(2)畫出圖形,解交點得A(-2,5),B(1,8).ABy=9-x2xyOy=x+7B組1.

由定積分的性質(zhì)和幾何意義,說明下列各式的值:

(1)(2)解:(1)所以定積分的幾何意義是圖中半圓的面積.axyO-a而半圓面積是被積函數(shù)是這時圓x2+y2=a2

的上半個圓(如圖).B組1.

由定積分的性質(zhì)和幾何意義,說明下列各式的值:

(1)(2)解:(2)是圓(x-1)2+y2=1的上半圓.被積函數(shù)y=x

是直線.1xyOy=xAB被積函數(shù)兩函數(shù)在區(qū)間[0,1]內(nèi)的積分之差為如圖陰影部分面積.

2.

如圖,一橋拱的形狀為拋物線,已知該拋物線拱的高為常數(shù)h,寬為常數(shù)b,求證:拋物線拱的面積hbABOxy證明:以跨度AB為x軸,AB的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系.則拋物線方程設(shè)為y=h-kx2,當(dāng)x=

時y=0代入后求得即拋物線為拋物線拱的面積為

3.

求由曲線y=x2+2與直線y=3x,x=0,x=2所圍成平面圖形的面積.解:畫出圖形,ABy=x2+2xyOy=3x12所圍圖形由兩部分構(gòu)成,一部分在區(qū)間[0,1],另一部分在區(qū)間[1,2],則解交點得A(1,3),B(2,6).=1.定積分在物理中的應(yīng)用

怎樣用定積分求變速運動的路程和變力所做的功?學(xué)習(xí)要點1.

變速直線運動的路程

例3.

一輛汽車的速度-時間曲線如圖所示,求汽車在這1min行駛的路程.t/sv/(m/s)O10203040506010203040ABC解:由曲線得分段函數(shù)為所以這1min行駛的路程由三段構(gòu)成:=1350(m).(答略)2.

變力作功

問題1.

一物體在恒力F(單位:N)的作用下做直線運動,沿F相同的方向移動了s(單位:m),其所做的功是多少?如果F(單位:N)是變力呢?同樣沿著與F

相同的方向從a移動到b

所做的功是多少?變力做的功:

所以變力F(x)從a移動到b

所做的功等于F(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分:恒力做的功W=Fs.變力F(x)是位移x

的函數(shù).Oxyaby=F(x)F(a)F(b)功等于力與距離的乘積,即如圖的曲邊梯形的面積.

例4.

如圖,在彈性限度內(nèi),將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置lm處,求克服彈力所作的功.解:在彈性限度內(nèi),彈簧拉伸(或壓縮)的長度x

與所用的力F(x)成正比,即F(x)=kx(k為比例系數(shù)).則彈簧從平衡位置被拉長lm時,所作的功為lFO答:克服彈力所作的功為練習(xí):(課本59頁)第1、2題.練習(xí):(課本59頁)

1.

一物體沿直線以v=2t+3(t

的單位:s,v

的單位:m/s)的速度運動,求該物體在3~5s間行進(jìn)的路程.解:路程是速度的定積分,即=(52+35)-(32+33)=22(m).答:該物體在3~5s間行進(jìn)的路程是22m.

2.

一物體在力F(x)=3x+4(x

的單位:m,F

的單位:N)的作用下,沿著與力F

相同的方向,從x=0處運動到x=4處,求力F(x)所作的功.解:力F(x)在移動距離0~4之間所作的功是F(x)在區(qū)間[0,4]上的定積分.即=40(J).答:力F(x)所作的功為40J.【小結(jié)】1.

變速運動的路程路程是速度函數(shù)的定積分.例3中的速度函數(shù)是一個分段函數(shù),分區(qū)間對不同函數(shù)作定積分.2.

變力所做的功功是變力函數(shù)的定積分.習(xí)題1.7A組第2、3、4、5、6題.B組第4題.習(xí)題1.7A組

2.

把一個帶+q電量的點電荷放在r

軸上原點處,形成一個電場,已知在該電場中,距離原點為r

處的單位電荷受到的電場力由公式(其中k為常數(shù))確定.在該電場中,一個單位正電荷在電場力的作用下,沿著r

軸的方向從r=a

處移動到r=b(a<b)處,求電場力對它所做的功.解:電場力所做的功是它在區(qū)間[a,b]上的定積分,即答:電場力對電荷所做的功是

3.

以初速度40m/s垂直向上拋一物體,ts時刻的速度(單位:m/s)為v=40-10t,問多少秒后此物體達(dá)到最高?最大高度是多少?解:(1)當(dāng)v=0時,物體達(dá)到最高,即40-10t=0,解得t=4.即4秒后物體達(dá)到最高.(2)最大高度是在時間段0到4秒內(nèi)速度v

的定積分,即=80(m).

答:4秒后物體達(dá)到最高,最大高度是80米.

4.

物體A

以速度v=3t2+1(t

的單位:s,v

的單位:m/s)在一直線上運動,在此直線上與物體A

出發(fā)的同時,物體B

在物體A的正前方5m處以v=10t(t

的單位:s,v

的單位:m/s)的速度與A

同向運動,兩物體何時相遇?相遇地與物體A

的出發(fā)地的距離是多少?B解:A,B

相遇時,在等時間,A

比B

的路程多5m.即得解得t=5(s).當(dāng)t=5時,=130(m).

答:5秒后兩物體相遇,相遇時與物體A

的出發(fā)地相距130m.5mA

5.

彈簧所受的壓縮力F

與縮短的距離l

按胡克定律F=kl

計算,如果10N的力能使彈簧壓縮1cm,那么把彈簧從平衡位置壓縮10cm(